第2章 第2讲 函数的单调性与最值 课后达标检测(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

**基本信息** 聚焦函数单调性判定与应用，通过定义法、复合函数法则及分类讨论构建系统性解题体系，强化知识迁移与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础单调性判定|3题|定义法/图象法|一次/二次/反比例函数性质→单调性直接判断| |复合函数单调性|2题|内外层函数同增异减|定义域优先→分解内外函数→单调性复合规则| |分段函数综合|3题|分段讨论+端点分析|分段函数定义域→各段单调性→整体最值求解| |抽象函数性质|2题|赋值法+单调性定义|函数性质抽象推理→单调性证明→不等式应用|

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．y＝ B．y＝－3x C．y＝5－x2 D．y＝|x| 解析：选D.y＝为反比例函数，在(0，＋∞)上单调递减；y＝－3x为一次函数，在(0，＋∞)上单调递减；y＝5－x2为开口向下的二次函数，在(0，＋∞)上单调递减；当x>0时，y＝|x|＝x在(0，＋∞)上单调递增． 2．若函数f(x)＝(m－1)x＋b在R上是减函数，则(　　) A．f(m)<f(1) B．f(m)>f(1) C．f(m)≤f(1) D．f(m)≥f(1) 解析：选B.因为函数f(x)＝(m－1)x＋b 在R 上是减函数，所以m－1<0，得m<1，所以f(m)>f(1). 3．已知a，b∈(0，＋∞)，则“a>b”是“a－>b－”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C.令f(x)＝x－(x>0)，因为y＝x，y＝－在(0，＋∞)上都是增函数，所以f(x)＝x－在(0，＋∞)上单调递增，又a，b∈(0，＋∞)，所以a>b ⇔ f(a)>f(b)，即“a>b”是“a－>b－”的充要条件． 4．(2026·茂名模拟)已知函数f(x)＝在区间(a，＋∞)上单调递增，则a的取值范围为(　　) A．(－∞，1] B．(－∞，3] C．[3，＋∞) D．[5，＋∞) 解析：选D.由x2－6x＋5≥0，可得x≤1或x≥5，即函数f(x)的定义域为(－∞，1]∪[5，＋∞)， 又因为t＝x2－6x＋5在[5，＋∞)上单调递增，在(－∞，1]上单调递减，y＝在[0，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性可知f(x)＝在区间[5，＋∞)上单调递增， 故a≥5. 5．函数f(x)＝4x2－8x＋8在(2m，m＋1)上既没有最大值也没有最小值，则m的取值范围是(　　) A．(－∞，0)∪ B．(－∞，0]∪ C．(－∞，0]∪ D．(－∞，0)∪ 解析：选C.由已知可得函数f(x)图象的对称轴为直线x＝1，且函数f(x)在区间(2m，m＋1)上单调，则2m≥1或m＋1≤1，解得m≥或m≤0，又2m<m＋1，即m<1，所以≤m<1或m≤0， 即m的取值范围是(－∞，0]∪. 6．(多选)函数f(x)＝在区间(n，＋∞)上单调递增，则下列说法正确的是(　　) A．m<－2 B．m>－2 C．n≤－1 D．n≥－1 解析：选BD.函数f(x)＝＝2－，由f(x)在区间(n，＋∞)上单调递增，则m＋2>0，即m>－2，故A错误，B正确；又f(x)＝2－在区间(－1，＋∞)上单调递增，则(n，＋∞)⊆(－1，＋∞)，即n≥－1，故C错误，D正确． 7．函数f(x)是定义在[0，＋∞)上的增函数，则不等式f(2x－1)<f的解集是________． 解析：因为函数f(x)是定义在[0，＋∞)上的增函数，由f(2x－1)<f， 得0≤2x－1<，解得≤x<， 即x∈. 答案： 8．能使“函数f(x)＝x|x－1|在区间I上不是单调函数，且在区间I上的函数值的集合为[0，2]”是真命题的一个区间I为________． 解析：当x≥1时，f(x)＝x(x－1)＝x2－x；当x<1时，f(x)＝x(1－x)＝－x2＋x，所以f(x)在(－∞，)，(1，＋∞)上单调递增，在(，1)上单调递减．令f(x)＝0，解得x＝1或x＝0；令f(x)＝2，解得x＝2，所以只需I＝[a，2]，0≤a<1或I＝(b，2]，0≤b<1，故I可以为[0，2]. 答案：[0，2](答案不唯一) 9．(13分)已知函数f(x)＝ (1)若函数f(x)在区间[a，a＋2]上单调，求实数a的取值范围；(7分) (2)当a>－1时，记f(x)在区间[a，a＋2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．(6分) 解：(1)当x<0时，f(x)＝x2＋2x在(－∞，－1]上单调递减，在[－1，0)上单调递增，当x≥0时，f(x)＝x2－2x在[0，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，因此函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1]，[0，1]，单调递增区间为[－1，0)，[1，＋∞)， 函数f(x)在[a，a＋2]上单调，显然区间[a，a＋2]的长度为2，因此[a，a＋2]⊆(－∞，－1]或[a，a＋2]⊆[1，＋∞)， 则a＋2≤－1或a≥1，解得a≤－3或a≥1， 所以实数a的取值范围是{a|a≤－3或a≥1}． (2)当a>－1时，a＋2>1，由(1)知， 当－1<a≤1时，1<a＋2≤3，此时g(a)＝f(x)min＝f(1)＝12－2×1＝－1， 当a>1时，f(x)在区间[a，a＋2]上单调递增，则g(a)＝f(x)min＝f(a)＝a2－2a， 所以g(a)＝ 10．