25.2.3因式分解法 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦人教版九年级上册“因式分解法解一元二次方程”，通过回顾因式分解方法与已学解方程方法，结合物体竖直上抛落回地面的物理情境问题，搭建新旧知识支架，引导学生理解降次原理与解题步骤。 其亮点在于分层题型覆盖基础计算、易错辨析到综合应用，突出约去含未知数因式漏根等易错点，通过解法对比表培养方法选择能力。体现数学思维（推理意识、运算能力）和数学语言（模型意识），如用十字相乘法分解x²+x-12=0，帮助学生规范解题，教师可高效开展课堂检测与分层培优。

人教版（新教材）数学九年级上册 第25章 一元二次方程 25.2.3因式分解法 授课教师： . 班 级： 九年级（ ）班 . 时 间： . 2026/8/16 人教版数学九年级上册25.2.3因式分解法专项练习 本次专项练习紧扣人教版九年级上册25.2.3因式分解法课时核心内容，聚焦因式分解法解一元二次方程的解题原理、基本步骤与常用方法，涵盖提公因式法、公式法因式分解解方程，包含基础计算、易错辨析、参数求解、综合应用等分层题型。习题贴合教材重难点，适配课后巩固、专项培优与课堂检测，配套详细解题解析，帮助学生快速掌握因式分解法简便解题技巧，区分不同解方程方法的适用场景。 一、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 用因式分解法解一元二次方程的核心依据是（） A. 若ab=0，则a=0或b=0 B. 若ab=0，则a=0且b=0 C. 完全平方公式 D. 平方差公式 2. 方程x²-4x=0的解为（） A. x=4 B. x=0 C. x₁=0，x₂=4 D. x₁=0，x₂=-4 3. 方程(x-2)(x+3)=0的根是（） A. x=2 B. x=-3 C. x₁=2，x₂=-3 D. x₁=-2，x₂=3 4. 用因式分解法解方程x²-9=0，正确的分解结果是（） A. (x-3)²=0 B. (x+3)²=0 C. (x-3)(x+3)=0 D. x(x-9)=0 5. 方程(x+1)²=2(x+1)的解为（） A. x=1 B. x=-1 C. x₁=-1，x₂=1 D. x₁=-1，x₂=0 二、基础填空题（每题4分，共20分） 6. 解方程x²+5x=0，可提取公因式__________，解得方程的根为__________。 7. 方程x²-6x+9=0因式分解后为__________，方程的根是__________。 8. 已知方程(x-a)(x+2)=0的一个根为x=1，则a=__________。 9. 方程4x²-1=0用平方差公式分解为__________，两根为__________。 10. 解方程3x(x-2)=2(x-2)时，切勿直接两边除以(x-2)，否则会丢失根__________。 三、解答题（共40分） 11. 用因式分解法解下列一元二次方程（每题8分，共24分） （1）x²-7x=0 （2）x²-4x+4=0 （3）x²+x-12=0 12. 用因式分解法解方程：2(x-3)²=x²-9。（8分） 13. 已知一元二次方程x²+(m-3)x-3m=0的一个根为x=3，求方程的另一个根及m的值。（8分） 四、拓展提升题（20分） 14. 选用合适的方法解方程：(2x-1)²-4(2x-1)+4=0。 15. 已知实数x、y满足x²-y²-2x+2y=0，求x、y的数量关系。 参考答案与详细解析 一、选择题 1. A 解析：因式分解法解方程的原理是“零乘积性质”，两个因式乘积为0，至少一个因式为0。 2. C 解析：提公因式得x(x-4)=0，解得x₁=0，x₂=4。 3. C 解析：由零乘积性质，x-2=0或x+3=0，直接得两根。 4. C 解析：x²-9为平方差形式，分解为(x-3)(x+3)=0。 5. C 解析：移项得(x+1)²-2(x+1)=0，提公因式(x+1)(x-1)=0，解得x₁=-1，x₂=1。 二、填空题 6. x、x₁=0，x₂=-5 7. (x-3)²=0、x₁=x₂=3 8. 1 9. (2x-1)(2x+1)=0、x₁=1/2，x₂=-1/2 10. x=2 三、解答题 11. （1）解：提公因式得x(x-7)=0，解得x₁=0，x₂=7。 （2）解：完全平方公式分解得(x-2)²=0，方程有两个相等实数根x₁=x₂=2。 （3）解：十字相乘分解得(x+4)(x-3)=0，解得x₁=-4，x₂=3。 12. 解：右侧因式分解得(x-3)(x+3)，移项整理得(x-3)(2x-6-x-3)=0，化简得(x-3)(x-9)=0，解得x₁=3，x₂=9。 13. 解：将x=3代入方程，等式恒成立，因式分解原方程得(x+m)(x-3)=0，可得另一根为x=-m，m可取任意实数，结合题意得另一根为x=-m。 四、拓展提升题 14. 解：将2x-1看作整体，利用完全平方公式分解得(2x-1-2)²=0，即(2x-3)²=0，解得x₁=x₂=3/2。 15. 解：分组因式分解，原式=(x-y)(x+y)-2(x-y)=0，整理得(x-y)(x+y-2)=0，故x=y或x+y=2。 本次练习聚焦因式分解法核心考点，重点训练提公因式法、公式法、十字相乘法三种主流因式分解解题方法，规避直接除因式丢根等高频易错点。因式分解法是解一元二次方程最简便的方法，适用于可快速因式分解的方程，熟练掌握后可结合配方法、公式法灵活选型解题，完善一元二次方程解题体系。（字数：1212） 情境导入 1. 理解因式分解法降次解一元二次方程的思路，会用因式分解法解一元二次方程.(重点) 2. 学会观察方程的特征，选用适当的方法解一元二次方程.(难点) 3. 通过探索因式分解法解一元二次方程的过程，培养学生用联系和发展的眼光分析问题、解决问题，体会转化的思想方法. 学习目标 问题1：因式分解的方法有哪些？ (1) 提取公因式法： am + bm + cm = m(a + b + c) (2) 公式法： a2 - b2 = (a + b)(a - b) (3)十字相乘法： x2 + (p + q)x2 + pq = (x + p)(x + q) a²±2ab + b² = (a±b)² 情境导入 (1) 直接开平方法： (2) 配方法： (3) 公式法： x2=a(a≥0) 或 (mx + n)2 = a(a≥0) (x + h)2 = k (k≥0) 问题2：我们学过的解一元二次方程的方法有哪些？ 情境导入 问题 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以 10m/s 的速度竖直上抛，那么物体经过 x s后的离地高度（单位：m)约为 10x-5x2. 根据上述规律，物体经过多少秒落回地面？ 解：设物体经过x s落回地面，这时它离地面的高度为0 m, 即 10x-5x2=0. 思考：已经学习的配方法、公式法可以解吗？有没有更简便的解法呢？ 探究新知 10x-5x2=0. 将方程的左边分解因式，得 x(10-5x)=0. 这个方程的左边是两个一次因式的乘积，右边是0. 我们知道，如果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反之，如果两个因式中任何一个为0，那么它们的积也等于0. 所以 x=0，或10-5x=0. 因此，方程10x-5x2=0的两个根是x1=0，x2=2. 对于这两个根，x1=0表示物体抛离地面的时刻，即在0 s时物体被抛出，此刻物体的高度是0 m；而x2=2表示物体在抛离地面2 s时落回地面. 探究新知 思考： 解方程10x－5x2=0时，二次方程是如何降为一次的？ 可以发现，在上述解法中，由10x－5x2=0到x=0或10-5x=0的过程，不是用开平方降次，而是先分解因式，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次. 这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法. 探究新知 解下列方程： (1) x(x−2)+x−2=0； (2) 5x2−2x−​=x2−2x+. 例1 解：(1)左边分解因式，得 ， 于是 ， 即 . (2) 移项、合并同类项，得 ， 左边分解因式，得 ， 于是 ， 即 . 探究新知 1. 已知一元二次方程的两根分别为x1＝1，x2＝－3，则这个方程可以是(　B　) A. (x－1)(x－3)＝0 B. (x－1)(x＋3)＝0 C. (x＋1)(x＋3)＝0 D. (x＋1)(x－3)＝0 B 举一反三 用因式分解法解一元二次方程的步骤 (1)移项：将方程的右边化为0； (2)分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积； (3)转化：令每个一次式分别等于0，得到两个一元一次方程； (4)求解：解这两个一元一次方程，它们的解都是一元二次方程的解. 探究新知 用因式分解法解下列方程： (1) 2x2 - 3x = 0； (2) 5x(x-3) = x-3； 跟踪训练 解：(1) 因式分解，得 x(2x-3) = 0. 于是 x = 0, 或 2x-3 = 0, 所以 x1=0，x2=. (2) 移项，得 5x(x-3) - (x-3) = 0. 因式分解，得 (x-3)(5x-1) = 0. 于是 x-3 = 0, 或 5x-1 = 0, 所以 x1=3，x2=. 约去含未知数的因式导致漏解 在用因式分解法解一元二次方程时，当左右两边均有含未知数的相同因式时，不可直接约去，因为含未知数的因式可能等于0，如果直接约去，会导致漏掉使因式为0的未知数的值. 探究新知 用因式分解法解下列方程： (3) (3x+2)(2x+1) = -8x-4； (4) (2x-1)2 - 9 = 0. 跟踪训练 (3)移项，得 (3x+2)(2x+1) + 4(2x+1) = 0. 因式分解，得(2x+1)(3x+2+4) = 0, 即(2x+1)(3x+6) = 0， 于是 2x+1 = 0, 或 3x+6 = 0， 所以 x1=﹣，x2=-2. (4) 因式分解，得 [(2x-1)+3][(2x-1)-3] = 0. 即(2x+2)(2x-4) = 0. 于是 2x+2 = 0, 或 2x-4 = 0. 所以x1=-1，x2=2. 探究新知 2. [高频易错]方程x2＝2026x的根为(　C　) A. x＝0 B. x＝2026 C. x1＝0，x2＝2026 D. 无实数根 3. [教材变式]用因式分解法解下列方程： (1)3y2－6y＝0； 书写通关 解：因式分解，得 ⁠. ∴ ⁠. 解得y1＝ ，y2＝ ⁠. C 3y(y－2)＝0　 3y＝0或y－2＝0　 0　 2　 举一反三 (2)x2－3x＝x－3； 解法一：左边提公因式，得x(x－3)＝(x－3).移项， 得x(x－3)－(x－3)＝0. 提公因式，得(x－3)(x－1)＝0. ∴x－3＝0或x－1＝0.解得x1＝3，x2＝1. 解法二：移项合并，得x2－4x＋3＝0. 因式分解，得(x－3)(x－1)＝0. ∴x－3＝0或x－1＝0.解得x1＝3，x2＝1. 左边提公因式，得x(x－3)＝(x－3).移项， 得x(x－3)－(x－3)＝0. 提公因式，得(x－3)(x－1)＝0. ∴x－3＝0或x－1＝0.解得x1＝3，x2＝1. 移项合并，得x2－4x＋3＝0. 因式分解，得(x－3)(x－1)＝0. ∴x－3＝0或x－1＝0.解得x1＝3，x2＝1. 举一反三 (3)(2x－1)2＝(x＋3)2. 解：移项，得(2x－1)2－(x＋3)2＝0. 由平方差公式可得[(2x－1)－(x＋3)][(2x－1)＋(x＋ 3)]＝0， 即(x－4)(3x＋2)＝0，解得x1＝4，x2＝－. 解：移项，得(2x－1)2－(x＋3)2＝0. 由平方差公式可得 [(2x－1)－(x＋3)][(2x－1)＋(x＋3)]＝0， 即(x－4)(3x＋2)＝0，解得x1＝4，x2＝－. 举一反三 思考：学习了配方法、公式法、因式分解法等求解一元二次方程的方法后，你能说说它们各自的特点吗？ 方法 理论依据 适用方程 关键步骤 主要特点 直接开平方法 平方根的意义 x2=n (n≥0) 或(ax+b)2=n (a≠0，n≥0) 型方程. 开平方 求解迅速、准确，但只适用于一些特殊结构的方程. 配方法 完全平方公式 所有一元二次方程. 配方 解法烦琐，当二次项系数为 1 或常数项较大时，用此法较简单. 公式法 配方 所有一元二次方程. 代入求根公式 对系数进行混合运算，易出现化简不彻底的错误. 因式分解法 若 ab=0， 则 a=0 或 b=0 能化为一边为 0，另一边为两个一次式积的形式的方程. 分解因式 求解迅速、准确，但适用范围较小. 探究新知 1. 返回 由方程x(x－1)＝0可以得到的方程是(　　) A．x＝0或x－1＝0 B．x＝0 C．x－1＝0 D．x＋1＝0 A 考试考法 17 返回 2. 方程(x－3)(x＋2)＝0的根是(　　) A．x＝3 B．x＝－2 C．x1＝－3，x2＝2 D．x1＝3，x2＝－2 D 考试考法 返回 3. 用因式分解法解一元二次方程(x－1)2－4＝0时，要转化成两个一元一次方程求解，其中的一个方程是x－1＋2＝0，则另一个方程是____________，所以一元二次方程(x－1)2－4＝0的解是_______________． x－1－2＝0 x1＝－1，x2＝3 考试考法 返回 4. 用因式分解法解下列方程： (1)3x2＋2x＝0; 解：因式分解，得x(3x＋2)＝0， 于是得x＝0或3x＋2＝0， 解得x1＝0，x2＝－ 考试考法 返回 (3)2x2－12x＝－18; 解：整理得x2－6x＋9＝0. 因式分解，得(x－3)2＝0，解得x1＝x2＝3. 考试考法 返回 (4)4x2－49＝0； 解：因式分解，得(2x＋7)(2x－7)＝0， 于是得2x＋7＝0或2x－7＝0， (5)(2x－5)2－9＝0; 解：因式分解，得(2x－5＋3)(2x－5－3)＝0， 于是得2x－2＝0或2x－8＝0，解得x1＝1，x2＝4. 考试考法 返回 (6)(x＋3)2＝(1－2x)2. 解：移项，得(x＋3)2－(1－2x)2＝0. 因式分解，得(x＋3＋1－2x)(x＋3－1＋2x)＝0， 即(－x＋4)(3x＋2)＝0， 于是得－x＋4＝0或3x＋2＝0， 解得x1＝4，x2＝ 考试考法 [邯郸期中]解方程(x＋1)2＝3(x＋1)的最佳方法是(　　) A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 返回 5. D 考试考法 在下列各题的横线上填写适当的解法． (1)解方程2x2－5x＋1＝0，用________法较适宜； (2)解方程x(x＋4)＝2(x＋4)，用__________法较适宜． 返回 6. 公式 因式分解 考试考法 因式分解法解一元二次方程 解法步骤 (1)移项：将方程的右边化为0； (2)分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积； (3)转化：令每个一次式分别等于0，得到两个一元一次方程； (4)求解：解这两个一元一次方程，它们的解都是一元二次方程的解. 先对方程ax²+bx+c=0（a≠0）的左边分解因式，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法. 定义 课堂小结 谢谢观看 THANKS . (2)x2＋5 x＝0； 解：因式分解，得x(x＋5 )＝0， 于是得x＝0或x＋5 ＝0， 解得x1＝0，x2＝－5 . 解得x1＝－，x2＝. －. $