第一章集合与常用逻辑用语知识梳理 + 专项练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高一上数学第一章《集合与常用逻辑用语》知识梳理 + 专项练习 一、1.1 集合的概念 （一）核心知识点梳理 1.集合三要素（北京必考判断点） ① 确定性：元素必须能明确判断是否属于集合； ② 互异性：同一个集合中元素互不相等（高频坑点：含参数集合代入后必须检验）； ③ 无序性：。 2.必背数集符号：自然数集（0,1,2…）：正整数集（1,2,3…）：整数集：有理数集 ：实数集 3.两种集合表示方法 （1）列举法格式示例：{；方程组的解为点集，必须写成{(3,2)}，禁止写成{3,2} （2）描述法标准格式：{}，竖线前代表元素，三类区分： ：自变量 x 取值（定义域） {：函数 y 取值（值域） {}：抛物线上所有点（函数图像） 4. 方程解集分类 ：一元一次 / 二次方程解集（数集）、二元一次 / 二次方程组解集（点集） （二）高频题型答题模板 题型1：解方程 / 方程组，列举法写解集 通用模板步骤： ① 因式分解 / 代入消元，求解方程； ② 判断解集是数集还是点集； ③ 外层加大括号规范书写结果。 例题示范：解 解：((x-6)(x+1)=0 x=-1或6，数集解集：{ 题型 2：已知元素属于集合，求参数 a（北京期中高频） 互异性检验三步模板： 1.根据列等式：集合内某一项 = 已知元素； 2.解出参数全部候选值； 3.回代原集合检验互异性，出现重复元素直接舍去。 例题示范： 解：① 或，解得a=1或a=-1； ② 时，，元素重复，舍去； ③ ，无重复，符合，最终。 题型 3：含参方程集合，根据元素个数求 a 范围 分类讨论模板：分一次方程、二次方程两类 1. ：方程为一次方程，仅有 1 个解，集合为单元素集合； 2. ：方程为一元二次方程，计算判别式 ：2 个不等实根，集合含 2 个元素； ：2 个相等实根，集合含 1 个元素； ：无实根，集合为空集。 （三）解题避坑技巧 1.严格区分点集、数集：方程组解为坐标(x,y)，必须外层加大括号； 2.描述法优先看竖线前元素，看到(x,y)直接判定为点集； 3.含参数求参题型，必须检验互异性，北京考题 80% 失分点在此； 4.区分、：不含 0，包含 0，写整数集合不可混淆。 （四）专项练习 1．（25-26高一上·北京延庆·期中）方程的解集为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的解法求方程的解，再利用列举法写出解集. 【详解】方程可化为， 所以或， 所以方程的解集为， 故选：B. 2．（25-26高一上·北京·阶段检测）集合用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解方程组即可. 【详解】得，故集合为 故选：C 3．（25-26高一上·北京延庆·期中）方程组的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由代入法求解后，再用集合表示出解集即可. 【详解】由，可得， 代入， 得， 整理得， 解得或， 当时，解得； 当时，解得； 所以原方程组的解集为. 故选：D. 4．（25-26高一上·北京丰台·期中）集合用列举法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将集合中的元素列举出来即可. 【详解】 故选：C. 5．（25-26高一上·北京·阶段检测）以下集合表示“函数的图象”，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知集合的元素为点的坐标，结合选项分析判断. 【详解】因为函数的图象可以看成函数的图象上的点的集合， 即集合的元素为点的坐标，所以“函数的图象”的集合表示. 故选：C. 6．（25-26高一上·北京·阶段检测）用列举法表示集合为________. 【答案】 【分析】根据分式结构一一列举即可. 【详解】分别取，则依次为， 显然只有时满足，即. 故答案为： 7．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，如果，则a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得或，再分析求解集合A即可得解. 【详解】集合，如果， 则或，即或， 当时，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，集合，符合. 综上所述，则a的取值集合为. 故选：D 8．（25-26高一上·北京·阶段检测）若，则等于（   ） A．1 B． C．0或1 D．0或1或 【答案】B 【分析】直接根据元素与集合的关系进行求解即可 【详解】由于， 当，，不满足集合元素的互异性； 当时，满足题意. 综上得： 故选：B 9．（25-26高一上·北京延庆·阶段检测）已知集合. (1)若集合中恰有两个元素，求实数的取值范围； (2)若集合中只有一个元素，求实数的取值集合. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据方程有两个不等实根可讨论得到结果； （2）根据方程有唯一解或两个相等实根可讨论得到结果. 【详解】（1）集合中恰有两个元素，有两个不等实根； 当时，，解得：，不合题意； 当时，，解得：或； 综上所述：实数的取值范围为：或. （2）集合中只有一个元素，有唯一实根或两个相等实根； 当时，，解得：，符合题意； 当时，，解得：，此时； 综上所述：实数的取值集合为. 10．（25-26高一上·北京延庆·阶段检测）已知和都是集合中的元素，则a=______，b=_________ 【答案】 【分析】利用元素与集合的关系，列出方程组求解即得. 【详解】由和都是集合中的元素， 所以，所以. 故答案为：； 11．（2026高一·全国·专题练习）若关于x的方程的解集至多有两个子集，则a的取值范围为______. 【答案】 【分析】分与两种情况结合题意讨论求解即可. 【详解】由题意，方程解集至多有两个子集，即解集中元素个数， 当时，方程为一次方程， 解得，解集有1个元素，符合条件； 当时，方程为二次方程，则判别式，解得； 综上，a的取值范围为 故答案为：. 12．（23-24高一上·北京海淀·阶段检测）已知集合关于的方程有唯一解，用列举法表示___________． 【答案】 【分析】由题意有方程只有一个解或方程化为一元一次方程，分类讨论即可. 【详解】由有， 当方程只有一个解时，， 当方程化为一元一次方程，由，所以或， 所以. 故答案为：. 13．（23-24高一上·北京海淀·阶段检测）方程组的解集为___________． 【答案】 【分析】利用代入消元法求出方程组的解，再用列举法表示出其解集即可. 【详解】由可得， 将其代入，整理可得， 即，解得或. 当时，；当时，. 所以方程组的解集为. 故答案为： 14．（25-26高一上·甘肃定西·阶段检测）已知集合． (1)若，求实数的值； (2)若集合中至少有一个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意是方程的根，代入解方程即可. （2）当时，方程为有一个解符合题意，当时，利用判别式法列不等式求解范围，最后两种结果求并集即可得解. 【详解】（1）因为，所以，解得． （2）①当时，原方程为，解得，此时集合中只有一个元素6，符合题意； ②当时，若集合中至少有一个元素，则一元二次方程有解， 即，解得且． 综上所述，实数的取值范围为． 15．（24-25高一上·上海浦东新·阶段检测）已知集合，且，则________． 【答案】 【分析】由，可得或，然后分情况求出的值，再利用集合中的元素的互异性判断即可 【详解】由，可得或， 由，解得，经过验证，不满足条件，舍去. 由，解得或，经过验证：不满足条件，舍去. ∴. 故答案为：. 16．（23-24高一上·福建三明·期中）已知集合，且，则等于（    ） A．－3或－1 B．-3 C．1 D．3 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系列式求解，再代入检验即可. 【详解】因为集合，且， 则或，所以或； 当时，不合题意舍； 当时，符合题意； 故选：B. 17．（2025高一上·北京海淀·专题练习）设，，若，求集合B． 【答案】 【分析】由题可得3是二次方程的两个等根，据此可得，，据此可得集合B. 【详解】，所以3是二次方程的两个等根， 所以，解得，， 所以， 因或. 所以． 18．（20-21高一上·吉林长春·阶段检测）集合的另一种表示法是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解一元一次不等式，写出集合中的元素，利用列举法可得答案. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 所以 ， 故选：B. 19．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知集合，且，则的值为_____________. 【答案】或 【分析】利用元素与集合的关系确定的值，结合元素的互异性验证. 【详解】由题意可得或，解得或或， 当时，，符合题意. 当时，，符合题意， 当时，，不满足集合中元素的互异性，不符合. 综上得或. 故答案为：或. 20．（24-25高一上·北京房山·期中）已知，集合，且，则__________. 【答案】 【分析】根据题意结合集合相等分析求解即可. 【详解】因为，显然， 则，即，可得， 此时，可得，所以. 故答案为：. 二、1.2 集合间的基本关系（子集、真子集、空集） （一）核心知识点梳理 1.基础符号区分（选择题高频易错点） ①：元素属于集合（左侧为单个数字 / 字母，右侧为集合），例：； ②：集合包含集合（左右两侧均为集合），例：{； ③ (∅)空集：不含任何元素；核心结论：空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集。 2.子集个数公式（北京填空必考） 若集合含有n个元素： 总子集数： 真子集数： 非空子集： 非空真子集： 3.子集等价转化关系任意 且存在元素属于 B、不属于 A 4.区间集合包含问题通用规则 如 强制分两类讨论：、，漏空集会直接丢分。 （二）高频题型答题模板 题型1：已知，求参数范围（通用两步模板）步骤： ① 讨论空集：集合左边界≥右边界时为空集，空集恒满足子集条件； ② 非空集合：列不等式组：左边界≥大集合左端点、右边界≤大集合右端点、左 < 右； ③ 两类解集取并集，得到最终参数范围。 例题示范： 解：1. ：，成立； 2.：； 3. 合并结果：。 题型 2：满足，求集合 M 的个数 模板步骤： 1. 锁定必含元素：1、2； 2. 提取可选元素：剩余{3,4}； 3. 真子集限制：M 不能等于全集{1,2,3,4}，即可选元素取非空子集； 4. 计算规则：可选元素共n个，符合条件集合个数。 题型 3：两集合相等求参数 模板步骤： 1. 锁定特殊元素（0、1、-1），分式分母不为 0，分式不能等于 0； 2. 根据元素对应相等列方程组；回代检验集合元素互异性。 （3） 解题避坑技巧 1. 看到优先讨论，北京参数题半数丢分源于遗漏空集； 2. 符号禁止混用：单个元素搭配，集合之间搭配； 3. 区间端点规则：包含端点用，不包含用(<、>)，子集不等式不要漏等号； 区分和{0}：无任何元素，{0}含有一个元素 0，二者完全不相等。 （四）专项练习 1．（25-26高一上·北京大兴·期中）下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空集的定义和元素与集合、集合与集合的关系判断即可. 【详解】因为中没有任何元素，故A错误； ，故B错误； 因为是任何集合的子集，故C正确； 由于，故D错误． 故选：C． 2．（25-26高一上·北京东城·期末）已知集合，且，则实数的值可以为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据子集的概念求的范围即可. 【详解】因为，且， 所以，解得， 故选：D 3．（25-26高一上·北京·期中）设非空集合，且中至多含有一个奇数，那么这样的集合共有______个． 【答案】 【分析】列出符合题意的集合，即可得解. 【详解】因为非空集合，且中至多含有一个奇数， 所以或或或或， 所以满足条件的集合共有个. 故答案为： 4．（25-26高一上·北京·期中）若集合，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系逐项判断即可. 【详解】因为，所以，，故A对，BCD都错. 故选：A. 5．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合满足，则集合的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】集合中一定含有元素，及其它元素，进行求解． 【详解】依题意，集合中一定含有元素，及其它元素，则 或或，共3个， 故选：B 6．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，则满足条件的集合的个数为__________． 【答案】7 【分析】根据包含关系分析可知集合的个数即为集合的非空子集的个数，即可得结果. 【详解】因为集合，， 若，可知集合必含有元素1，2，可能含有元素3，4，5，且， 则集合的个数即为集合的非空子集的个数， 且集合有3个元素，所以集合的个数为. 故答案为：7. 7．（24-25高一上·北京延庆·阶段检测）已知集合，，则集合、的关系是（   ） A． B． C． D．无法确定集合、的关系 【答案】C 【分析】将集合、中的元素的表示形式改写，利用集合的包含关系可得出结论. 【详解】因为， ， 对于集合，当为奇数时，设，则， 当为偶数时，设，则， 故. 故选：C. 8．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，，则（    ） A．M与N的关系不确定 B． C． D． 【答案】C 【分析】将集合、中表达式化为、，再由此判断表达式中分子所表示集合的关系，即可确定、的包含关系. 【详解】集合中的元素，满足，， 集合 中的元素，满足，， 因为集合和都表示被除余数为的整数的集合； 所以， 所以 故选：C. 9．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合满足，那么这样的集合的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据子集的性质进行求解即可. 【详解】因为，所以，又因为， 所以，或或，或，或者，或，或，共8个. 故选：B. 10．（24-25高一上·北京·阶段检测）已知集合，，且满足，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【分析】结合，分，两种情况讨论求解即可. 【详解】当时，，即，满足； 当时，有，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 11．（24-25高一上·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】利用空集的意义，结合方程根的情况列式求解即得. 【详解】当时，不成立，即，则； 当时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 12．（24-25高一上·北京·期中）设集合中的三个元素分别为，集合中的三个元素分别为.已知，求的值. 【答案】a，b，c的值分别为1，，2 【分析】根据，求出、和，求出的值. 【详解】因为，所以， 解得，所以的值分别为. 13．（24-25高一上·北京·阶段检测）下列五个关系式中正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤． A．3 B．5 C．4 D．2 【答案】C 【分析】利用集合的概念和集合间的关系分别判断五个关系式即可. 【详解】因为集合中的元素具有无序性，所以，故①正确； 因为且，所以，故②正确； 因为空集是不含任何元素的集合，所以，故③错误； 因为空集是任意非空集合的真子集，所以，故④正确； 因为集合中有一个元素0，所以，故⑤正确； 故选：C. 14．（24-25高一上·北京延庆·阶段检测）已知集合 (1)若集合A中至多有一个元素，求实数k的取值范围； (2)若集合A最少有一个真子集，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分两种情况进行分类讨论，列出不等式即可求得结果. （2）将问题转化为方程至少有一个根，分两种情况进行分类讨论，求得结果. 【详解】（1）当时，，即，符合题意； 当时，，解得：. 综上所述，实数k的取值范围为. （2）集合A最少有一个真子集，则集合中至少有一个元素， 当时，，即，符合题意； 当时，，解得：且. 综上所述，实数k的取值范围为. 15．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知集合或，，若BA，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【分析】由为的真子集，列出关于的不等式，求出不等式的解集即可. 【详解】因为BA，所以. 故答案为： 16．（23-24高三上·北京·开学考试）集合，，且⫋，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【分析】根据⫋，即可得出答案. 【详解】因为集合，，且⫋， 所以. 所以实数的取值范围是：. 17．（21-22高一上·天津宁河·阶段检测）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】列出集合、，可判断两者之间的关系. 【详解】∵集合， ， ∴. 故选：B. 18．（20-21高一上·北京顺义·阶段检测）已知，，若，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【分析】根据子集概念，即可得到结果. 【详解】∵，，若， ∴， 故答案为： 三、1.3 集合的基本运算（交、并、补、韦恩图） （一）核心知识点梳理 1.三大运算定义 ① 交集：同时属于 A、B 的全部元素（取公共重叠部分）； ② 并集AB：属于 A 或属于 B 的全部元素（合并集合，去除重复元素）； ③ 补集：全集 U 中剔除 A 之后剩余所有元素。 2.韦恩图图像翻译（图像选择题必考） 仅阴影 A、无重叠区域：； 外围灰色、A 和 B 内部全空白：； 两圆重叠公共区域：。 3.运算等价转化（大题快速转化条件） （二）高频题型答题模板 题型 1：不等式集合交、并、补综合计算 1. 化简两个集合，写成标准区间范围； 2. 求交集：取两个区间重叠部分； 3. 求并集：合并两段区间； 4. 求补集：在全集内写出反向区间，再和另一集合做交 / 并运算。 例题示范： 解：，， 1. 讨论：空集天然满足交集为空； 2. ：分两种情况：C 整体在 A 左侧、C 整体在 A 右侧； 3. 两类情况解集取并集。 1. 将阴影区域翻译成交并补代数式； 2. 化简集合 A、B； 3. 根据集合运算规则计算结果。 （三）解题避坑技巧 1. 整数集合运算：先列举全部整数，再提取公共元素； 2. 分式不等式等价，注意分母； 3. 补集区间端点反向：，； 4. ：区间存在重叠，参数临界值不取等；临界值取等号。 （四）专项练习 1．（25-26高一上·北京顺义·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出两个集合，再根据交集含义即可得到答案. 【详解】，，则. 故选：B. 2．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不等式， 解得，即。 绝对值不等式， 化简得或， 即或， 又因为，因此 所以. 3．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合， ，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由集合补集运算即可求解. 【详解】，又， 所以 ， 故选：B 4．（25-26高一上·北京顺义·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简集合，再根据交集的概念计算即可. 【详解】集合，又， 所以 . 故选：B. 5．（24-25高一下·北京·阶段检测）已知集合 (1)求集合中的所有整数； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据绝对值不等式的解法，求出集合中的元素，进而判断其中的整数； （2）根据集合补集和交集的概念，判断集合之间的包含关系，分类讨论集合的情况，列出不等式，求出参数范围. 【详解】（1）由题意可得，即，解得，即， 所以集合中的所有整数为. （2）当时，可知， 当时，，解得； 当时，即时，可得，解得， 综上，当时，. 6．（25-26高一上·北京·期末）已知全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以. 7．（2026·甘肃兰州·一模）集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设全集为，由图可知阴影部分可表示为， 可知，则 8．（23-24高一上·山东济宁·阶段检测）集合，. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出集合，再利用集合的运算，即可求解； （2）利用集合的运算，即可求解. 