(2026·青岛调研)设f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则实数a的取值范围为(　　) A．[－1，0] B．[－1，2] C．[－2，－1] D．[－2，0] 解析：选A.f(x)＝当x＝0时，f(0)＝a2，由于f(0)是f(x)的最小值，所以f(x)在(－∞，0]上单调递减，即有a≤0，且a2≤x＋＋a，x>0恒成立． 当x>0时，x＋≥2＝2，当且仅当x＝1时取等号，所以a2≤2＋a，解得－1≤a≤2. 综上，实数a的取值范围为[－1，0]. 11．(多选)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家．用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数x，[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如，[2.1]＝2，[－1.8]＝－2.定义函数f(x)＝，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)的定义域为{x|x≠0} B．f(x)在区间(－2，－1)上单调递减 C．当x<0时，f(x)的最小值为1 D．当x>0时，f(x)的最大值为1 解析：选ACD.由解析式易知，函数定义域为，A正确； 当x∈(－2，－1)时，则f(x)＝＝－，故f(x)在区间(－2，－1)上单调递增，B错误； 当－1≤x<0时，f(x)＝＝－∈[1，＋∞)，此时函数最小值为1， 当x<－1时，[x]≤x<[x]＋1≤－1，则1≤f(x)＝<，当且仅当x＝[x]时取等号，C正确； 当0<x<1时，f(x)＝＝0， 当x≥1时，1≤[x]≤x<[x]＋1，则<f(x)＝≤1，当且仅当x＝[x]时取等号，D正确． 12．已知函数f(x)＝x2＋m，若存在实数a，b，使函数f(x)在[，]上的值域为[，]，则实数m的取值范围是________． 解析：由f(x)＝x2＋m，知f(x) 在[0，＋∞) 上单调递增，所以f(x) 在[，] 上单调递增， 因为f(x) 在[，] 上的值域为[，]，所以()2＋m＝，()2＋m＝， 所以方程x2－x＋m＝0 在[0，＋∞) 上有两个不同的解，，所以 解得0≤m<，即实数m 的取值范围是. 答案： 13．(15分)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x，y都满足f(x＋y)＝f(x)f(y)，且f(x)≠0，当x>0时，0<f(x)<1且f(2)＝. (1)求f(1)，f(3)的值；(4分) (2)用函数单调性的定义证明f(x)在R上单调递减；(4分) (3)若对任意的x∈R，3f(2x2－a2＋a)≤f(x－5)f(3x－4)恒成立，求实数a的取值范围．(7分) 解：(1)由f(x＋y)＝f(x)f(y)，取x＝y＝1，可得f(2)＝[f(1)]2＝， 又当x>0时，0<f(x)<1，则f(1)＝， 再取x＝1，y＝2，可得f(3)＝f(1)·f(2)＝. (2)证明：因为f(x)≠0，所以f(x)＝f＝2>0，设∀x1，x2∈R，且x1<x2，则x2－x1>0，依题0<f(x2－x1)<1，则f(x2)＝f((x2－x1)＋x1)＝f(x2－x1)f(x1)<f(x1)，即f(x)在R上单调递减． (3)已知3f(2x2－a2＋a)≤f(x－5)f(3x－4)＝f(4x－9)，又由(1)得f(1)＝，则有f(2x2－a2＋a)≤f(4x－9)＝f(1)f(4x－9)＝f(4x－8)，因为f(x)在R上单调递减，则2x2－a2＋a≥4x－8恒成立，即2x2－4x＋8≥a2－a恒成立，又2x2－4x＋8＝2(x－1)2＋6≥6，则a2－a≤6，解得－2≤a≤3，故实数a的取值范围为[－2，3]. 14．(多选)(2026·安阳模拟)定义：已知函数f(x)在其定义域上的最大值为m，最小值为n，若m－n＝2，则称f(x)是“2间距函数”，则下列函数是“2间距函数”的有(　　) A．f(x)＝2sin x，x∈R B．f(x)＝，x∈ C．f(x)＝，x∈[0，4] D．f(x)＝22x－2x，x∈[0，1] 解析：选BCD.易知f(x)＝2sin x的最大值为m＝2，最小值为n＝－2，则m－n＝4，所以A不符合题意； 因为f(x)＝＝1＋在区间上单调递减，所以f(x)＝的最大值为m＝，最小值为n＝，则m－n＝2，所以B符合题意； f(x)＝＝，令u＝－(x－2)2＋4，y＝，当x∈[0，4]时，u∈[0，4]，又u＝－(x－2)2＋4在区间[0，2]上单调递增，在区间[2，4]上单调递减，y＝在区间[0，4]上单调递增，所以f(x)＝的最大值为m＝2，最小值为n＝0，则m－n＝2，所以C符合题意； 令t＝2x，x∈[0，1]，则y＝t2－t，且t＝2x∈[1，2]，易知y＝t2－t在区间[1，2]上单调递增，所以y＝t2－t在区间[1，2]上的最大值为m＝2，最小值为n＝0，则m－n＝2，所以D符合题意． 学科网（北京）股份有限公司 $