25.3 第1课时 几何图形的面积与边长问题 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程在几何图形面积与边长问题中的应用，通过“应用方程解实际问题步骤”情境导入，衔接方程解法旧知，以探究问题链（如连续正整数直角三角形、矩形围合等）为支架，引导学生从数学角度分析图形关系。 其亮点在于以矩形裁剪、十字小路等经典题型为载体，培养学生用数学眼光观察图形特征（几何直观），用数学思维推理等量关系（推理能力），用数学语言建立方程模型（模型意识）。分层练习配套详解，助学生掌握“设—列—解—验”流程，教师可直接用于教学，提升学生建模能力与课堂效率。

人教版（新教材）数学九年级上册 第25章 一元二次方程 25.3 第1课时 几何图形的面积与边长问题 授课教师： . 班 级： 九年级（ ）班 . 时 间： . 2026/8/16 人教版数学九年级上册25.3第1课时 几何图形的面积与边长问题专项练习 本次专项练习针对一元二次方程在几何图形面积与边长问题中的应用设计，紧扣25.3第1课时教学重难点，聚焦矩形、正方形、长方形裁剪、边框铺设、图形拼接等经典题型。核心考查利用边长变化、增减关系建立一元二次方程，求解图形边长、面积及参数取值，贴合教材例题与中考基础应用题考点，题型分层递进，配套标准解题步骤，帮助学生掌握几何建模解题思路，突破图形面积类实际应用难点。 一、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 已知正方形边长增加2cm后，面积增加16cm²，设原正方形边长为x cm，列方程正确的是（） A. (x+2)²-x²=16 B. (x-2)²-x²=16 C. x²+(x+2)²=16 D. (x+2)²=16 2. 矩形长为8cm，宽为5cm，长和宽同时增加相同长度x cm，面积变为60cm²，可列方程为（） A. (8+x)(5+x)=60 B. 8×5+x²=60 C. (8+x)×5=60 D. 8×(5+x)=60 3. 一个矩形面积为24cm²，长比宽多2cm，则矩形的宽为（） A. 4cm B. 6cm C. 3cm D. 8cm 4. 从边长为10cm的正方形纸片四周剪去相同宽度的边框，剩余矩形面积为64cm²，设边框宽度为x cm，方程正确的是（） A. 10²-4x²=64 B. (10-2x)²=64 C. (10-x)²=64 D. 10(10-2x)=64 5. 长方形绿地长15m，宽10m，内部开辟宽度相同的小路，剩余绿化面积104m²，则小路宽度为（） A. 1m B. 2m C. 3m D. 4m 二、基础填空题（每题4分，共20分） 6. 矩形长比宽多3，面积为28，设宽为x，列方程为__________，矩形长为__________。 7. 正方形边长扩大相同倍数后，面积变为原来的4倍，则边长扩大为原来的__________倍。 8. 长20cm、宽12cm的矩形，四周镶等宽花边，花边面积为128cm²，则花边宽度为__________cm。 9. 直角三角形两直角边相差3cm，面积为14cm²，则较短直角边长为__________cm。 10. 矩形面积30，周长22，则矩形的长和宽分别为__________。 三、解答题（共40分） 11. 一个矩形的长为12cm，宽为8cm，若将长缩短x cm，宽增加x cm，所得新矩形面积与原矩形面积相等，求x的值。（8分） 12. 有一块长方形菜地，长比宽多5m，面积为150m²，求这块菜地的长和宽。（8分） 13. 边长为18m的正方形草坪，四周修建等宽的石子路，修路后总面积变为484m²，求石子路的宽度。（8分） 14. 已知矩形周长为36cm，面积为72cm²，求矩形的相邻两边长。（16分） 四、拓展提升题（20分） 15. 如图，在长30m、宽20m的矩形场地内部，修建横竖宽度相同的十字小路，剩余绿化面积为504m²，求小路的宽度。 16. 一个直角三角形的两条直角边之和为14cm，面积为24cm²，求该直角三角形的斜边长。 参考答案与详细解析 一、选择题 1. A 解析：原面积x²，新面积(x+2)²，面积差值为16，故列方程(x+2)²-x²=16。 2. A 解析：长宽同时增加x cm，新长、新宽分别为(8+x)cm、(5+x)cm，面积乘积为60。 3. A 解析：设宽为x，长为x+2，x(x+2)=24，解得x=4（负值舍去）。 4. B 解析：四边剪去宽度x的边框，边长减少2x，剩余正方形边长为10-2x，平方为面积。 5. A 解析：设小路宽x，列方程(15-x)(10-x)=104，解得x=1（x=24舍去，不符合实际）。 二、填空题 6. x(x+3)=28、7 7. 2 8. 2 9. 4 10. 6和5 三、解答题 11. 解：原面积=12×8=96cm²，新长(12-x)cm，新宽(8+x)cm，列方程(12-x)(8+x)=96，整理得x²-4x=0，解得x₁=4，x₂=0（舍去），故x=4。 12. 解：设宽为x m，长为(x+5)m，x(x+5)=150，整理得x²+5x-150=0，解得x₁=10，x₂=-15（舍去），长为15m，宽为10m。 13. 解：设路宽x m，修路后边长(18+2x)m，(18+2x)²=484，开方得18+2x=22，解得x=2，故石子路宽2m。 14. 解：设一边长x cm，另一边长(18-x)cm，x(18-x)=72，整理得x²-18x+72=0，解得x₁=6，x₂=12，两边长为6cm和12cm。 四、拓展提升题 15. 解：设小路宽x m，平移绿化区域得矩形(30-x)(20-x)=504，整理得x²-50x+96=0，解得x=2（x=48舍去），小路宽度为2m。 16. 解：设一直角边x cm，另一直角边(14-x)cm，1/2 x(14-x)=24，解得x=6或8，两直角边为6cm、8cm，由勾股定理得斜边长10cm。 本次练习聚焦几何面积与边长核心应用，核心掌握“设边长—找等量—列方程—验根取舍”的解题流程，重点突破边框、小路、图形缩放等高频模型，规避边长为负、取值超范围等易错点。此类题型是一元二次方程实际应用的核心考点，衔接后续二次函数几何综合问题，通过专项训练可熟练掌握几何建模方法，提升数形结合解题能力。（字数：1212） 情境导入 1. 通过探究，学会分析几何问题中蕴含的数量关系，列出一元二次方程解决几何问题.(重点) 2.通过探究，使学生认识在几何问题中可以将图形进行适当变换，使列方程更容易.(难点) 3.通过实际问题的解答，再次让学生认识到对方程的解进行检验的必要性，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准. 学习目标 问题： 应用方程解实际问题的步骤是什么？ 实际问题 审题 设未知数 列出方程 检验解的合理性 解方程 找等量关系 情境导入 是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有 多少个？ 例1 解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为x，x+1，x+2，其中x为正整数. 由勾股定理，得 x2+(x+1)2=(x+2)2. 解方程，得 x1=3，x2=-1(不符合题意，舍去). 因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为3,4,5. 探究新知 1. 用一条长为40cm的绳子围成一个面积为64cm2的长方形，设长方形的长为xcm，则可列方程为(　B　) A. x(20＋x)＝64 B. x(20－x)＝64 C. x(40＋x)＝64 D. x(40－x)＝64 B 2.若用一条长为 30 cm 的铁丝围成一个斜边长是 13 cm的直角三角形，则两直角边的长分别为 cm， cm. 5　 12　 举一反三 用一根长为40 m的细绳，能否围成一个面积为96m2的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？ 例2 分析：假设细绳能围成面积为96 m2的矩形区域，则矩形的周长就是细绳的长度. 设矩形一边长为x m，由周长为40 m，可用含x的式子表示出该边的邻边长，再利用面积列方程求解. 探究新知 用一根长为40m的细绳，能否围成一个面积为96m2的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？ 例2 解：设矩形的一边长为x m，由矩形的周长为40 m，可得此边的邻边长为(20-x)m； 再由矩形的面积为 96m2，得x(20-x)=96. 解方程，得x1=12，x2=8. 思考：方程有两个根，是否表示可以围成两个满足条件的矩形区域？ 因此，用一根长为40 m的细绳可以围成面积为96 m2的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为8m，12m. 探究新知 思考：对于例2中的问题，设矩形的两邻边长的方法有多种. 例如： (1)可设一边长为x m，那么其邻边长为 m； (2)可设一边长为(10+x)m，那么其邻边长为(10-x)m. 能根据以上设两邻边长的方法列方程求解例2吗？比较这些设法，说说它们各自的特点. (1)根据题意，得 2(x + ) = 40. 解得 = 12, = 8. (2)根据题意，得 (10 + x)(10 - x) = 96， 解得= 2, = -2. (1)的设元方法简单直接， (2)的设元方法求解简便. 探究新知 步骤 内容摘要 注意事项 ①审 审清题意，明确已知和未知，找到它们之间的等量关系. 等量关系往往体现在关键词句中. ②设 设未知数，方法有直接设元法、间接设元法和辅助设元法（引入辅助未知数，并在解题过程中消去）. 有单位的要带单位. ③列 用含有未知数的代数式表示有关的量，根据等量关系列出方程. 方程两边单位要统一. ④解 根据方程的特点，选择适当解法求出未知数的值. 一般不必写出解方程的过程. ⑤检 检验未知数的值是否满足所列方程，检验该值在实际问题中是否有意义. 一般两个根中只有一个符合实际意义. ⑥答 写出实际问题的答案. 遵循 “问什么答什么” 的原则. 列方程解实际问题，指的是先把实际问题抽象为数学问题（即建立方程模型），然后通过解决数学问题来解决实际问题. 一般步骤如下： 探究新知 1.怎样用一根长为 40m 的细绳围成一个面积为 75m2 的矩形区域？能围成一个面积为101m2 的矩形区域吗？如果能，说明围法；如果不能，说明理由. 解：设围成的矩形区域一边长为x m，则其邻边长为(20-x)m. 依题意，得x(20-x)=75， 解方程，得=5，=15， 当x=5时，20-x=15；当x=15时，20-x=5. 所以，当相邻的两边长分别为15m和5m时，能围成一个面积为75m²的矩形区域. 探究新知 书写通关 解：设 ⁠. 根据题意得 ⁠. 解得 ⁠. (x＝ 不合题意，舍去) 答： ⁠. 道路宽为xm　 (22－x)(17－x)＝300　 x1＝37，x2＝2　 37　 道路宽为2m　 3. 如图，在一块长为 22 m、宽为 17 m的矩形空地上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪.要使草坪面积为 300 m2，则道路宽为多少米？ 举一反三 1.怎样用一根长为 40m 的细绳围成一个面积为 75m2 的矩形区域？能围成一个面积为101m2 的矩形区域吗？如果能，说明围法；如果不能，说明理由. 解：不能围成一个面积为101m²的矩形区域.理由如下： 设围成的矩形区域一边长为y m，则其邻边长为(20-y) m， 依题意，得y(20-y)=101， 整理，得y2-20y+101=0， 因为Δ=(-20)2-4×1×101=400-404=-4<0， 所以不能围成一个面积为101m²的矩形区域. 探究新知 2.如图，矩形ABCD的两条邻边AD=1，CD=4，AB上是否存在点E，使得∠DEC为直角？ D C A E B 1 4 解：存在. 设AE=x,则BE=4-x. 在Rt△ADE中，由勾股定理，得DE2=1+x2. 在Rt△BEC中，由勾股定理，得CE2=1+(4-x)2. 因为∠DEC=90°，所以DE2+CE2=DC2, 即1+x2+1+(4-x)2=42. 解得x1=2+，x2=2-. 所以在AB上存在点E，使得∠DEC是直角. 探究新知 4. 如图，要利用一面墙(墙长为 25 m)建羊圈，用75 m长的围栏围成总面积为 300 m2的两个大小相同的矩形羊圈，那么羊圈的边长 AB，BC 各为多少米？ 解：设AB的长度为xm，则BC的长度为(75－3x)m. 根据题意得(75－3x)x＝300，解得x1＝20，x2＝5. 当x＝20时，75－3x＝15＜25，符合题意. 当x＝5时，75－3x＝60＞25，不符合题意，舍去. ∴AB＝20m，BC＝15m. 答：羊圈的边长AB，BC分别是20m，15m. 举一反三 3.如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，绿化后一边减少了3 m，相邻的一边减少了2 m ，剩余部分是面积为30 m2 的矩形空地，则原正方形空地的边长为( ) A.6 m B.7 m C.8 m D.9 m C 解析：设正方形空地的边长为x m. 根据题意，得(x-2)(x-3)=30. 解得x1=8，x2=-3（舍去）， 所以原正方形空地的边长为8 m. 探究新知 1. 返回 两个连续奇数的积是99，设较小的一个奇数为x，则可列方程为(　　) A．x(x＋1)＝99 B．x(x＋2)＝99 C．x(x－1)＝99 D．x(x－2)＝99 B 考试考法 16 返回 2. 【新考法 特征数表示法】如图是某月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的数(如6，7，8，13，14，15，20，21，22)．如果圈出的9个数中，最小数与最大数的积为161，则这个最小数是________． 7 考试考法 返回 3. 一个正两位数，个位数字比十位数字小1，且个位数字与十位数字的乘积等于72.求这个正两位数． 解：设这个正两位数的个位数字为x，则十位数字为x＋1. 依题意，得x(x＋1)＝72， 解得x1＝－9(不符合题意，舍去)，x2＝8， ∴10(x＋1)＋x＝10×(8＋1)＋8＝98. 答：这个正两位数为98. 考试考法 返回 4. 《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等，问：门高和对角线的长各是多少？设门对角线的长为x尺，下列方程符合题意的是(　　) A．(x＋2)2＋(x－4)2＝x2 B．(x－2)2＋x2＝(x＋4)2 C．x2＋(x－2)2＝(x－4)2 D．(x－2)2＋(x－4)2＝x2 D 考试考法 [秦皇岛期中]如图，在宽4 m，长6 m的矩形花坛上铺设两条同样宽的石子路，余下部分种植花卉，且种植花卉的面积为15 m2，则铺设的石子路的宽为(　　) A．1 m　 B．1.2 m　 C．1.5 m　 D．2 m 返回 5. A 考试考法 [保定定州期中]如图，小程的爸爸用一段10 m长的铁丝网围成一个一边靠墙(墙长5.5 m)的矩形鸭舍ABCD，其面积为15 m2，在鸭舍侧面中间位置留一个1 m宽的门(由其他材料制成)，则BC的长为________m. 返回 6. 5 考试考法 返回 7. 一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边长相差为2，求较长的直角边长x. 解：根据题意可得x2＋(x－2)2＝102， 整理，得x2－2x－48＝0， 因式分解，得(x－8)(x＋6)＝0， 解得x1＝8，x2＝－6(舍去)． 故较长的直角边长x为8. 考试考法 返回 8. 小明准备进行如下操作：把一根长为40 cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，小明应该怎么剪？ 解：设围成的第一个正方形的边长为x cm， 则围成的第二个正方形的边长为 cm， 依题意得x2＋ ＝58， 解得x1＝3，x2＝7，∴4x＝12或28，∴40－4x＝28或12. 答：小明应该将铁丝剪成12 cm和28 cm的两段． 考试考法 实际问题 数学问题的解 数学问题 ax2+bx+c=0 (a≠0) 实际问题的答案 解方程 检验 设未知数列方程(建模思想) 课堂小结 谢谢观看 THANKS 2 $