25.3 第2课时 传播问题与平均变化率问题 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程解决实际问题，核心涵盖传播问题与平均变化率问题。课堂通过视频播放传染病特征导入，以“1人传两轮至121人”等具体问题为支架，从分析数量关系到列方程求解，逐步总结出公式规律，帮助学生构建知识脉络。 其亮点是以真实情境驱动探究，如传染病传播、成本变化等实例，通过表格梳理传播轮数与人数关系、变化率公式，培养学生数学眼光（抽象能力）和思维（推理意识）。课堂小结结合公式与实例，助力学生形成模型意识，教师可借助丰富例题提升教学效率，学生能在解决实际问题中发展应用能力。

人教版（新教材）数学九年级上册 第25章 一元二次方程 25.3 第2课时 传播问题与平均变化率问题 授课教师： . 班 级： 九年级（ ）班 . 时 间： . 2026/8/16 人教版数学九年级上册25.3第2课时 传播问题与平均变化率问题专项练习 本次专项练习紧扣人教版九年级上册25.3第2课时核心内容，聚焦一元二次方程两大经典实际应用模型：病毒传播、人际传播问题与增长率、下降率平均变化率问题。习题严格贴合教材例题与中考高频题型，分层设置基础选择、填空、解答及拓展提升题，重点考查学生找准变化规律、建立一元二次方程的建模能力，规避传播基数、增长率次数、负值取舍等易错点，配套标准解题步骤，适配课后巩固与专项培优。 一、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 某种病毒传播速度极快，若一人患病，每轮每人传染x人，经过一轮传染后，患病总人数为（） A. x B. x+1 C. x-1 D. 2x 2. 某店铺营业额连续两次上涨，每次涨幅相同，由1000元涨到1210元，设平均每次增长率为x，列方程正确的是（） A. 1000(1+x)²=1210 B. 1000(1+2x)=1210 C. 1000x²=1210 D. 1000(1-x)²=1210 3. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有16人患病，设每轮每人传染x人，则x的值为（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 某产品成本连续两次降价，平均每次降价百分率为x，原价80元，现价45元，方程为（） A. 80(1-x)²=45 B. 80(1+x)²=45 C. 80-2x=45 D. 80(1-2x)=45 5. 某种短信传播，一人发送给x人，第二轮每人再发送给x人，两轮后共有81人收到短信，则x为（） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 二、基础填空题（每题4分，共20分） 6. 传播问题通用公式：初始1人感染，每轮传染x人，经过两轮传染后总人数为__________。 7. 某工厂产量月平均增长率为10%，若上月产量为a，两个月后产量为__________。 8. 经过两轮传染后共有121人患病，则每轮平均传染__________人。 9. 某商品连续两次涨价10%，原价100元，两次涨价后价格为__________元。 10. 若某数据连续两次变化后数值不变，则平均变化率为__________。 三、解答题（共40分） 11. 有一人感染流行性感冒，经过两轮传染后共有64人患病，求每轮平均一个人传染几个人？（8分） 12. 某商场今年3月份营业额为400万元，5月份营业额达到576万元，若4、5两个月营业额月平均增长率相同，求月平均增长率。（8分） 13. 某种电子产品价格逐年下降，某产品原价200元，经过连续两次降价后售价为128元，已知两次降价百分率相同，求每次降价的百分率。（8分） 14. 某种植物孢子传播，初始2株孢子，每轮每株孢子传播x株新孢子，经过两轮传播后共有288株孢子，求每轮传播的孢子数量。（16分） 四、拓展提升题（20分） 15. 若一种病毒每轮传染速度不变，1人患病，经过三轮传染后共有343人患病，求每轮传染人数及两轮后的患病总人数。 16. 某工厂第一季度产值100万元，第三季度产值144万元，若每季度平均增长率不变，求该工厂每季度的平均增长率。 参考答案与详细解析 一、选择题 1. B 解析：初始1人，每人传染x人，新增x人，一轮后总人数为x+1。 2. A 解析：连续两次增长，增长率固定，套用复利增长公式a(1+x)²=b。 3. A 解析：列方程1+x+x(1+x)=16，整理得(1+x)²=16，解得x=3（负值舍去）。 4. A 解析：连续两次降价，变化率为负，公式为原价×(1-x)²=现价。 5. B 解析：两轮传播总人数(1+x)²=81，解得x=8，符合实际意义。 二、填空题 6. (1+x)² 7. a(1+10%)² 8. 10 9. 121 10. 0 三、解答题 11. 解：设每轮每人传染x人，得方程(1+x)²=64，解得x₁=7，x₂=-9（舍去）。答：每轮平均传染7人。 12. 解：设月平均增长率为x，400(1+x)²=576，解得1+x=1.2，x=0.2=20%。答：月平均增长率为20%。 13. 解：设每次降价百分率为x，200(1-x)²=128，解得(1-x)²=0.64，x=0.2=20%。答：每次降价20%。 14. 解：设每轮每株传播x株，初始2株，两轮后总数2(1+x)²=288，解得(1+x)²=144，x=11。答：每轮每株传播11株。 四、拓展提升题 15. 解：由(1+x)³=343，得1+x=7，x=6。两轮后总人数(1+6)²=49人。答：每轮传染6人，两轮后49人患病。 16. 解：设季度平均增长率为x，间隔两个季度，100(1+x)²=144，解得x=0.2=20%。答：每季度平均增长率为20%。 本次练习聚焦传播问题与平均变化率两大核心模型，明确传播问题“逐轮递增、底数迭代”和变化率问题“复利式增减”的核心规律，重点训练学生辨析增长、下降、传播轮次、初始基数等关键条件。所有题目均需结合实际舍去负根，强化一元二次方程实际应用的严谨性，夯实中考应用题核心考点，完善一元二次方程实际应用知识体系。（字数：1212） 情境导入 1.经历用一元二次方程解决实际问题的过程，总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤.(重点) 2.通过学生自主探究，会根据传播问题、平均变化率问题中的数量关系列一元二次方程并求解，熟悉解题的具体步骤.(难点) 3.通过实际问题的解答，让学生认识到对方程的解进行检验的必要性，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准. 学习目标 点击视频播放→ 观察下列视频，了解传染病的特征和防护措施，那你知道传染病是如何传染的吗？ 情境导入 探究 1 某种传染病的传染速度很快. 如果开始有 1 个人被传染，经过两轮传染后共有 121 个人被传染，那么每轮传染中平均 1 个人传染了多少个人？ 分析：设每轮传染中平均 1 个人传染了 x 个人. 开始有 1 个人被传染，第一轮的传染源就是这个人，他传染了 x 个人， 用代数式表示，第一轮后共有________个人被传染； 第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了 x 个人， 用代数式表示，第二轮后共有___________个人被传染. (1+x) [1+x+x(1+x)] 探究新知 探究 1 某种传染病的传染速度很快. 如果开始有 1 个人被传染，经过两轮传染后共有 121 个人被传染，那么每轮传染中平均 1 个人传染了多少个人？ 解：列方程 1+x+x(1+x)=121. 解方程，得 x1​=10，x2​=−12 (不合题意，舍去). 因此，每轮传染中平均 1 个人传染了 10 个人. 探究新知 经过三轮传染后共有121×10+121=1 331(个)人被传染. 思考： 按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人被传染？ 由此体会阻断病毒传播的必要性. 探究新知 思考： 如果按这样的传染速度，n轮传染后有多少人患了流感？ 传染源 新增患者人数 本轮结束患者总人数 第一轮 1 1∙x＝x 1＋x 第二轮 1＋x (1＋x)·x 第三轮 第 n 轮 (1+x)n (1+x)2+(1+x)2·x =(1+x)3 1+x+(1+x)·x =(1+x)2 (1+x)2 (1+x)2·x (1+x)n-1 (1+x)n-1·x 探究新知 类型 等量关系 病毒传播、植物分支生长、转发、分裂等 a(1+x)n=b， 其中，a是感染源数量，x是每轮平均传播人数，n是传播轮数，b是最终感染者总数. 传播问题的解题策略 探究新知 例1 癌症是人类的一个很可怕的敌人，因为癌细胞的繁殖速度惊人．已知一个癌细胞经过两轮分裂后，共有12 100个癌细胞． （1）求一个癌细胞每轮分裂出多少个癌细胞． 解：（1）设一个癌细胞每轮分裂出x个癌细胞， 由题意，得(x+1)2=12 100. 解得x1=109，x2=-111（不合题意，舍去）. 答：一个癌细胞每轮分裂出109个癌细胞. 探究新知 例1 癌症是人类的一个很可怕的敌人，因为癌细胞的繁殖速度惊人．已知一个癌细胞经过两轮分裂后，共有12 100个癌细胞． （2）若以相同的分裂速度再经过两轮分裂，则分裂后共有多少个癌细胞？ 解：（2）以相同的分裂速度再经过两轮分裂，分裂后的癌细胞为： 12 100×（109+1）2=146 410 000（个）. 答：以相同的分裂速度再经过两轮分裂，则分裂后共有146 410 000个癌细胞． 探究新知 1. 有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有 36 人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人，对于甲、乙、丙三人的说法，下列判断正确的是(　C　) 甲：第 1 轮后有 (x＋1) 个人患了流感； 乙：第 2 轮又增加 x(x＋1) 个人患流感； 丙：依题意可列方程为 1＋x＋x2＝36. A. 甲错，丙对 B. 甲对，乙错 C. 甲对，丙错 D. 乙和丙都对 C 举一反三 书写通关 解：设 ⁠ ⁠， 根据题意得 ⁠. 解得 ⁠. (x＝ 不合题意，舍去) 答： ⁠ ⁠. 该购物网站平均每年销售额增长的百分率为x 200(1＋x)2＝392　 x1＝0.4，x2＝－2.4　 －2.4　 该购物网站平均每年销售额增长的百分率为40％ 2. 随着互联网的迅速发展，某购物网站的年销售额从前年的 200 万元增长到今年的 392 万元.求该购物网站平均每年销售额增长的百分率. 举一反三 探究2 两年前生产1 t甲种食品的成本是10 000元，生产1 t乙种食品的成本是12 000元.随着生产技术的进步，现在生产1 t甲种食品的成本是6 000元，生产1 t乙种食品的成本是7 200元. 哪种食品成本的年平均下降率较大？ 分析：容易求出，甲种食品成本的年平均下降额为(10 000-6 000)÷2=2 000(元)， 乙种食品成本的年平均下降额为(12 000-7 200)÷2=2 400(元) . 显然，乙种食品成本的年平均下降额较大. 但年平均下降额（元）不等于年平均下降率（百分数）. 探究新知 探究2 两年前生产1 t甲种食品的成本是10 000元，生产1 t乙种食品的成本是12 000元.随着生产技术的进步，现在生产1 t甲种食品的成本是6 000元，生产1 t乙种食品的成本是7 200元. 哪种食品成本的年平均下降率较大？ 设甲种食品成本的年平均下降率为 ，则一年后甲种食品成本为  元， 两年后甲种食品成本为  元，于是有 解方程，得 根据问题的实际意义，甲种食品成本的年平均下降率约为22.5%. 思考：为什么选择22.5%作为答案？ 因为根据问题的实际意义，成本的年平均下降率应是小于 1的正数，所以选择22.5%作为答案. 探究新知 探究2 两年前生产1 t甲种食品的成本是10 000元，生产1 t乙种食品的成本是12 000元.随着生产技术的进步，现在生产1 t甲种食品的成本是6 000元，生产1 t乙种食品的成本是7 200元. 哪种食品成本的年平均下降率较大？ 设乙种食品成本的年平均下降率为y. 根据题意，得12 000(1-y)2=7 200. 解得y1≈0.225，y2≈1.775（舍去）. 所以乙种食品成本的年平均下降率约为22.5%. 思考：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额大的食品，它的成本下降率一定大吗？应怎样全面比较几个对象的变化情况？ 成本下降额大的食品，它的成本下降率不一定大.成本下降额表示绝对变化量，成本下降率表示相对变化量，两者兼顾才能全面比较对象的变化状况. 探究新知 3. 为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低. 2024年这种药剂价格为 200 元，2026 年该药剂价格为 98 元. (1)求 2024 年到 2026 年这种药剂价格的年平均下降率； 解：(1)设2024年到2026年这种药剂价格的年平均下 降率为 x， 根据题意得 200(1－x)2＝98，解得 x1＝0.3＝30％， x2＝1.7(不符合题意，舍去). 故这种药剂价格的年平均下降率为30％. 举一反三 类型 等量关系 正增长、负增长 a(1+x)n=b， 其中，a 是起始量，x 是增长率，n 是增长的次数，b 是终止量. 当出现负增长时，x 小于 0. 增长率问题的解题策略 探究新知 某网络销售公司计划第二季度销售额达到1 200万元，已知4月的销售额为310万元，设5，6月的销售额月平均增长率为x,根据题意所列方程正确的是（　　） 例2 A．310（1+x%）2=1 200 B．310（1+x）+310（1+x）2=1 200 C．310（1+x）2=1 200 D．310+310（1+x）+310（1+x）2=1 200 解析：设5、6月的销售额月平均增长率为x, 则5月份的销售额为310（1+x）万元， 6月份的销售额为310（1+x）2万元， 根据第二季度销售额达到1 200万元，可得310+310（1+x）+310（1+x）2=1 200． D 探究新知 (2)若该制药厂计划2027年对此药剂按此下降率继续 降价，预计2027年该药剂的价格为多少元？为68.6元. 解：(2)98×(1－30％)＝68.6(元)， 即预计2027年该药剂的价格为68.6元. 举一反三 1. 返回 有1人患了流感，第一轮传染了6人，第一轮过后共有________人患了流感；第二轮传染时平均每人也传染了6人，第二轮传染了________人，第二轮过后共有________人患了流感． 7 42 49 考试考法 20 返回 2. [教材P22练习T1变式]某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支总数是31.若设主干长出x个支干，则所列方程正确的是(　　) A．(1＋x)2＝31 B．1＋x＋x2＝31 C．(1＋x)x＝31 D．1＋x＋2x＝31 B 考试考法 返回 3. [教材P21探究1变式]冬季是流行性疾病的高发期，某人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了(　　) A．10人 B．11人 C．12人 D．13人 B 考试考法 返回 4. 化学课代表在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后，第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每名同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49名同学恰好都会做这个实验了．问1名同学每节课手把手教会了多少名同学？ 解：设1名同学每节课手把手教会了x名同学， 由题意得1＋x＋(1＋x)x＝49， 解得x1＝6，x2＝－8(不合题意，舍去)． 答：1名同学每节课手把手教会了6名同学． 考试考法 某新能源汽车销售公司，在国家减税政策的支持下，对某款纯电动的新能源汽车连续两次降价，平均每次降价的百分率为x.已知这种新能源汽车的原价是每辆25万元，则第一次降价后每辆的售价为________万元，第二次降价后每辆的售价为_________万元．若经过两次降价后这种新能源汽车每辆的售价为16万元，则可列方程为_____________． 返回 5. 25(1－x) 25(1－x)2 25(1－x)2＝16 考试考法 [广东中考]广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2 500万元，预计7月产值将增至9 100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x，可列出的方程为(　　) A．2 500(1＋x)2＝9 100 B．2 500(1－x)2＝9 100 C．2 500(1－2x)2＝9 100 D．2 500(1＋2x)2＝9 100 返回 6. A 考试考法 返回 7. [邯郸期中]为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，则平均每次降价的百分率是(　　) A．20% B．22% C．25% D．28% C 考试考法 返回 8. 【情境题 航空航天】今年是中国航天事业创建70周年．某纪念品商店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型11月售出256件，12月、1月销量持续走高，1月售出400件，求12月、1月这两个月的月平均增长率． 解：设12月、1月这两个月的月平均增长率为x， 根据题意，得256(1＋x)2＝400， 解得x1＝0.25＝25%，x2＝－2.25(不合题意，舍去)． 答：12月、1月这两个月的月平均增长率为25%. 考试考法 实际问题与 一元二次方程 传播问题 增长率问题 a(1+x)n=b， 其中，a 是起始量，x 是增长率，n 是增长的次数，b 是终止量. 当出现负增长时，x 小于 0. a(1+x)n=b， 其中，a是感染源数量，x是每轮平均传播人数，n是传播轮数，b是最终感染者总数. 课堂小结 谢谢观看 THANKS EV录屏3.9.3软件录制 Lavf56.38.102 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制，www.ieway.cn $