1.2集合间的基本关系 综合训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦集合基本关系，以“子集-包含-相等-空集”为逻辑主线，通过分层题型构建从概念理解到综合应用的训练体系，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合与子集（真子集）|6题|子集个数计算、含参数子集确定|从元素与集合关系切入，推导子集个数公式，形成概念认知基础| |两个集合的包含关系|6题|包含关系判断、参数范围求解|深化子集概念，通过不等式与集合运算结合，建立逻辑推理链条| |两个集合的相等|6题|集合相等的元素对应、符号表示辨析|从集合互包含过渡到元素完全相同，强化等价转化思想| |空集的性质|8题|空集特殊性应用、综合判断题|作为特殊子集，整合前序知识，提升分类讨论与严谨思维能力|

1.2集合的基本关系答案 巩固过关 1．（25-26高二下·河南商丘·期末）集合的真子集个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【详解】，集合有个元素，故集合的真子集个数为. 2．（25-26高二下·福建厦门·期末）已知集合A，B，，，，则满足条件的B的个数为（    ） A．16 B．32 C．36 D．64 【答案】B 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、求集合的子集（真子集） 【分析】应用元素和集合关系及集合的包含关系判断求解. 【详解】已知，，且，所以的个数为. 3．（25-26高二下·河南南阳·期末）集合且的非空子集的个数为（   ） A．15 B．31 C．32 D．64 【答案】B 【知识点】列举法表示集合、判断集合的子集（真子集）的个数 【详解】因为， 所以集合有5个元素，故的非空子集个数是． 4．（24-25高二下·四川德阳·期末）含有个元素的集合的非空真子集的个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【详解】根据集合子集的计数性质，含有个元素的集合，其所有子集的总个数为， 非空真子集是指既不是空集，也不等于原集合， 因此需要从总子集数中排除空集、原集合共2个不符合要求的子集， 所以该集合的非空真子集个数为． 5．（25-26高一上·上海·期中）满足   的所有集合的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定，再由题意可得，其中集合为集合的子集，从而可得结果. 【详解】由，得. 设集合为集合的子集，则集合可能为：，共种. 由题意，集合，所以集合共有个， 分别为：． 6．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）集合的全部非空子集的元素和等于_________. 【答案】240 【知识点】求集合的子集（真子集） 【分析】先确定集合中的元素个数，对于集合中的任意一个元素，其余个元素每个都有“选”和“不选”两种情况，即可得到任意一个元素所在所有子集中出现的次数，进而可求解. 【详解】集合中共有个元素， 对于集合中的任意一个元素，它在所有子集中出现的次数为次， 则集合的全部非空子集的元素和等于. 故答案为：. 7．（2026高一·全国·专题练习）下列关系中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系、空集的概念以及判断 【分析】根据空集的定义和相关性质逐项分析判断即可. 【详解】因为空集不含任何元素，且空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集， 所以，，，不是的子集，故ABD错误，C正确. 8．（第02讲集合的基本关系（暑假预习讲义）新高一数学人教B版）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断两个集合的包含关系 【详解】因为，所以． 9．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系 【分析】先计算集合，根据元素与集合、集合与集合之间的关系判断各个选项. 【详解】因为，所以，可知 对于A，是集合不是集合的元素，故错误，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，因为，不满足，D错误； 故选：C. 10．（2026高一·全国·专题练习）已知集合或 ，若，则实数的取值范围是________． 【答案】或 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】由集合包含关系结合题设可得答案. 【详解】由题意，因集合或 ，， 则或，即或， 即实数的取值范围是或 11．（暑假预习专题第2讲集合之间的关系（暑假预习讲义）新高一年级数学沪教版）已知，若，求的值 【答案】或或 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】求解方程，得.讨论和两种情况，即可求得的值. 【详解】由，得，解得或. 所以， 当时，，满足； 当时，, 因为，所以或， 所以或. 综上所述，或或. 12．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值集合； (3)若中有3个整数，求实数的取值集合； (4)若，求实数的取值集合； (5)若，求实数的取值取值集合； 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）略 （2）略 （3）根据区间长度得，解得，接下来再分，，和，根据左端点的范围确定右端点的范围，进行求解； （4）根据集合的包含关系确定参数范围； （5）根据集合的包含关系确定参数范围. 【详解】（1）因为，，所以. （2）因为， 若，则，解得， 所以实数的取值集合为. （3）因为，中有3个整数， 所以，解得， 当时，，符合题意， 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 综上所述，实数的取值集合为 （4）当时，如图，此时．    则，即，因此的取值集合为． （5）当时，如图， 此时，解得，此时无解；    当时，由，解得． 综上可得：的取值集合为． 13．（25-26高一上·江苏徐州·期末）下面关于集合的表示正确的是（   ） A． B．. C． D．. 【答案】C 【知识点】判断是否为同一集合、判断两个集合是否相等、空集的概念以及判断 【分析】对于A，根据集合元素的无序性判断；对于B，根据特征元素判断；对于C，根据集合相等的定义判断；对于D，根据集合相等的定义判断. 【详解】对于A，根据集合元素的无序性，可知，故错误； 对于B，特征元素不相同，故不是相等集合，故错误； 对于C，都是数集，且范围相同，故相等，故正确； 对于D，不是空集，0是一个元素，故错误； 故选C. 14．（25-26高一下·安徽合肥·阶段检测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断两个集合是否相等 【详解】因为集合， ， 所以. 15．（25-26高一上·广东潮州·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（    ） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C． D．集合与集合是同一个集合 【答案】AC 【知识点】列举法表示集合、判断两个集合的包含关系、判断两个集合是否相等、集合元素互异性的应用 【分析】根据集合中元素的无序性可知A正确；根据空集的定义可知B错误；根据空集是任意集合的子集可知C正确；根据两集合表示的数集不同可确定D错误. 【详解】对于A，集合中的元素具有无序性，则，均可表示由组成的集合，A正确； 对于B，是不含任何元素的集合，是含有一个元素的集合；与不是同一个集合，B错误； 对于C，是任意集合的子集，则，C正确； 对于D，，，集合与集合不是同一个集合，D错误. 故选：AC. 16．（2026高三下·湖北·竞赛）已知且，集合，．若，则______． 【答案】5 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】利用集合相等则元素和相等先求出的可能值，结合集合元素性质排除不符合的解，再匹配对应元素求出，最终计算. 【详解】若，则两个集合元素之和相等，中元素和为，因此的元素和也为， 即 解得或. 若，则，但时中元素均不为，矛盾，排除； 若，则，结合，得元素乘积相等，即， 化简得，结合得，此时，符合条件. 所以. 17．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知，，若，则（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】根据集合相等的定义分两种情况解方程组，再结合元素具有互异性判断可得结果. 【详解】因为，且，， ①当，解得或，由集合中元素具有互异性，故不符合题意； ②当时，解得（舍去）或.即，符合题意. 所以. 故选：D 18．（2026高一·全国·专题练习）设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 【答案】(1)或 (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）由，对集合进行分类讨论：①若，②若为，，③若，由此求得的值即可. （2）先化简集合，，再由 ，能求得的值. 【详解】（1）集合，， 由题意， ①若，则，则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：， 即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且，则. 综上所述，实数的取值范围是或. （2），， 则，即 ， 即0和是方程的两根， ，， 解得：或（舍去）， 故. 19．（25-26高一上·广东·阶段检测）记集合，. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、空集的性质及应用 【分析】（1）由条件，列不等式求的范围； （2）分，两种情况，结合条件列不等式求的范围； 【详解】（1）由，得，解得或， 故的取值范围是或 （2）当时题设显然成立，此时有，解得； 当时，有，解得或. 综上的取值范围是. 20．（25-26高一上·安徽·期中）下列说法错误的是（   ） A．由1，2，3组成的集合可表示为或 B．空集是集合的子集 C．代数式的值组成的集合是 D．集合与集合是同一个集合 【答案】D 【知识点】判断是否为同一集合、列举法表示集合、空集的性质及应用、集合元素互异性的应用 【分析】根据集合中元素的无序性判断A，根据空集的性质判断B，分类讨论判断C，根据集合中元素判断D. 【详解】集合元素无序，和表示同一个集合，A对； 空集是任何非空集合的子集，B对； 当时，；当或时，； 当时，，C对； 是点集，是数集，D错． 故选：D 21．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）下列符号表述正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系、空集的性质及应用 【分析】根据表示的集合，空集、子集的概念得解. 【详解】根据分别表示正整数集、有理数集可知AB错误； 由空集的意义可知C错误；根据空集是任何集合的子集可知D正确. 故选：D 22．（24-25高一上·江苏南通·阶段检测）（多选）下列结论错误的是（    ） A．任何一个集合至少有两个子集 B．空集是任何集合的真子集 C．若且，则 D．若且，则 【答案】ABD 【知识点】判断元素与集合的关系、判断集合的子集（真子集）的个数、判断两个集合的包含关系、空集的性质及应用 【分析】AB选项，根据空集的性质判断；CD选项，根据子集的定义判断. 【详解】空集只有一个子集，故A错； 空集时任何非空集合的真子集，故B错； 因为，所以集合中所有元素都属于集合，则，故C正确； 例如，，，满足且，此时，故D错. 故选：ABD. 23．（24-25高一上·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【知识点】空集的性质及应用 【分析】利用空集的意义，结合方程根的情况列式求解即得. 