【详解】（1）由，解得，所以， 又，所以. （2）因为，则或， 又由（1）知，则. 9．（25-26高一上·福建莆田·期中）已知集合，或，． (1)当时，求，； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或， (2) 【分析】（1）根据交集，并集和补集的定义，即可求解； （2）分和两种情况，讨论当时，的取值范围. 【详解】（1）当，，或， 或， ，所以； （2）当，，得， 当时，若，则，解得：， 综上可知的取值范围为. 10．（25-26高一上·北京·期中）已知集合，. (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）化简集合，按集合交集、并集、补集的概念计算； （2）由得，讨论求解. 【详解】（1）集合， 若，则，所以或， 所以，. （2）若，则， 若，则，满足； 若，则，因为，， 所以，解得，即此时， 综上可知，实数的取值范围为. 11．（25-26高一上·北京·期中）已知全集，集合，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用补集的概念和运算法则计算求解． 【详解】全集，集合， ，故A正确． 故选：A． 12．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，求实数的取值范围__________． 【答案】 【分析】由，列出关于的不等式，进而求实数的取值范围. 【详解】集合，所以有， 即实数的取值范围为. 故答案为： 13．（25-26高一上·河北沧州·阶段检测）已知集合. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)，； (2)或. 【分析】（1）利用并集、补集、交集的定义求解. （2）根据给定条件，按是否为分类列式求解. 【详解】（1）集合，则； 或，所以. （2）由，，得当时，，解得， 当时，，即， 此时需满足或， 解得或， 所以实数的取值范围是或. 14．（25-26高一上·北京延庆·阶段检测）设全集为；集合，，. (1)求，； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)或 (3) 【分析】（1）根据并集、补集和交集定义直接求解即可； （2）分别讨论和的情况，根据交集结果可构造不等式求得结果； （3）根据并集结果可得，由此可得结果. 【详解】（1），， ，或，. （2）当时，，此时，解得：； 当时，由得：或， 解得：或； 综上所述：实数的取值范围为或. （3），，， 即实数的取值范围为. 15．（24-25高一上·北京通州·期中）已知全集，集合. (1)求； (2)再从下面给出的条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的取值范围. 条件①：；条件②：. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)选①：的取值范围是;选②：的取值范围是. 【分析】（1）根据补集、交集的知识求得正确答案. （2）结合集合关系及集合运算，根据所选条件列不等式，由此来求得的取值范围. 【详解】（1）因为集合， 所以或. 所以. （2）选择条件①： 因为，所以. 所以，或. 所以，或. 因为，所以. 所以的取值范围是. 选择条件②： 因为，所以. 因为，所以. 所以. 因为，所以. 所以的取值范围是. 16．（24-25高一上·北京·阶段检测）已知集合，集合或，全集. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题知，再根据集合的运算求解即可； （2）由可得，再利用包含关系求参数即可. 【详解】（1）当时，，所以， 又或，所以. （2）因为集合，集合或，，则， 所以或，解得或， 所以实数的取值范围是. 17．（24-25高一上·北京·阶段检测）设全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（   ）    A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】根据图可知，阴影表示的补集，即可根据集合交并补的定义求解. 【详解】由可得，， 故，进而. 故选：D 四、1.4 充分条件与必要条件 （一）核心知识点梳理 1.能够判断真假的陈述句才是命题； 代数式、不等式、祈使句均不是命题。 2.： · p是q充分条件；q是p必要条件； · ：p 是 q 充要条件； · p q，qp：p 是 q 既不充分也不必要条件。 3.集合法万能判断技巧（北京最优解法） 设 · ：p 是 q 充分不必要条件； · ：p 是 q 必要不充分条件； · ：p 是 q 充要条件； · 无包含关系：既不充分也不必要条件。 4.古文逻辑翻译示例 “不积跬步，无以至千里”：至千里积跬步，因此积跬步是至千里的必要不充分条件。 （二）高频题型答题模板 题型 1：判断 p 是 q 的何种条件（集合法通用模板） 步骤： 1. 分别解出 p、q 对应的集合 P、Q； 2. 判断两个集合的包含关系； 3. 根据包含关系匹配条件类型。 例题示范： 解：，， 故 p 是 q 充分不必要条件。 题型 2：“是充分不必要条件” 求参数 模板步骤： 1. 文字翻译：； 2. 讨论：空集恒为任意集合的真子集； 3. P 非空：列不等式组，保证严格包含； 4. 合并所有取值范围。 （三）解题避坑技巧 1. 不等式乘除负数时，不等号必须反向，极易判断推出关系出错； 2. 口诀记忆：小集合推大集合 = 充分不必要；大集合推小集合 = 必要不充分； 3. 否定充分性快速方法：举 1 组反例即可推翻。 (四)专项练习 1．（25-26高一上·全国·课后作业）下列语句为命题的是（ ） A．对角线相等的四边形 B． C． D．有一个内角是90°的三角形是直角三角形 【答案】D 【分析】由命题的定义判断各个选项即可. 【详解】由命题的定义可知，能够判断真假的陈述句是命题，所以D为命题． A，B，C不能判断真假，所以不是命题. 2．（24-25高一上·北京·期中）“”是“”成立的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先解不等式，再根据充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，得或，即或， 则“”是“”成立的必要而不充分条件. 故选：B 3．（25-26高一上·北京石景山·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若成立的一个必要条件是，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据交集结果列式即可求解； （2）根据题意得到，列式即可求解. 【详解】（1）若，则或， 所以或， 故实数的取值范围. （2）因为成立的一个必要条件是， 所以， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 4．（24-25高一上·江苏·阶段检测）已知集合. (1)当时，求和； (2)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围. 【答案】(1)，； (2)或. 【分析】（1）把代入，利用补集、并集、交集的定义求解即得. （2）利用充分条件的定义，结合集合的包含关系列式求解即得. 【详解】（1）当时，，而，则或， 所以，. （2）由“”是“”的充分条件，得， 当，即时，，满足，则； 当时，由，得，解得， 因此或， 所以实数a的取值范围是或. 5．（24-25高一上·北京·阶段检测）已知全集，集合. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】(1)或， (2) 【分析】（1）当时，可得，进而根据补集和交集的定义求解即可； （2）由充分不必要条件与集合的包含关系可得：若“”是“”的充分不必要条件，即，然后考虑和两种情况分别求解即可． 【详解】（1）当时，，或， 因为， 所以或，. （2）若“”是“”的充分不必要条件，即， 当时，即，此时，满足， 当时，则，解得，且和不能同时成立， 综上所述：实数a的取值范围为. 6．（24-25高一上·北京·阶段检测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】正向推理举反例，反向推理根据数的性质即可判断是否成立，最后结合必要不充分条件的判断即可. 【详解】当“”，举例，则不成立，则充分性不成立； 当“”，则，则成立，则必要性成立， 则“”是“” 的必要不充分条件. 故选：B. 7．（23-24高三上·北京大兴·期末）能够说明“设是任意实数.若，则”是假命题的一组整数的值依次为__________. 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用列举法，写出满足题意的结果即可. 【详解】当时，满足，但是，. 故答案为：（答案不唯一） 8．（22-23高一上·江苏苏州·期中）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据由能不能推出及由能不能推出即可得答案. 【详解】解：由，可得或； 由可得且， 所以由不能推出，但由能推出， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 9．（20-21高二下·广东揭阳·期中）荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言.此名言中的“积跬步”是“至千里”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件与必要条件的概念判断. 【详解】“积跬步”不一定“至千里”，但“至千里”必有“积跬步”， “积跬步”是“至千里”的必要不充分条件. 故选：B. 10．（23-24高一上·北京·期中）是的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．充分必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】当时，， 当时，， 所以是的既不充分也不必要条件. 故选：A. 11．（23-24高一上·北京·期中）“且”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】推出充分性成立，举出反例得到必要性不成立，得到答案. 【详解】且，两式相加得，充分性成立， 若，不妨设，此时不满足且，必要性不成立， 故“且”是“”的充分不必要条件. 故选：A 12．（23-24高一上·广西南宁·阶段检测）已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将是的必要不充分条件转化为，然后根据集合间的包含关系列不等式求解即可. 【详解】设，， 因为是的必要不充分条件，所以， 所以，解得， 当时，，成立， 所以. 故选：A. 五、1.5 全称量词与存在量词 （一）核心知识点梳理 1.两类基础命题 ① 全称命题：，集合内全部元素满足结论； ② 存在量词命题：，集合内至少存在一个元素满足结论。 2.命题否定规则（北京必考选择题） 核心规则：量词互换，结论否定，变量取值范围不变 量词互换： 不等号反向：；； 示例：，否定： 3.恒成立、存在有解转化（大题核心） ①恒成立 ； ②有解。 （2） 高频题型答题模板 题型 1：写出全称 / 存在命题的否定 两步模板：量词互换：改，改； 不等号反向，x 的取值范围保持不变。 题型 2：全称命题恒成立，求参数范围 模板步骤：1.分离参数，整理为或； 2.求出(f(x))在指定区间的最值； 3.根据恒成立要求选取对应最值。 题型 3：“” 求参数 模板步骤：1.写出集合 B 的取值范围； 2.保证 A 中所有元素均不在 B 内，分参数正负讨论边界； 3.合并所有有效解集。 （三）解题避坑技巧 1.命题否定绝对不能修改 x 的取值范围，仅更换量词、反向不等号； 2.恒成立问题看函数最小值，存在有解看函数最大值，不要颠倒； 3.证明全称命题为假，只需举出 1 个反例即可。 （四）专项训练 1．（25-26高一下·北京·期末）已知命题：，，那么命题为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】因为命题，所以命题. 2．（24-25高二下·重庆·期末）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据全称命题的否定是存在命题进行判断即可. 【详解】因为全称命题的否定是存在命题， 所以”的否定是，. 故选：B 3．（25-26高一上·北京西城·期末）已知命题r：“，”，则：______. 【答案】， 【分析】由存在量词命题的否定为全称量词命题即可求解. 【详解】命题r：“，”， 则：“，”， 故答案为：， 4．（25-26高一上·北京海淀·阶段检测）设命题，，则p的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】利用全称量词命题的否定求解即可. 【详解】命题，，则的否定为：， 故选：C 5．（25-26高一上·北京大兴·期中）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用参变分离求最值，再结合必要、充分的定义判断即可. 【详解】由题意可得，，对恒成立， 因，则， 故是原命题成立的一个必要不充分条件. 故选：B 6．（25-26高一上·北京大兴·期中）已知命题，则命题的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由全称量词命题的否定是存在量词命题即可求解. 【详解】因为命题，所以命题的否定为. 故选：A. 7．（24-25高一上·北京·阶段检测）设集合，． (1)若“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围； (2)若，，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得集合，然后根据必要条件以及对进行分类讨论来求得的取值范围. （2）根据全称量词命题的知识以及对进行分类讨论来求得的取值范围. 【详解】（1）依题意，集合. 若“”是“”的必要条件，则， 当时，，不符合题意. 当时，， 所以，解得. 当时，， 所以，此不等式组无解. 综上所述，的取值范围是. （2）依题意，，， 当时，，符合题意. 当时，， 则，解得. 当时，， 则，解得. 综上所述，的取值范围是. 8．（22-23高一上·北京大兴·期末）已知命题． (1)写出命题p的否定； (2)判断命题p的真假，并说明理由， 【答案】(1) (2)假，理由见解析 【分析】（1）根据全称命题的否定为特称命题即可求解； （2）因为即可判断命题 【详解】（1）由命题， 可得命题p的否定为， （2）命题为假命题， 因为（当且仅当时取等号）， 故命题为假命题 9．（23-24高二下·湖北武汉·期末）设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）若为真命题，即对于，即可. （2）若为真命题，即转化为对于，即可求出的范围，再分类讨论的真假即可解出. 【详解】（1）若为真命题，即，使得不等式成立， 则对于，即可. 由于,，则. （2）若为真命题，即，不等式成立， 则对于，即可. 由于，，，解得 p、q有且只有一个是真命题，则或， 解得. 附录：北京高一第一章通用答题规范 1. 解集书写规范：统一加大括号；区间集合写作，点集必须使用格式； 2. 含参数题目固定步骤：①先讨论空集 ②再检验元素互异性； 3. 充分必要条件优先转化集合包含关系，比纯不等式推导更快； 4. 全称命题否定固定套路：换量词、反不等号，定义域不动； 5. 韦恩图解题流程：先翻译成交并补代数式，再计算，禁止直接看图口算。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一上数学第一章《集合与常用逻辑用语》知识梳理 + 专项练习（原卷版） 一、1.1 集合的概念 （一）核心知识点梳理 1.集合三要素（北京必考判断点） ① 确定性：元素必须能明确判断是否属于集合； ② 互异性：同一个集合中元素互不相等（高频坑点：含参数集合代入后必须检验）； ③ 无序性：。 2.必背数集符号：自然数集（0,1,2…）：正整数集（1,2,3…）：整数集：有理数集 ：实数集 3.两种集合表示方法 （1）列举法格式示例：{；方程组的解为点集，必须写成{(3,2)}，禁止写成{3,2} （2）描述法标准格式：{}，竖线前代表元素，三类区分： ：自变量 x 取值（定义域） {：函数 y 取值（值域） {}：抛物线上所有点（函数图像） 4. 方程解集分类 ：一元一次 / 二次方程解集（数集）、二元一次 / 二次方程组解集（点集） （二）高频题型答题模板 题型1：解方程 / 方程组，列举法写解集 通用模板步骤： ① 因式分解 / 代入消元，求解方程； ② 判断解集是数集还是点集； ③ 外层加大括号规范书写结果。 例题示范：解 解：((x-6)(x+1)=0 x=-1或6，数集解集：{ 题型 2：已知元素属于集合，求参数 a（北京期中高频） 互异性检验三步模板： 1.根据列等式：集合内某一项 = 已知元素； 2.解出参数全部候选值； 3.回代原集合检验互异性，出现重复元素直接舍去。 例题示范： 解：① 或，解得a=1或a=-1； ② 时，，元素重复，舍去； ③ ，无重复，符合，最终。 题型 3：含参方程集合，根据元素个数求 a 范围 分类讨论模板：分一次方程、二次方程两类 1. ：方程为一次方程，仅有 1 个解，集合为单元素集合； 2. ：方程为一元二次方程，计算判别式 ：2 个不等实根，集合含 2 个元素； ：2 个相等实根，集合含 1 个元素； ：无实根，集合为空集。 （三）解题避坑技巧 1.严格区分点集、数集：方程组解为坐标(x,y)，必须外层加大括号； 2.描述法优先看竖线前元素，看到(x,y)直接判定为点集； 3.含参数求参题型，必须检验互异性，北京考题 80% 失分点在此； 4.区分、：不含 0，包含 0，写整数集合不可混淆。 （四）专项练习 1．（25-26高一上·北京延庆·期中）方程的解集为（    ） A．或 B． C． D． 2．（25-26高一上·北京·阶段检测）集合用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·北京延庆·期中）方程组的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·北京丰台·期中）集合用列举法可表示为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·北京·阶段检测）以下集合表示“函数的图象”，正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·北京·阶段检测）用列举法表示集合为________. 7．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，如果，则a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·北京·阶段检测）若，则等于（   ） A．1 B． C．0或1 D．0或1或 9．（25-26高一上·北京延庆·阶段检测）已知集合. (1)若集合中恰有两个元素，求实数的取值范围； (2)若集合中只有一个元素，求实数的取值集合. 10．（25-26高一上·北京延庆·阶段检测）已知和都是集合中的元素，则a=______，b=_________ 11．（2026高一·全国·专题练习）若关于x的方程的解集至多有两个子集，则a的取值范围为______. 12．（23-24高一上·北京海淀·阶段检测）已知集合关于的方程有唯一解，用列举法表示___________． 13．（23-24高一上·北京海淀·阶段检测）方程组的解集为___________． 14．（25-26高一上·甘肃定西·阶段检测）已知集合． (1)若，求实数的值； (2)若集合中至少有一个元素，求实数的取值范围． 15．（24-25高一上·上海浦东新·阶段检测）已知集合，且，则________． 16．（23-24高一上·福建三明·期中）已知集合，且，则等于（    ） A．－3或－1 B．-3 C．1 D．3 17．（2025高一上·北京海淀·专题练习）设，，若，求集合B． 18．（20-21高一上·吉林长春·阶段检测）集合的另一种表示法是（    ） A． B． C． D． 19．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知集合，且，则的值为_____________. 20．（24-25高一上·北京房山·期中）已知，集合，且，则__________. 二、1.2 集合间的基本关系（子集、真子集、空集） （一）核心知识点梳理 1.基础符号区分（选择题高频易错点） ①：元素属于集合（左侧为单个数字 / 字母，右侧为集合），例：； ②：集合包含集合（左右两侧均为集合），例：{； ③ (∅)空集：不含任何元素；核心结论：空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集。 2.子集个数公式（北京填空必考） 若集合含有n个元素： 总子集数： 真子集数： 非空子集： 非空真子集： 3.子集等价转化关系任意 且存在元素属于 B、不属于 A 4.区间集合包含问题通用规则 如 强制分两类讨论：、，漏空集会直接丢分。 （二）高频题型答题模板 题型1：已知，求参数范围（通用两步模板）步骤： ① 讨论空集：集合左边界≥右边界时为空集，空集恒满足子集条件； ② 非空集合：列不等式组：左边界≥大集合左端点、右边界≤大集合右端点、左 < 右； ③ 两类解集取并集，得到最终参数范围。 例题示范： 解：1. ：，成立； 2.：； 3. 合并结果：。 题型 2：满足，求集合 M 的个数 模板步骤： 1. 锁定必含元素：1、2； 2. 提取可选元素：剩余{3,4}； 3. 真子集限制：M 不能等于全集{1,2,3,4}，即可选元素取非空子集； 4. 计算规则：可选元素共n个，符合条件集合个数。 题型 3：两集合相等求参数 模板步骤： 1. 锁定特殊元素（0、1、-1），分式分母不为 0，分式不能等于 0； 2. 根据元素对应相等列方程组；回代检验集合元素互异性。 （3） 解题避坑技巧 1. 看到优先讨论，北京参数题半数丢分源于遗漏空集； 2. 符号禁止混用：单个元素搭配，集合之间搭配； 3. 区间端点规则：包含端点用，不包含用(<、>)，子集不等式不要漏等号； 区分和{0}：无任何元素，{0}含有一个元素 0，二者完全不相等。 （四）专项练习 1．（25-26高一上·北京大兴·期中）下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·北京东城·期末）已知集合，且，则实数的值可以为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（25-26高一上·北京·期中）设非空集合，且中至多含有一个奇数，那么这样的集合共有______个． 4．（25-26高一上·北京·期中）若集合，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合满足，则集合的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，则满足条件的集合的个数为__________． 7．（24-25高一上·北京延庆·阶段检测）已知集合，，则集合、的关系是（   ） A． B． C． D．无法确定集合、的关系 8．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，，则（    ） A．M与N的关系不确定 B． C． D． 9．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合满足，那么这样的集合的个数为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·北京·阶段检测）已知集合，，且满足，则实数的取值范围是_____． 11．（24-25高一上·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是_____. 12．（24-25高一上·北京·期中）设集合中的三个元素分别为，集合中的三个元素分别为.已知，求的值. 13．（24-25高一上·北京·阶段检测）下列五个关系式中正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤． A．3 B．5 C．4 D．2 14．（24-25高一上·北京延庆·阶段检测）已知集合 (1)若集合A中至多有一个元素，求实数k的取值范围； (2)若集合A最少有一个真子集，求实数k的取值范围. 15．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知集合或，，若BA，则实数a的取值范围是________． 16．（23-24高三上·北京·开学考试）集合，，且⫋，则实数的取值范围是___________. 17．（21-22高一上·天津宁河·阶段检测）设集合，则（    ） A． B． C． D． 18．（20-21高一上·北京顺义·阶段检测）已知，，若，则实数的取值范围是_________. 三、1.3 集合的基本运算（交、并、补、韦恩图） （一）核心知识点梳理 1.三大运算定义 ① 交集：同时属于 A、B 的全部元素（取公共重叠部分）； ② 并集AB：属于 A 或属于 B 的全部元素（合并集合，去除重复元素）； ③ 补集：全集 U 中剔除 A 之后剩余所有元素。 2.韦恩图图像翻译（图像选择题必考） 仅阴影 A、无重叠区域：； 外围灰色、A 和 B 内部全空白：； 两圆重叠公共区域：。 3.运算等价转化（大题快速转化条件） （二）高频题型答题模板 题型 1：不等式集合交、并、补综合计算 1. 化简两个集合，写成标准区间范围； 2. 求交集：取两个区间重叠部分； 3. 求并集：合并两段区间； 4. 求补集：在全集内写出反向区间，再和另一集合做交 / 并运算。 例题示范： 解：，， 1. 讨论：空集天然满足交集为空； 2. ：分两种情况：C 整体在 A 左侧、C 整体在 A 右侧； 3. 两类情况解集取并集。 1. 将阴影区域翻译成交并补代数式； 2. 化简集合 A、B； 3. 根据集合运算规则计算结果。 （三）解题避坑技巧 1. 整数集合运算：先列举全部整数，再提取公共元素； 2. 分式不等式等价，注意分母； 3. 补集区间端点反向：，； 4. ：区间存在重叠，参数临界值不取等；临界值取等号。 （四）专项练习 1．（25-26高一上·北京顺义·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合， ，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·北京顺义·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·北京·阶段检测）已知集合 (1)求集合中的所有整数； (2)若，求实数的取值范围. 6．（25-26高一上·北京·期末）已知全集，则（    ） A． B． C． D． 7．（2026·甘肃兰州·一模）集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·山东济宁·阶段检测）集合，. (1)求； (2)求. 9．（25-26高一上·福建莆田·期中）已知集合，或，． (1)当时，求，； (2)若，求实数a的取值范围． 10．（25-26高一上·北京·期中）已知集合，. (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围. 11．（25-26高一上·北京·期中）已知全集，集合，那么等于（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，求实数的取值范围__________． 13．（25-26高一上·河北沧州·阶段检测）已知集合. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 14．（25-26高一上·北京延庆·阶段检测）设全集为；集合，，. (1)求，； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，且，求实数的取值范围. 15．（24-25高一上·北京通州·期中）已知全集，集合. (1)求； (2)再从下面给出的条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的取值范围. 条件①：；条件②：. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 16．（24-25高一上·北京·阶段检测）已知集合，集合或，全集. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 17．（24-25高一上·北京·阶段检测）设全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（   ）    A．或 B．或 C． D． 四、1.4 充分条件与必要条件 （一）核心知识点梳理 1.能够判断真假的陈述句才是命题； 代数式、不等式、祈使句均不是命题。 2.： · p是q充分条件；q是p必要条件； · ：p 是 q 充要条件； · p q，qp：p 是 q 既不充分也不必要条件。 3.集合法万能判断技巧（北京最优解法） 设 · ：p 是 q 充分不必要条件； · ：p 是 q 必要不充分条件； · ：p 是 q 充要条件； · 无包含关系：既不充分也不必要条件。 4.古文逻辑翻译示例 “不积跬步，无以至千里”：至千里积跬步，因此积跬步是至千里的必要不充分条件。 （二）高频题型答题模板 题型 1：判断 p 是 q 的何种条件（集合法通用模板） 步骤： 1. 分别解出 p、q 对应的集合 P、Q； 2. 判断两个集合的包含关系； 3. 根据包含关系匹配条件类型。 例题示范： 解：，， 故 p 是 q 充分不必要条件。 题型 2：“是充分不必要条件” 求参数 模板步骤： 1. 文字翻译：； 2. 讨论：空集恒为任意集合的真子集； 3. P 非空：列不等式组，保证严格包含； 4. 合并所有取值范围。 （三）解题避坑技巧 1. 不等式乘除负数时，不等号必须反向，极易判断推出关系出错； 2. 口诀记忆：小集合推大集合 = 充分不必要；大集合推小集合 = 必要不充分； 3. 否定充分性快速方法：举 1 组反例即可推翻。 (四)专项练习 1．（25-26高一上·全国·课后作业）下列语句为命题的是（ ） A．对角线相等的四边形 B． C． D．有一个内角是90°的三角形是直角三角形 2．（24-25高一上·北京·期中）“”是“”成立的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高一上·北京石景山·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若成立的一个必要条件是，求实数的取值范围. 4．（24-25高一上·江苏·阶段检测）已知集合. (1)当时，求和； (2)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围. 5．（24-25高一上·北京·阶段检测）已知全集，集合. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 6．（24-25高一上·北京·阶段检测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（23-24高三上·北京大兴·期末）能够说明“设是任意实数.若，则”是假命题的一组整数的值依次为__________. 8．（22-23高一上·江苏苏州·期中）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（20-21高二下·广东揭阳·期中）荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言.此名言中的“积跬步”是“至千里”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（23-24高一上·北京·期中）是的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．充分必要条件 11．（23-24高一上·北京·期中）“且”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 12．（23-24高一上·广西南宁·阶段检测）已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 五、1.5 全称量词与存在量词 （一）核心知识点梳理 1.两类基础命题 ① 全称命题：，集合内全部元素满足结论； ② 存在量词命题：，集合内至少存在一个元素满足结论。 2.命题否定规则（北京必考选择题） 核心规则：量词互换，结论否定，变量取值范围不变 量词互换： 不等号反向：；； 示例：，否定： 3.恒成立、存在有解转化（大题核心） ①恒成立 ； ②有解。 （2） 高频题型答题模板 题型 1：写出全称 / 存在命题的否定 两步模板：量词互换：改，改； 不等号反向，x 的取值范围保持不变。 题型 2：全称命题恒成立，求参数范围 模板步骤：1.分离参数，整理为或； 2.求出(f(x))在指定区间的最值； 3.根据恒成立要求选取对应最值。 题型 3：“” 求参数 模板步骤：1.写出集合 B 的取值范围； 2.保证 A 中所有元素均不在 B 内，分参数正负讨论边界； 3.合并所有有效解集。 （三）解题避坑技巧 1.命题否定绝对不能修改 x 的取值范围，仅更换量词、反向不等号； 2.恒成立问题看函数最小值，存在有解看函数最大值，不要颠倒； 3.证明全称命题为假，只需举出 1 个反例即可。 （四）专项练习 1．（25-26高一下·北京·期末）已知命题：，，那么命题为（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25高二下·重庆·期末）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（25-26高一上·北京西城·期末）已知命题r：“，”，则：______. 4．（25-26高一上·北京海淀·阶段检测）设命题，，则p的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 5．（25-26高一上·北京大兴·期中）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·北京大兴·期中）已知命题，则命题的否定为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·北京·阶段检测）设集合，． (1)若“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围； (2)若，，求实数a的取值范围． 8．（22-23高一上·北京大兴·期末）已知命题． (1)写出命题p的否定； (2)判断命题p的真假，并说明理由， 9．（23-24高二下·湖北武汉·期末）设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 附录：北京高一第一章通用答题规范 1. 解集书写规范：统一加大括号；区间集合写作，点集必须使用格式； 2. 含参数题目固定步骤：①先讨论空集 ②再检验元素互异性； 3. 充分必要条件优先转化集合包含关系，比纯不等式推导更快； 4. 全称命题否定固定套路：换量词、反不等号，定义域不动； 5. 韦恩图解题流程：先翻译成交并补代数式，再计算，禁止直接看图口算。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $