1.2 集合间的基本关系（六大重点题型）专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦集合间关系的系统性训练，以空集、子集、真子集为基础，通过概念辨析与参数求解培养抽象能力和推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空集|8题|集合关系符号辨析、空集性质判断|从空集概念切入，建立集合关系认知起点| |子集|8题|子集个数计算、元素和问题、子集关系判断|子集定义→子集个数公式→元素特征分析| |真子集|9题|真子集个数、嵌套关系、非空真子集计算|真子集与子集概念区分→多层包含关系推理| |包含关系求参数|8题|已知包含关系求参数值或范围|集合表示→包含条件转化→参数分类讨论| |相等关系求参数|8题|集合相等的元素对应关系应用|元素互异性→集合相等条件→参数求解验证| |综合应用|4题|集合与全集、创新定义结合的综合题|基础概念→逻辑推理→数学语言表达应用|

专题1.2 集合间的基本关系 目录●重难点题型分布 重难点题型1 空集 1．（25-26高一上·湖北·期中）下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合是否相等、空集的概念以及判断 【分析】根据元素与常用数集的关系，以及集合与集合的关系，判断正确结果即可. 【详解】0是自然数，所以A正确； 是无理数，所以B错误； 中有一个元素，不是空集，所以C错误； ，都是点集，两点不同，所以集合不相等，所以D错误. 故选：A. 2．（25-26高一上·安徽马鞍山·期中）下列表述正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断元素与集合的关系、常用数集或数集关系应用、判断两个集合的包含关系、空集的概念以及判断 【分析】利用常用数集，结合集合包含关系和元素与集合的关系逐项判断即得. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确； 故选：D. 3．下列式子表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】空集的性质及应用、判断两个集合的包含关系、判断元素与集合的关系 【分析】由空集的定义，结合集合与集合的关系及元素与集合的关系逐一判断即可得解. 【详解】对于选项A，由空集的定义可得：空集是任意非空集合的真子集，即，正确； 对于选项B，根据集合的关系知，错误； 对于选项C，根据集合的关系知，错误； 对于选项D，根据元素与集合的关系知，错误. 故选：A. 4．（23-24高一上·广东汕头·阶段检测）有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥其中不正确的是（   ） A．①③ B．③④⑤ C．①②⑤⑥ D．③④ 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】空集的性质及应用、判断两个集合的包含关系、判断元素与集合的关系 【分析】根据集合、空集性质及元素与集合关系判断各项正误即可. 【详解】由集合的性质及关系知，、，①②对； 由空集的性质知，、、，③④错，⑤对； 由元素与集合关系知，，⑥对. 故选：D 5．（25-26高一上·四川宜宾·阶段检测）（多选题）下列关系式中错误的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.94 【知识点】判断两个集合的包含关系、空集的概念以及判断、常用数集或数集关系应用 【分析】由集合的包含关系逐项判断即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，是无理数，故B错误； 对于C，因,故，故C正确； 对于D，因,故，故D错误. 故选：ABD 6．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）（多选题）下列关于集合间关系的说法正确的是（    ） A．若且，则 B．空集是任何非空集合的真子集 C．任何集合都是它自身的真子集 D．若⫋且⫋，则⫋ 【答案】ABD 【难度】0.94 【知识点】空集的概念以及判断、判断两个集合的包含关系 【分析】由空集的定义及性质，同时利用包含关系判断即可． 【详解】对A：若且，则，正确； 对B：空集是任何非空集合的真子集，正确； 对C：任何集合都是它自身的子集，而不是真子集，错误； 对D：若⫋且⫋，则⫋，正确. 故选：ABD 7．（24-25高一上·河南南阳·期中）（多选题）下列表述正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【难度】0.94 【知识点】判断元素与集合的关系、空集的概念以及判断、空集的性质及应用 【分析】根据元素与集合的关系，以及空集的定义和性质即可求解. 【详解】，故A错误，B正确 空集是不含任何元素的集合，且空集是任何集合的子集，故C错误，D正确， 故选：BD 8．（多选题）下列关系式正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系、空集的性质及应用 【分析】根据空集的定义和元素与集合、集合与集合的关系判断即可. 【详解】因为，故A错误； 是指元素为0的集合，所以，故B正确； 是指元素为的集合，所以，故C正确； 是任何集合的子集，所以，故D正确． 故选：BCD． 重难点题型2 求集合的子集 1．（25-26高二上·甘肃天水·阶段检测）集合的一个子集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】求集合的子集（真子集） 【分析】根据集合的子集的定义即可求解． 【详解】因为，，所以，故A正确； 因为，所以，不是的子集，故BC错误； 因为，所以不是的子集，故D错误. 故选：A. 2．（25-26高一上·广东清远·期中）满足的集合的个数为（   ） A．7 B．8 C．16 D．15 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求集合的子集（真子集）、判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】根据，列出满足要求的集合即可. 【详解】因为，所以集合中至少含有0， 所以满足条件的集合为，，，，， ，，，，，， ，，，，，共16个， 故满足的集合的个数为16. 故选：C. 3．（24-25高一上·四川成都·期中）集合的所有子集中的元素之和为（    ） A．126 B．128 C．130 D．132 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求集合的子集（真子集） 【分析】根据子集概念分析即可求解. 【详解】， 集合的所有子集有：， ， 1，3，5，7分别在子集中各出现8次，. 故选：B． 4．（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】判断两个集合的包含关系、判断两个集合是否相等 【分析】将集合内式子进行通分，列举法判断表示的数即可比较． 【详解】， ∵，∴表示所有奇数，也表示所有奇数， ∴， 故选：D． 5．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，，则（    ） A．M与N的关系不确定 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判断两个集合的包含关系、判断两个集合是否相等 【分析】将集合、中表达式化为、，再由此判断表达式中分子所表示集合的关系，即可确定、的包含关系. 【详解】集合中的元素，满足，， 集合 中的元素，满足，， 因为集合和都表示被除余数为的整数的集合； 所以， 所以 故选：C. 6．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）已知集合，则集合的所有子集为_______. 【答案】，，， 【难度】0.94 【知识点】求集合的子集（真子集） 【分析】明确集合，根据子集的概念可得集合的所有子集. 【详解】由或，所以. 所以集合的子集为：，，，. 故答案为：，，， 7．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）设集合，若，则__________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求集合的子集（真子集） 【分析】先列出集合的子集，即可得到集合. 【详解】因为集合，集合的子集有：， 所以. 故答案为： 8．（25-26高一上·宁夏吴忠·阶段检测）已知集合 (1)若，写出的所有子集 (2)若集合中只含有一个元素，求的值． 【答案】(1) (2)或 【难度】0.85 【知识点】求集合的子集（真子集）、根据集合中元素的个数求参数 【分析】（1）先将代入，求解一元二次方程得到集合的元素，再根据子集的定义列出所有子集. （2）分类讨论，当时，方程为一元一次方程，求解得到集合的元素； 当时，方程为一元二次方程，利用判别式时方程有且仅有一个实数根，求出的值，再验证集合的元素个数. 【详解】（1）当时，集合，解方程得或， 则集合，其子集有. （2）当时，集合，解方程得， 则集合，满足要求； 当时，方程有两个相同的解，即，解得， 代入得方程，解得，则集合，满足要求. 综上，的值为或. 重难点题型3 求集合的真子集 1．（2026·湖南常德·一模）集合 的真子集的个数为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【难度】0.82 【知识点】求集合的子集（真子集） 【分析】先求集合，进而求解. 【详解】由题意得：，解得，又， 所以，所以，所以， 所以集合的真子集的个数为. 2．（2026·广西崇左·一模）集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.88 【知识点】求集合的子集（真子集） 【详解】根据真子集的概念可知为的一个真子集． 3．（25-26高一上·宁夏银川·期末）已知，则满足条件的集合的个数为（    ） A．1 B．3 C．4 D．2 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】求集合的子集（真子集） 【分析】由集合间的包含关系确定所求集合即可. 【详解】由，可知集合可以是或. 故选：D. 4．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期中）已知集合，则A的非空真子集共有（   ） A．5个 B．8个 C．7个 D．6个 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】列举法表示集合、求集合的子集（真子集） 【分析】求出集合，再根据集合非空真子集个数计算公式即可得到答案. 【详解】， 则A的非空真子集共有个. 故选：D. 5．（24-25高三上·湖北荆门·阶段检测）如果集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判断两个集合的包含关系 【分析】由可得答案. 【详解】集合，， ． 故选：C． 6．如果集合，则（　 ） A．ST B．T⊆S C．S＝T D．ST 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断两个集合的包含关系 【分析】先将两集合元素表示形式统一，即，，再比较确定包含关系， 由于NZ，故. 【详解】由， 令，则，所以， 由于NZ，故. 故选：A. 7．（24-25高一上·福建三明·阶段检测）设集合A满足，则满足条件的A有__________个. 【答案】7 【难度】0.94 【知识点】求集合的子集（真子集）、判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】根据给定条件，写出含有元素的集合的真子集即可. 【详解】由集合A满足，得含有元素的集合的真子集为： ， 所以满足条件的A有7个. 故答案为：7 8．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合的所有非空真子集的元素之和为21，则______. 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】求集合的子集（真子集） 【分析】先写出集合的所有非空真子集，再将所有元素之和即可求解. 【详解】的非空真子集为 ， 则所有非空真子集的元素之和为，故. 故答案为：2. 9．已知集合中有10个元素，则集合M的非空真子集有 _____个． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求集合的子集（真子集）、空集的概念以及判断 【分析】根据集合的元素个数可得的非空真子集个数． 【详解】因为集合中有10个元素，故集合M的非空真子集有个， 故答案为：． 重难点题型4 根据集合的包含关系，求参数 1．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设集合，，若，则由实数组成的集合为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合，列出方程，即可求解. 【详解】当时，方程无解，即，满足； 当时，由方程，解得，即， 因为，可得或，解得或， 所以由实数组成的集合为. 2．（2026·江西宜春·模拟预测）若集合，，且，则的值为（    ） A．4 B．2或4 C．或4 D．或4 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据集合的包含关系求参数 【详解】当时，满足； 当时，因为，所以， 此时，满足． 3．（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）已知集合，，若，则满足条件的实数的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据集合包含关系的定义，由可知必在集合中，因此分情况讨论求解即可. 【详解】因为，所以必在集合中， 当，解得， 此时不满足集合元素的互异性，故 舍去， 当，解得或（舍去）， 此时，满足条件， 综上所述，， 故满足条件的实数的个数为1个. 故选：A. 4．（25-26高三上·山东东营·期末）已知集合，集合，若，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】先计算集合，结合集合间的包含关系，计算即可得答案. 【详解】由，解得或，所以. 因为，所以且. 由可知，或或，解得或 当时，，不满足集合元素的互异性，舍去； 当时，满足，故. 故选：B. 5．已知. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)1 (2)或 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）先求出集合，再由分析出，由一元二次方程根与系数的关系即可求出的值； （2）若，分析出集合有四种情况，即或或或，结合一元二次方程的判别式及根与系数的关系，即可求出的取值范围. 【详解】（1）因为，解得或，所以. 因为，所以， 所以-4和0是方程的两个根， 由韦达定理可得，解得， 所以实数的值是1； （2）若，则或或或. 当时， ，解得； 当时，，即， 此方程组无解，值不存在； 当时，，即，解得； 当时，由（1）知. 综上，可知实数的取值范围或. 6．（25-26高一上·河北保定·期中）已知集合． (1)若中恰有一个元素，求实数的取值构成的集合； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据集合中元素的个数求参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）根据一次方程以及二次方程的判别式即可求解， （2）对进行讨论，即可结合（1）的结论以及韦达定理求解. 【详解】（1）对于， 当，即时，方程为，则，集合中只有一个元素，满足题意； 当时，方程为关于的一元二次方程， 由题意知，该方程有两个相等的实根， 所以， 解得或. 所以实数的取值构成的集合为. （2）由题意可知，，若，则分以下几种情况讨论： ①当时，，即. ②当集合中只有一个元素时，由（1）知， 当时，，，； 当时，，，，； 当时，，，，. ③当集合中有两个元素时， 因为，所以，即， 即关于的方程的两根分别为1，2， 所以，无解. 综上所述，实数的取值范围是. 7．（24-25高一上·山西大同·阶段检测）已知集合 (1)若，请写出集合的所有子集； (2)若集合，且，求的取值范围. 【答案】(1)、、、 (2) 【难度】0.65 【知识点】求集合的子集（真子集）、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）当时，求出集合，即可写出集合的所有子集； （2）对集合中的元素个数进行分类讨论，结合可得出关于实数的等式或不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：当时，， 所以，集合的所有子集有：、、、. （2）解：因为，分以下几种情况讨论： ①当时，对于方程，，解得； ②当集合只有一个元素时，对于方程，，可得， 此时，，此时，； ③当集合有两个元素时，因为，则，即， 即关于的方程的两根分别为、， 所以，，无解. 综上所述，实数的取值范围是. 8．（21-22高一上·安徽滁州·阶段检测）已知集合，， (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据集合之间的包含关系，建立不等式组，解得答案. 【详解】（1）因为， 当时：，即符合题意； 当时，，， 综上所述：. （2）因为， 当时，， ，解得，无解， 当时，或， ， 综上所述：. 重难点题型5 根据集合的相等关系，求参数 1．（2026·江西九江·模拟预测）已知为实数，集合，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】根据两个集合相等求参数、利用集合元素的互异性求参数 【详解】因为，所以或， 解得，或，（不符合集合元素的互异性，舍去） 所以. 2．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知，，若，则（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】根据集合相等的定义分两种情况解方程组，再结合元素具有互异性判断可得结果. 【详解】因为，且，， ①当，解得或，由集合中元素具有互异性，故不符合题意； ②当时，解得（舍去）或.即，符合题意. 所以. 故选：D 3．（25-26高一上·吉林·阶段检测）已知实数，集合，则（   ） A．1 B．－1 C．2 D．－2 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据两个集合相等求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】分类讨论，结合题意及集合互异性可得，即可得答案. 【详解】由，分情况讨论如下： 若，则，则，则，得到矛盾结论； 则，则，从而，则. 则. 故选：C 4．已知，，若集合，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】根据题意，由集合相等列出方程，即可求得，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， 所以，解得或 当时，不满足集合元素的互异性， 故，，. 故选：B. 5．（2026高一·全国·专题练习）设a，，若集合，则______． 【答案】0 【难度】0.7 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据两个集合相等求参数、判断元素与集合的关系 【分析】根据集合相等的定义，结合集合元素的互异性，推导出、的值后代入所求式子计算. 【详解】因为右侧集合中有，分母不能为0，故， 两个集合相等，左侧集合必须含元素0，结合，得：，即 ，因此， 此时左侧集合为，右侧集合为，集合元素对应相等，可得，， 此时，符合条件. 所以. 6．（25-26高三·全国·一轮复习）已知a，，若，则______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】利用集合相等可得，代值求解即可. 【详解】由已知得，则，所以， 于是，即或， 又由集合中元素的互异性知应舍去，故， 所以. 7．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，，，为实数且． (1)当，时，判断集合，间的关系； (2)若，求实数和的值． 【答案】(1)B A (2)或． 【难度】0.65 【知识点】根据两个集合相等求参数、判断两个集合的包含关系 【分析】（1）解出集合，再判断结果即可； （2）分和两种情况分别在时求出对应的即可； 【详解】（1）当时，集合，故B A． （2）①当时，集合，由得，解得； ②当时，集合，此时，解得． 综上所述，或． 8．已知集合,集合. (1)若,求实数a的取值范围; (2)是否存在实数a,使?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由. 【答案】(1)或 (2)无解. 【难度】0.65 【知识点】根据两个集合相等求参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）对A可以分为或两种情况来讨论，分别列不等式组求出实数a的取值范围;（2）由列不等式组即可解得. 【详解】（1）因为,所以集合A可以分为或两种情况来讨论： 当时,； 当时,得. 综上,实数a的取值范围是或. （2）若存在实数a,使,则必有,无解. 故不存在实数a,使. 重难点题型6 综合应用 1．（25-26高一上·上海奉贤·期末）设全集为，集合，集合． (1)求集合； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.82 【知识点】根据集合的包含关系求参数、分式不等式 【分析】（1）解分式不等式求集合； （2）利用，分情况讨论求出实数的取值范围． 【详解】（1）不等式等价于，解得， 集合． （2）当时，无实数解，故，满足，故满足条件； 当时，由得，解得， 即，已知， ，解得， ， 综上，的取值范围是． 2．（25-26高一上·河南周口·期末）已知全集，，. (1)当时，求； (2)若，求m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】根据集合的包含关系求参数、交集的概念及运算 【分析】（1）先求出集合，再根据交集的概念即可求出； （2）分和两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）当时，，， 根据交集的概念可得 （2）当，即时，，满足； 当，即时，，解得，故， 综上，m的取值范围为. 3．（25-26高一下·北京顺义·阶段检测）已知集合（且），，且．若对任意，，当时，存在使得，则称A是S的m元好子集． (1)判断下列集合是否是的3元好子集：①；②；（直接写出结果，不需要说明理由） (2)若是的4元好子集，求的最小值； (3)若是（且）的m元好子集．求证：，并指出等号成立的条件． 【答案】(1)不是的3元好子集，是的3元好子集. (2)20 (3)证明见解析，等号成立的条件为，且 【难度】0.32 【知识点】集合新定义、判断元素与集合的关系 【分析】（1）根据“好子集”的定义，检查集合中两个元素的和在不超过时是否仍属于该集合． （2）设，其中，按的取值分类讨论，求和的最小值． （3）先证明对任意，都有，再两两相加得到不等式．最后根据等号成立时的结构推出必为等差形式，并验证该形式满足条件． 【详解】（1）①因为，但，所以不是的元好子集． ②集合中，两数之和不超过的情况只有． 且，所以是的元好子集． （2）设. 若，则由好子集的定义可得. 再由. 可知至少含有这个元素，与是元集合矛盾． 故. 若，则，所以． 又，所以． 再由，得． 故. 因为是元集合，所以. 此时，并且满足好子集的定义，所以可以取到． 若，若，则由于中元素互不相同且递增，只可能有或. 当时，，但，不符合好子集的定义． 当时，，但，也不符合好子集的定义． 故当时，必有. 综上，的最小值为． （3）设. 先证明对任意，都有. 假设存在某个，使得. 则对，均有. 由好子集的定义可知都属于． 这些数两两不同，并且都大于，所以它们都只能出现在中． 但是前者共有个不同的数，后者只有个数，矛盾． 故. 于是 所以. 下面讨论等号成立的条件．若等号成立，则对任意，都有. 特别地，对，因为且为整数，所以. 由好子集的定义可知这个数两两不同，并且都大于，所以它们恰好是. 又因为随的增大而增大，所以. 于是，由，得. 所以. 因此等号成立时，必须有. 反过来，若，记. 任取，若. 则，由于为整数，得. 于是. 故是的元好子集，且. 所以等号成立的条件正是. 4．（25-26高一上·上海·期中）给定正整数，设集合．对于，称为的第i个坐标分量．若且同时满足以下条件，则称S是的好子集：①集合S中的元素个数不少于4；②对于S中任意的三个元素，，，存在使得，，的第m个坐标分量都是1． (1)若是的好子集，直接写出，； (2)求的好子集S的元素个数的最大值； (3)当取到（2）中的最大值时，求出好子集S的具体形式． 【答案】(1)，或， (2) (3)答案见解析 【难度】0.22 【知识点】集合新定义 【分析】（1）根据好子集的定义写； （2）根据元素与不能同属于好子集，得到好子集的元素个数最大值； （3）根据（2）的结论判断即可. 【详解】（1）因为是好子集，故中第m个坐标分量都是1， 故的第一个坐标分量是1，同理的第一个坐标分量是1， 而、与相异， 故为或. （2）中有个元素． 若元素与同时属于集合S， 则任选集合S中的另一个元素，那么，，中的第1，2，…，n个分量均不会同时为1， 从而S不是的好子集． 因此当S是的好子集时，其元素个数．           取，则S是的好子集，且．        综上，的好子集S的元素个数的最大值为． （3）当时，S中的元素必有某一个坐标分量的值均为1， 即，． 证明：由（2）知，，中的元素与恰有一个属于集合S， 则对于的好子集S中任意两个元素，， 都有元素 ． 若不然，假设存在S中的两个元素x，y，使得，则 ． 但元素x，y，的第k个坐标分量，，不可能同时为1， 这与S是的好子集矛盾！因此． 设S中所有元素的乘积为，则由命题知． 由于元素，故 所以z必定存在某个分量，此时S中所有元素的第i个分量均为1． 【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于利用反证法证明当时，必存在一个公共坐标位置，使得所有元素的该分量均为1. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 集合间的基本关系 目录●重难点题型分布 重难点题型1 空集 1．（25-26高一上·湖北·期中）下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·安徽马鞍山·期中）下列表述正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列式子表示正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·广东汕头·阶段检测）有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥其中不正确的是（   ） A．①③ B．③④⑤ C．①②⑤⑥ D．③④ 5．（25-26高一上·四川宜宾·阶段检测）（多选题）下列关系式中错误的有（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）（多选题）下列关于集合间关系的说法正确的是（    ） A．若且，则 B．空集是任何非空集合的真子集 C．任何集合都是它自身的真子集 D．若⫋且⫋，则⫋ 7．（24-25高一上·河南南阳·期中）（多选题）下列表述正确的有（   ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·贵州黔东南·期中）（多选题）下列关系式正确的为（    ） A． B． C． D． 重难点题型2 求集合的子集 1．（25-26高二上·甘肃天水·阶段检测）集合的一个子集为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·广东清远·期中）满足的集合的个数为（   ） A．7 B．8 C．16 D．15 3．（24-25高一上·四川成都·期中）集合的所有子集中的元素之和为（    ） A．126 B．128 C．130 D．132 4．（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，，则（    ） A．M与N的关系不确定 B． C． D． 6．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）已知集合，则集合的所有子集为_______. 7．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）设集合，若，则__________. 8．（25-26高一上·宁夏吴忠·阶段检测）已知集合 (1)若，写出的所有子集 (2)若集合中只含有一个元素，求的值． 重难点题型3 求集合的真子集 1．（2026·湖南常德·一模）集合 的真子集的个数为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 2．（2026·广西崇左·一模）集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·宁夏银川·期末）已知，则满足条件的集合的个数为（    ） A．1 B．3 C．4 D．2 4．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期中）已知集合，则A的非空真子集共有（   ） A．5个 B．8个 C．7个 D．6个 5．（24-25高三上·湖北荆门·阶段检测）如果集合，，则（    ） A． B． C． D． 6．如果集合，则（　 ） A．ST B．T⊆S C．S＝T D．ST 7．（24-25高一上·福建三明·阶段检测）设集合A满足，则满足条件的A有__________个. 8．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合的所有非空真子集的元素之和为21，则______. 9．已知集合中有10个元素，则集合M的非空真子集有 _____个． 重难点题型4 根据集合的包含关系，求参数 1．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设集合，，若，则由实数组成的集合为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·江西宜春·模拟预测）若集合，，且，则的值为（    ） A．4 B．2或4 C．或4 D．或4 3．（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）已知集合，，若，则满足条件的实数的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26高三上·山东东营·期末）已知集合，集合，若，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．已知. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 6．（25-26高一上·河北保定·期中）已知集合． (1)若中恰有一个元素，求实数的取值构成的集合； (2)若，求实数的取值范围． 7．（24-25高一上·山西大同·阶段检测）已知集合 (1)若，请写出集合的所有子集； (2)若集合，且，求的取值范围. 8．（21-22高一上·安徽滁州·阶段检测）已知集合，， (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 重难点题型5 根据集合的相等关系，求参数 1．（2026·江西九江·模拟预测）已知为实数，集合，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知，，若，则（   ） A．2 B．1 C． D． 3．（25-26高一上·吉林·阶段检测）已知实数，集合，则（   ） A．1 B．－1 C．2 D．－2 4．已知，，若集合，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 5．（2026高一·全国·专题练习）设a，，若集合，则______． 6．（25-26高三·全国·一轮复习）已知a，，若，则______. 7．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，，，为实数且． (1)当，时，判断集合，间的关系； (2)若，求实数和的值． 8．已知集合,集合. (1)若,求实数a的取值范围; (2)是否存在实数a,使?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由. 重难点题型6 综合应用 1．（25-26高一上·上海奉贤·期末）设全集为，集合，集合． (1)求集合； (2)若，求实数的取值范围． 2．（25-26高一上·河南周口·期末）已知全集，，. (1)当时，求； (2)若，求m的取值范围. 3．（25-26高一下·北京顺义·阶段检测）已知集合（且），，且．若对任意，，当时，存在使得，则称A是S的m元好子集． (1)判断下列集合是否是的3元好子集：①；②；（直接写出结果，不需要说明理由） (2)若是的4元好子集，求的最小值； (3)若是（且）的m元好子集．求证：，并指出等号成立的条件． 4．（25-26高一上·上海·期中）给定正整数，设集合．对于，称为的第i个坐标分量．若且同时满足以下条件，则称S是的好子集：①集合S中的元素个数不少于4；②对于S中任意的三个元素，，，存在使得，，的第m个坐标分量都是1． (1)若是的好子集，直接写出，； (2)求的好子集S的元素个数的最大值； (3)当取到（2）中的最大值时，求出好子集S的具体形式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $