25.2.3因式分解法（教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦“因式分解法解一元二次方程”，通过公式法解x²-2x=0的繁琐过程导入，衔接已学的直接开平方法、配方法、公式法，构建完整解法体系，为学生提供知识过渡支架。 其亮点在于以物理上抛问题引入，用数学眼光发现数量关系，通过“积为0则因式为0”原理探究培养推理意识，步骤规范与典例分析强化数学语言。涵盖提公因式、公式法等技巧，真题链接中考，助学生择优解题，教师可借系统资源提升教学效率。

25.2降次----解一元二次方程 25.2.3 因式分解法 第二十五章 一 元 二 次 方 程 人教版（新教材）·九年级上册 学 习 目 标 1 2 3 理解因式分解法解一元二次方程的原理，熟记“积为0则至少一个因式为0”的核心依据.熟练掌握提公因式、乘法公式两种因式分解技巧解一元二次方程.掌握因式分解法标准化解题步骤，能根据方程特征灵活选择最优解法. 经历“观察方程结构—因式分解—降次转化—求解方程”的探究过程，体会转化、降次的数学思想.通过多种解法对比，学会辨析不同解方程方法的适用场景，培养归纳总结、择优解题的思维能力. 在简便解题的探究过程中，感受数学方法的多样性与简洁性，提升数学学习兴趣.养成先观察、再解题、规范书写的良好数学习惯，培养严谨的代数运算思维. 01 提公因式法 基本形式：提取多项式各项的公因式，将其写在括号外。 ma + mb + mc = m(a + b + c) 02 公式法 平方差公式： 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。 a² - b² = (a + b)(a - b) 完全平方公式： 两个数的平方和，加上（或减去）它们积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。 a² ± 2ab + b² = (a ± b)² 知识回顾 因式分解的方法有哪些？ 03.十字相乘法： x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) 我们学过的解一元二次方程的方法有哪些？ 知识回顾 直接开平方法 这是最基础的解法，专门适用于形如：x² = p或(x+n)² = p的一元二次方程， 当 p≥0 时可直接开方求解。 配方法 这是一种通用解法，通过配方将方程转化为(x+n)2=p(p≥0)形式， 虽然适用于所有一元二次方程，但步骤相对繁琐，计算量较大。 公式法 通用解法，求根公式 x = （b2–4ac≥0） 将方程化为一般式后 代入系数计算即可，是解决一般方程的“万能钥匙”。 导入新课 解：（1）∵a=1，b= - 2，c= 0， ∴ Δ=b2 – 4ac=（-2）2– 4×1×0=4>0. 方程有两个不相等的实数根 x = ， ∴方程得解为： x1= = 3，x2== - 1. 解方程（用公式法） 该方程结构简单，是否有更简便的解法？不用复杂计算、不用套公式即可快速求解？ ——因式分解法解一元二次方程. 新知探究 探究点1 探究原理，理解核心 活 动 物体经过多少秒落回地面？ 探究：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么物体经过 x s 后的离地高度（单位：m）约为 10x–5x2. 根据上述规律，物体经过多少秒落回地面？ 分析：设物体经过 x s落回地面，这时它离地面的高度为0 m. 即 10x–5x2=0. 试着用学过的方法解这个方程 新知探究 探究点1 探究原理，理解核心 配方法解方程 10x–5x2=0. 公式法解方程 10x–5x2=0. 解：移项，二次项系数化为1，得 x2–2x=0. 配方，得 x2–2x+12=12， (x–1)2=1. 开平方得： x–1=±1， x1= 0，x2= 2. 解：因为a= – 5，b=10，c=0， Δ=b2–4ac=102–4×(–5)×0=100>0. 方程有两个不相等的实数根 x = = ， 即 x1= 0，x2= 2. 除了配方法和公式法，你还能找到更简便的方法解这个方程吗？ 活 动 物体经过多少秒落回地面？ 解方程 10x–5x2=0. 新知探究 探究点1 探究原理，理解核心 提公因式将方程的左边因式分解 5x(2–x) = 0. x=0或2–x=0. 解方程 x1=0，x2=2. 若两个代数式的乘积为0，即a·b=0，则a=0或 b=0.;反之,如果a=0或 b=0，则 a·b=0. 两个因式的积为0，说明了什么？ 降次，化为两个一次方程 活 动 物体经过多少秒落回地面？ 解方程 10x–5x2=0. 方程的左边因式分解能分解因式吗？若果能，方程可化为什么形式？ 若 a × b = 0， 则 a = 0 或 b = 0 结合实际意义分析： t=0 代表抛出物体的初始时刻，t=2 代表物体落回地面的时刻。因此，物体从抛出到落地经过的时间为2 秒。 a·b=0 新知探究 探究点1 探究原理，理解核心 归一归 通过因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式.再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法. 把一个复杂的一元二次方程，通过因式分解，巧妙地转化为两个一元一次方程来求解，化繁为简，化难为易。 理论依据 如果 ab = 0， 那么 a = 0 或 b = 0 . 什么是因式分解法？ 核心思想：降次转化 “或”是“二者中至少有一个成立”的意思，包括两种情况，二者同时成立；二者有一个成立。“且”是“二者同时成立”的意思。 新知探究 探究点2 归纳因式分解法步骤 归一归 因式分解法解一元二次方程的步骤 因式分解法的基本步骤 一移 移项，把方程变形为x2+px+q=0的形式； 二分 三化 四解 把方程因式分解为 (x-x1)(x-x2)=0的形式； 把方程转化为两个一次方程x-x1=0或x-x2=0的形式； 解两个一元一次方程，求出方程的根. 解：移项得： x(x+2)-2(x+2)=0， 新知探究 探究点2 归纳因式分解法步骤 巩 固 解方程x(x+2)=2(x+2) 第一步：一化 --警惕“丢根”陷阱！ 🚫 错误做法：直接两边除以 (x+2)，会丢失 x=-2 这个根！ ✅ 正确做法： 移项整理，将所有项移到左边 分解得： (x+2)(x-2)=0， 解得 ： 第二步：二分 观察式子，提取两边共有的公因式 (x+2)，得到因式分解形式 第三步：三列 根据“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”的原理，列出一次方程 ∴x + 2 = 0 或 x - 2 = 0 第四步：四解 分别解出两个一元一次方程，得到原方程的两个根 x₁ = -2，x₂ = 2 新知探究 探究点3 择优合适方法解方程 议一议 比较三种解法的适用场景，能因式分解优先用因式分解法. 因式分解法 核心特点：计算最快、步骤最简便，是解方程的首选方法。 适用场景：方程一边是0，另一边能轻松分解成两个因式相乘的形式 x² - 3x = 0 公式法 核心特点：万能通用，适用于所有一元二次方程，是最后的“保底”解法。 适用场景：当方程无法通过因式分解或开平方法快速求解时使用。 2x² - 3x - 1 = 0 直接开平方法 核心特点：形式特殊时计算极快，是特定结构方程的“捷径”。 适用场景：方程可整理为 x²=p 或 (x+n)²=p（p≥0）的完全平方形式。 (x - 1)² = 4 典例分析 例1.因式分解法解方程： (1)； (2)； (3) 解：(1)提公因式： 3x(x+2)=0 得3x=0或x+2=0 ∴ (2)整理得： 公式法因式分解： ∴x-2=0 ∴ (3)解：因式分解： (x+3)(x-3)=0 得：x+3=0或x-3=0 ∴ 典例分析 例2.解方程： (1)； (2)． （1）解：，，， ， ， 解得：，． （2）移项得：， 因式分解得：， 即或， 解得：，． 新知巩固 教材第14页 1.解下列方程： （1）x2+x=0； （2）x2 –2x = 0； （3）3x2 – 6x = –3； （4）4x2 – 81 = 0； （5）3x(2x+1) = 4x+2； （6）(x–4)2 = (5–2x)2 . 解：(1)分解因式得: x(x+1)=0. ∴ x=0，或 x+1=0， 方程的解为: x1=0，x2= – 1. (2) 分解因式，得: x(x–2)=0. ∴ x=0，或 x–2=0， 方程的解为: x1=0，x2= 2. 新知巩固 教材第14页 1.解下列方程： （1）x2+x=0； （2）x2 –2x = 0； （3）3x2 – 6x = –3； （4）4x2 – 81 = 0； （5）3x(2x+1) = 4x+2； （6）(x–4)2 = (5–2x)2 . (3)方程变形，得 3(x2–2x+1)=0. 分解因式，得: 3(x–1)2=0. ∴ x–1=0， 方程的解为: x1=x2=1. (4) 分解因式，得: (2x+9)(2x–9)=0. ∴ 2x+9=0，或 2x–9=0， 方程的解为: x1= – ，x2= . 新知巩固 教材第14页 1.解下列方程： （1）x2+x=0； （2）x2 –2x = 0； （3）3x2 – 6x = –3； （4）4x2 – 81 = 0； （5）3x(2x+1) = 4x+2； （6）(x–4)2 = (5–2x)2 . (5)方程变形，得 6x2–x–2=0. 分解因式，得: (2x+1)(3x–2)=0. ∴2x+1=0，或 3x–2=0， 方程的解为: x1= – ，x2= . (6) 分解因式，得 [(x–4)+(5–2x)][(x–4)–(5–2x)]=0， 整理得: (1–x)(3x–9)=0. ∴ 1–x=0，或 3x–9=0， 方程的解为: x1=1，x2=3. 2.如图，把圆形场地的半径增加 5 m，得到大圆形场地，大圆形场地与小圆形场地的面积比为 9∶4 .求小圆形场地的半径. 解：设小圆形场地的半径为 x m，则大圆形场地的半径为 (x+5) m.由题意，得 π(x+5)2 = πx2. 整理方程：(x+5)2 = x2， (x+5)2 – (x)2=0， [(x+5)+x][(x+5) – x]=0， ∴ (x+5)(5 – x)=0. ∴ x1= –2（不合题意，舍去），x2=10. 答：小圆形场地的半径为10 m. 新知巩固 教材第14页 拓展提升 1．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)若此方程恰有一个根小于，求k的取值范围． （1）解：证明： ， 此方程总有两个实数根； （2）， ，， 此方程恰有一个根小于， ， 解得， 即的取值范围为． 真题感知 1．（2025•齐齐哈尔）解方程：x2﹣7x＝﹣12． 解：整理得：x2﹣7x+12＝0， 因式分解得：（x﹣4）（x﹣3）＝0， ∴ x﹣4＝0 或 x﹣3＝0， 解得 x1＝4，x2＝3． 真题感知 2.（2025.漯河·校考）解下列方程： 解： ， 移项，得 ， 因式分解， 得 ， ∴ =0 或 =0， 解得 ， , 知识与技能 核心原理：若ab=0 ，则 a=0或b=0； 两种分解方法： 提公因式法、乘法公式法（平方差、完全平方）； (3) 解题四步骤： 右化0—左分解—列一次方程—求解根； 解法选择： 结构特殊可因式分解，优先用因式分解法，运算最简、速度最快. 课堂小结 思想方法 课堂小结 （1）转化降次思想：将陌生的二次方程转化为熟悉的一元一次方程，化繁为简、化未知为已知； （2）数形结合与模型思想：建立“积零为根”的解题模型，实现题型归类、方法固化； （3）择优优化思想：根据方程结构选择最优解法，培养灵活解题的数学思维. 易 错 提 醒 课堂小结 （1）必须先移项使方程右边为0，再因式分解，分解前提不可缺失； （2）严禁方程两边同时除以含未知数的因式，避免遗漏根； （3）因式分解必须分解为两个一次因式乘积的最简形式，分解不彻底易出错； （4）出现两个相等实数根时，需规范书写 ，不可只写一个根； （5）区分因式分解法与公式法的适用场景，不盲目套用固定方法. 课后练习 习题 25.2 教材p17页 6.用因式分解法解下列方程： （1）3x2–12x= –12； （2）4x2–144=0； （3）3x(x–1)=2(x–1)； （4）(2x–1)2=(3–x)2. 解：(1)方程变形，得: 3(x2–4x+4)=0. 分解因式得: 3(x–2)2=0. ∴ x–2=0 ∴方程的解为: x1=x2=2. 解：分解因式，得: (2x+12)(2x–12)=0. ∴ 2x+12=0，或 2x–12=0， ∴方程的解为: x1= –6，x2=6. 课后练习 习题 25.2 教材p17页 6.用因式分解法解下列方程： （1）3x2–12x= –12； （2）4x2–144=0； （3）3x(x–1)=2(x–1)； （4）(2x–1)2=(3–x)2. (3) 整理方程得: 3x(x–1)–2(x–1)=0. 分解因式得: (x–1)(3x–2)=0. ∴ x–1=0，或 3x–2=0， ∴方程的解为: x1=1，x2= . (4) 方程变形，得 (2x–1)2–(3–x)2=0. 分解因式得: [(2x–1)+(3–x)][(2x–1)–(3–x)]=0， 化简: (x+2)(3x–4)=0. ∴ x+2=0，或 3x–4=0， ∴方程的解为: x1= –2，x2= . 8.一个直角三角形的两条直角边的长相差 5，面积是 7，求斜边的长. 解：设这个直角三角形的较短直角边长为x，则较长直角边长为(x+5). 根据题意，得: x(x+5)=7， 整理方程得： x2+5x–14=0， （x-2） (x+7)=0 解得 x= – 7（不合题意，舍去），x=2. ∴当x=2时，x+5=7. 由勾股定理，得直角三角形斜边的长： ==. 答：这个直角三角形斜边的长为. 课后练习 习题 25.2 教材p18页 谢谢聆听 $