【详解】当时，不成立，即，则； 当时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 24．（24-25高一上·吉林长春·阶段检测）设集合，，若，则的值为______． 【答案】0或1或 【知识点】根据集合的包含关系求参数、空集的性质及应用 【分析】由，按集合的可能情况分类讨论求解可得． 【详解】由， 方程至多1个解，故. ， 或或， ①若，则； ②若，则； ③若，则，解得； 综上可得，或1或. 故答案为：0或1或. 能力进阶 1．（2026年高一数学秋季开学分班�学情自测卷（北师大版必修一预备知识：集合与常用逻辑用语 不等式））设、是实数，集合，，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据两个集合相等求参数、根据集合相等关系进行计算 【详解】因为、是实数，集合，，且， 因为且，若，则，解得， 此时，集合中的元素不满足互异性，不符合题意； 若，即，解得或， 因为，故应舍去，所以，则， 于是有，可得，符合题意. 综上所述，，，故. 2．（2026高三·全国·专题练习）已知集合，，若，则实数m的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【详解】解方程，因式分解得，解得或，故. 当时，方程无解，即，空集是任意非空集合的真子集，满足. 当时，，由可知： 若，解得； 若，解得. 综上，实数的取值集合为. 3．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知集合，，若，则所有的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【详解】至多一个解，当时，无解，故， 当时，，解得， 当时，， 故所有的取值构成的集合为. 4．（25-26高二下·重庆·期末）集合，，，则实数的值为（     ） A．1 B．-1 C．0 D．0或1 【答案】C 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】根据元素与集合的关系，列式，再检验集合中元素是否满足互异性. 【详解】由条件，则或， 当时，集合不满足集合元素的互异性，舍去， 当时，或（舍）， 所以. 5．（25-26高二下·河南商丘·期末）集合的真子集个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【详解】，集合有个元素，故集合的真子集个数为. 6．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）已知集合，集合，则与关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系 【分析】先利用列举法表示集合，再根据元素与集合的关系和集合与集合的关系判断结论. 【详解】因为，， 所以， 因为，所以集合不是集合的子集，A错误 因为可视为集合的一个元素，但集合中不含该元素，所以集合不是集合的子集，C错误； 因为集合的元素中含有元素，所以，B错误，D正确. 7．（2026·河南·一模）已知实数a，b，设，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据集合的包含关系求参数 【详解】，则集合中元素都在集合中， 若，解得，则集合有两个2，不符合集合中元素的互异性，舍去； 若，方程无解； 由题意知，则必有， 此时，若，则，方程无实数根， ，则或， 当时，，此时； 当时，，此时； 综上可得，． 8．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设集合，，若，则由实数组成的集合为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合，列出方程，即可求解. 【详解】当时，方程无解，即，满足； 当时，由方程，解得，即， 因为，可得或，解得或， 所以由实数组成的集合为. 9．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）（多选）已知非空集合，且，则的值可以是（    ） A．4 B．3 C．－3 D．0 【答案】BCD 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据题意，分或或，三种情况讨论，结合一元二次方程的性质，即可求解． 【详解】因为非空集合，则或或， 当时，可得且，解得，则； 当时，可得且，解得，则； 当时，可得，解得，则， 综上可得，的值可以是3或－3或0． 故选：BCD． 10．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）（多选）已知集合，则（   ） A． B． C．M的子集个数为4 D．M的子集个数为8 【答案】BD 【知识点】判断元素与集合的关系、列举法表示集合、判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】由列举法求得集合，由集合元素的个数得到集合的子集个数，即可判断各个选项. 【详解】由题可知，则，B选项正确， ，A选项错误， 的子集个数为8，C选项错误，D选项正确． 故选：BD. 11．（25-26高一上·云南昭通·期中）（多选）已知集合，则（    ） A．若，则 B．若，则有两个子集 C．若中只有一个元素，则 D．不可能为 【答案】AB 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、判断集合的子集（真子集）的个数、空集的概念以及判断、根据集合中元素的个数求参数 【分析】利用元素与集合关系求解判断A；求出集合判断B；根据集合中元素的个数求出参数的值或取值范围，可判断CD选项. 【详解】对于A，由，得，解得，A正确； 对于B，由，得，解得，集合有两个子集，B正确； 对于C，若集合只有一个元素， 当时，，合乎题意， 当时，则有，解得， 故当中只有一个元素时，或，C错误； 对于D，当时，则关于的方程无实数解， 所以，解得， 故当时，，D错误. 故选：AB. 12．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知非空集合，且⫋，则___________ 【答案】8 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据集合A是非空集合且⫋，得到中只有1个元素，即一元二次方程只有一个根，然后由求解. 【详解】由题意得，中只有1个元素，则，解得， 当时，，此时，则， 当时，，此时，则， 则. 13．（2026高一·全国·专题练习）设a，，若集合，则______． 【答案】0 【知识点】判断元素与集合的关系、利用集合元素的互异性求参数、根据两个集合相等求参数 【分析】根据集合相等的定义，结合集合元素的互异性，推导出、的值后代入所求式子计算. 【详解】因为右侧集合中有，分母不能为0，故， 两个集合相等，左侧集合必须含元素0，结合，得：，即 ，因此， 此时左侧集合为，右侧集合为，集合元素对应相等，可得，， 此时，符合条件. 所以. 14．（2026·上海金山·模拟预测）已知集合，且，则实数a的取值范围是_________. 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据子集的包含关系，确定端点值范围即可. 【详解】解：由，则集合中的所有元素必须属于集合， 所以，即a的取值范围为 15．（25-26高一上·广东·期末）已知集合，． (1)若，求A； (2)若，且，求实数b的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、列举法表示集合、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）解一元二次方程即可求解； （2）由可得，解得，进而得到，再根据包含关系求解即可. 【详解】（1）当时，得，解得或， 所以． （2）因为，所以，解得， 所以． 因为，所以，解得， 所以b的取值范围是． 16．（2025高一上·福建厦门·专题练习）已知集合． (1)若，求实数的取值集合． (2)若的子集有两个，求实数的取值集合． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、判断集合的子集（真子集）的个数、根据集合中元素的个数求参数 【分析】（1）由可得，分和进行讨论； （2）由的子集有两个得出只含有一个元素，分和进行讨论. 【详解】（1）若，则， 若，则，不符合题意， 若，则，解得， 所以实数的取值集合为. （2）若的子集有两个，则集合只含有一个元素， 若，则，符合题意； 若，，解得. 综上所述，实数的取值集合为. 17．（2025高一上·安徽六安·专题练习）已知集合． (1)若，求的值； (2)若集合至多有两个子集，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、根据集合中元素的个数求参数 【分析】（1）由，代入得，再求解即可； （2）分集合为或有且仅有一个元素两种情况进行求解，其中当集合有且仅有一个元素时，注意对方程的二次项系数分和两种情况进行分别求解即可． 【详解】（1）由于，所以是的实数根， 故，故； （2）由已知可得中最多有一个元素，故中可能无任何元素，或者只有一个元素， 当时只有一个元素， 当时，方程为一元二次方程，，即时，为空集； ，即时，方程有两个相等的根，中有一个元素， 中最多有一个元素，或． 18．（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）设集合，． (1)当时，求的所有子集中的元素之和； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)1536 (2)或 【知识点】求集合的子集（真子集）、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）由题知，进而根据集合中的每个元素包含它的子集个数为计算求解即可； （2）分与两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）解：当时，， 对于集合中的每个元素，除该元素外还有个元素， 每个元素有选或不选两种可能，包含它的子集个数为， 故的所有子集中的元素之和为． （2）解：当，即时，满足． 当，即时，要使成立，需，可得， 综上，的取值范围是或． 19．（25-26高一上·广东·阶段检测）设是由若干正整数组成的集合，且存在3个不同的元素，使得，则称为“等差集”. (1)若集合，，且是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的； (2)若集合是“等差集”，求的值. 【答案】(1)或或 (2)2 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、求集合的子集（真子集）、集合新定义 【分析】（1）首先根据，再结合“等差集”的定义，确定集合有3个元素或4个元素，结合新定义，即可列举； （2）由“等差集”的定义可知，得，即可列式求解. 【详解】（1）因为集合，，存在3个不同的元素，使得， 所以集合中必然同时含有元素或， 则或或 （2）因为集合是“等差集”， 所以或或， 计算可得或或或或， 又因为集合的元素为正整数，所以为正整数，所以， 经检验，当时，集合，满足题意，故. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2集合的基本关系（题型专练） 集合与子集（真子集）知识点01 1．（25-26高二下·河南商丘·期末）集合的真子集个数为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·福建厦门·期末）已知集合A，B，，，，则满足条件的B的个数为（    ） A．16 B．32 C．36 D．64 3．（25-26高二下·河南南阳·期末）集合且的非空子集的个数为（   ） A．15 B．31 C．32 D．64 4．（24-25高二下·四川德阳·期末）含有个元素的集合的非空真子集的个数为（     ） A． B． C． D． 5．25-26高一上·上海·期中）满足   的所有集合的个数是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）集合的全部非空子集的元素和等于_________. 两个集合的包含关系知识点02 7．（2026高一·全国·专题练习）下列关系中正确的是（ ） A． B． C． D． 8．（第02讲集合的基本关系（暑假预习讲义）新高一数学人教B版）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 10．（2026高一·全国·专题练习）已知集合或 ，若，则实数的取值范围是________． 11．（暑假预习专题第2讲集合之间的关系（暑假预习讲义）新高一年级数学沪教版）已知，若，求的值 12．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值集合； (3)若中有3个整数，求实数的取值集合； (4)若，求实数的取值集合； (5)若，求实数的取值取值集合； 两个集合的相等知识点03 13．（25-26高一上·江苏徐州·期末）下面关于集合的表示正确的是（   ） A． B．. C． D．. 14．（25-26高一下·安徽合肥·阶段检测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 15．（25-26高一上·广东潮州·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（    ） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C． D．集合与集合是同一个集合 16．（2026高三下·湖北·竞赛）已知且，集合，．若，则______． 17．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知，，若，则（   ） A．2 B．1 C． D． 18．（2026高一·全国·专题练习）设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 空集的性质知识点04 19．（25-26高一上·广东·阶段检测）记集合，. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 20．（25-26高一上·安徽·期中）下列说法错误的是（   ） A．由1，2，3组成的集合可表示为或 B．空集是集合的子集 C．代数式的值组成的集合是 D．集合与集合是同一个集合 21．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）下列符号表述正确的是（   ） A． B． C． D． 22．（24-25高一上·江苏南通·阶段检测）（多选）下列结论错误的是（    ） A．任何一个集合至少有两个子集 B．空集是任何集合的真子集 C．若且，则 D．若且，则 23．（24-25高一上·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是_____. 24．（24-25高一上·吉林长春·阶段检测）设集合，，若，则的值为______． 1．（2026年高一数学秋季开学分班�学情自测卷（北师大版必修一预备知识：集合与常用逻辑用语 不等式））设、是实数，集合，，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 2．（2026高三·全国·专题练习）已知集合，，若，则实数m的取值集合是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知集合，，若，则所有的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·重庆·期末）集合，，，则实数的值为（     ） A．1 B．-1 C．0 D．0或1 5．（25-26高二下·河南商丘·期末）集合的真子集个数为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）已知集合，集合，则与关系为（     ） A． B． C． D． 7．（2026·河南·一模）已知实数a，b，设，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 8．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设集合，，若，则由实数组成的集合为（     ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）（多选）已知非空集合，且，则的值可以是（    ） A．4 B．3 C．－3 D．0 10．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）（多选）已知集合，则（   ） A． B． C．M的子集个数为4 D．M的子集个数为8 11．（25-26高一上·云南昭通·期中）（多选）已知集合，则（    ） A．若，则 B．若，则有两个子集 C．若中只有一个元素，则 D．不可能为 12．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知非空集合，且⫋，则___________ 13．（2026高一·全国·专题练习）设a，，若集合，则______． 14．（2026·上海金山·模拟预测）已知集合，且，则实数a的取值范围是_________. 15．（25-26高一上·广东·期末）已知集合，． (1)若，求A； (2)若，且，求实数b的取值范围． 16．（2025高一上·福建厦门·专题练习）已知集合． (1)若，求实数的取值集合． (2)若的子集有两个，求实数的取值集合． 17．（2025高一上·安徽六安·专题练习）已知集合． (1)若，求的值； (2)若集合至多有两个子集，求的取值范围． 18．（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）设集合，． (1)当时，求的所有子集中的元素之和； (2)若，求的取值范围． 19．（25-26高一上·广东·阶段检测）设是由若干正整数组成的集合，且存在3个不同的元素，使得，则称为“等差集”. (1)若集合，，且是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的； (2)若集合是“等差集”，求的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $