25.3 第2课时 传播问题与平均变化率问题（课件）--2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的传播问题与平均变化率问题，通过流感传播、成本下降等探究案例导入，衔接方程解法，以知识点梳理和表格归纳为支架，构建从理论到应用的学习脉络。 其亮点是以实际情境（如病毒传播、航天模型销量）培养数学眼光，通过方程推导与检验（如舍去负根）发展推理能力，用规范公式和分层练习强化数学语言表达。助力学生提升应用意识，教师可高效开展实际问题教学。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（2024）数学九年级上册教学课件 第25章 一元二次方程 25.3 第2课时 传播问题与平均变化率问题 2026年8月3日 25.3 第2课时 传播问题与平均变化率问题 专项练习题 知识点梳理：本课两类高频实际应用题型。传播问题：一人传播，每轮每人传播相同人数，传播公式为$$(1+x)^n$$（$$x$$为每人每轮传播人数，$$n$$为传播轮数），用于计算总传播人数。平均变化率问题：增长率公式$$a(1+x)^2=b$$，下降率公式$$a(1-x)^2=b$$（$$a$$为初始量，$$x$$为平均变化率，$$b$$为变化后最终量），所有实际问题解完均需检验，舍去不符合题意的解。 一、基础填空题（每空3分，共30分） 1. 某种商品原价100元，平均每次降价百分率为$$x$$，第一次降价后价格为________，第二次降价后价格为________。 1. 一人发朋友圈传播消息，每轮每人转发给3人，经过两轮传播，总传播人数为________。 1. 某工厂产量逐年增长，初始产量为$$a$$，年平均增长率为$$x$$，两年后产量公式为________。 1. 有1人携带病毒，每轮传染$$x$$人，两轮后共有81人患病，可列方程________。 1. 某药品价格连续两次降价，由50元降至32元，设平均降价率为$$x$$，方程为________。 1. 平均变化率问题中，变化率的取值范围是________（填取值范围）。 1. 传播问题的核心特点是：每轮传播的________始终相同。 二、选择题（每题4分，共28分） 1. 某种细菌传播，1个细菌每轮分裂成$$x$$个，两轮后共100个细菌，方程正确的是（） A.$$(1+x)^2=100$$ B.$$1+x^2=100$$ C.$$x^2=100$$ D.$$1+2x=100$$ 4. 某店营业额连续两年上涨，年增长率相同，第一年营业额20万元，第三年28.8万元，增长率为（） A. 10% B. 20% C. 25% D. 30% 7. 流感传播，1人患病，经过两轮传染后共121人患病，每轮传染人数为（） A. 9人 B. 10人 C. 11人 D. 12人 9. 某产品成本连续两次降低，成本由80元降至45元，设平均降低率为$$x$$，方程为（） A.$$80(1-2x)=45$$ B.$$80(1-x)^2=45$$ C.$$45(1+x)^2=80$$ D.$$80(1+x)^2=45$$ 11. 下列关于传播问题说法正确的是（） A. 传播人数逐轮减少 B. 两轮传播公式为$$(1+x)^2$$ C. 初始人数不影响结果 D. 无需检验方程的解 13. 某小区绿化面积年平均增长率为$$x$$，两年内面积扩大为原来的1.44倍，则$$x$$为（） A. 12% B. 20% C. 22% D. 44% 15. 连续两次增长、增长率相同的问题，适用模型是（） A. $$a(1+x)^2=b$$ B. $$a(1-x)^2=b$$ C. $$a+2ax=b$$ D.$$ax^2=b$$ 三、判断题（对的打√，错的打×，每题2分，共12分） 1. 传播问题中，两轮传播后的总人数包含最初的传播者。（） 5. 平均增长率可以大于100%。（） 7. 商品连续两次降价，可用$$原价\times(1-x)^2=现价$$列式。（） 9. 1人传播，每轮传2人，两轮后总人数为9人。（） 11. 变化率问题解出的负数结果可以直接使用。（） 13. 增长率和下降率问题均属于平均变化率问题。（） 四、基础应用题（每题5分，共20分） 列一元二次方程规范解答下列问题： 1. 有一种病毒，1人感染，每轮每人传染相同人数，经过两轮传染后共有64人感染，求每轮每人传染的人数。 5. 某文具店销售额连续两年增长，由10万元增长至12.1万元，求年平均增长率。 7. 一款电子产品连续两次降价，原价2000元，现价1280元，求平均每次降价的百分率。 9. 微信群消息传播，1人发布，每轮每人转发4人，求两轮后总参与人数。 五、综合拓展题（10分） 某工厂改进生产技术，产品年产量连续两年递增，第一年产量50万件，两年后总产量达到60.5万件，求每年的平均增长率。 参考答案 一、基础填空题 1. $$1+x$$ 2. $$100(1-x)$$、$$100(1-x)^2$$ 3. 16 4. $$a(1+x)^2$$ 5. $$(1+x)^2=81$$ 6. $$50(1-x)^2=32$$ 7. $$0<x<1$$ 8. 传播人数 二、选择题 1.A 2.B 3.B 4.B 5.B 6.B 7.A 三、判断题 1.√ 2.√ 3.√ 4.√ 5.× 6.√ 四、基础应用题 1. 解：设每轮每人传染$$x$$人，列方程$$(1+x)^2=64$$，解得$$x_1=7，x_2=-9$$（舍去），答：每轮传染7人。 2. 解：设年平均增长率为$$x$$，$$10(1+x)^2=12.1$$，解得$$x=0.1=10\%$$，答：年平均增长率10%。 3. 解：设平均降价率为$$x$$，$$2000(1-x)^2=1280$$，解得$$x=0.2=20\%$$，答：平均每次降价20%。 4. 解：代入传播公式$$(1+4)^2=25$$，答：两轮后总参与人数25人。 五、综合拓展题 解：设每年平均增长率为$$x$$，根据题意列方程：$$50(1+x)^2=60.5$$，整理得$$(1+x)^2=1.21$$，开方得$$1+x=\pm1.1$$，解得$$x_1=0.1=10\%$$，$$x_2=-2.1$$（增长率为正，舍去）。答：该工厂每年的平均增长率为10%。 （总字数1010字，聚焦传播、平均变化率两大核心题型，覆盖公式识记、基础列式、计算求解、综合应用，规避常见易错点，题型梯度、分值排版与本单元全套习题完全统一） 探究 1 某种传染病的传染速度很快. 如果开始有 1 个人被传染，经过两轮传染后共有 121 个人被传染，那么每轮传染中平均 1 个人传染了多少个人？ 分析：设每轮传染中平均 1 个人传染了 x 个人. 开始有 1 个人被传染，第一轮的传染源就是这个人，他传染了 x 个人， 用代数式表示，第一轮后共有________个人被传染； 第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了 x 个人， 用代数式表示，第二轮后共有___________个人被传染. (1+x) [1+x+x(1+x)] 探究 1 某种传染病的传染速度很快. 如果开始有 1 个人被传染，经过两轮传染后共有 121 个人被传染，那么每轮传染中平均 1 个人传染了多少个人？ 解：列方程 1+x+x(1+x)=121. 解方程，得 x1​=10，x2​=−12 (不合题意，舍去). 因此，每轮传染中平均 1 个人传染了 10 个人. 经过三轮传染后共有121×10+121=1 331(个)人被传染. 思考： 按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人被传染？ 由此体会阻断病毒传播的必要性. 思考： 如果按这样的传染速度，n轮传染后有多少人患了流感？ 传染源 新增患者人数 本轮结束患者总人数 第一轮 1 1∙x＝x 1＋x 第二轮 1＋x (1＋x)·x 第三轮 第 n 轮 (1+x)n (1+x)2+(1+x)2·x =(1+x)3 1+x+(1+x)·x =(1+x)2 (1+x)2 (1+x)2·x (1+x)n-1 (1+x)n-1·x 类型 等量关系 病毒传播、植物分支生长、转发、分裂等 a(1+x)n=b， 其中，a是感染源数量，x是每轮平均传播人数，n是传播轮数，b是最终感染者总数. 传播问题的解题策略 例1 癌症是人类的一个很可怕的敌人，因为癌细胞的繁殖速度惊人．已知一个癌细胞经过两轮分裂后，共有12 100个癌细胞． （1）求一个癌细胞每轮分裂出多少个癌细胞． 解：（1）设一个癌细胞每轮分裂出x个癌细胞， 由题意，得(x+1)2=12 100. 解得x1=109，x2=-111（不合题意，舍去）. 答：一个癌细胞每轮分裂出109个癌细胞. 例1 癌症是人类的一个很可怕的敌人，因为癌细胞的繁殖速度惊人．已知一个癌细胞经过两轮分裂后，共有12 100个癌细胞． （2）若以相同的分裂速度再经过两轮分裂，则分裂后共有多少个癌细胞？ 解：（2）以相同的分裂速度再经过两轮分裂，分裂后的癌细胞为： 12 100×（109+1）2=146 410 000（个）. 答：以相同的分裂速度再经过两轮分裂，则分裂后共有146 410 000个癌细胞． 1. 返回 有1人患了流感，第一轮传染了6人，第一轮过后共有________人患了流感；第二轮传染时平均每人也传染了6人，第二轮传染了________人，第二轮过后共有________人患了流感． 7 42 49 考试考法 9 返回 2. [教材P22练习T1变式]某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支总数是31.若设主干长出x个支干，则所列方程正确的是(　　) A．(1＋x)2＝31 B．1＋x＋x2＝31 C．(1＋x)x＝31 D．1＋x＋2x＝31 B 考试考法 返回 3. [教材P21探究1变式]冬季是流行性疾病的高发期，某人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了(　　) A．10人 B．11人 C．12人 D．13人 B 考试考法 探究2 两年前生产1 t甲种食品的成本是10 000元，生产1 t乙种食品的成本是12 000元.随着生产技术的进步，现在生产1 t甲种食品的成本是6 000元，生产1 t乙种食品的成本是7 200元. 哪种食品成本的年平均下降率较大？ 分析：容易求出，甲种食品成本的年平均下降额为(10 000-6 000)÷2=2 000(元)， 乙种食品成本的年平均下降额为(12 000-7 200)÷2=2 400(元) . 显然，乙种食品成本的年平均下降额较大. 但年平均下降额（元）不等于年平均下降率（百分数）. 探究2 两年前生产1 t甲种食品的成本是10 000元，生产1 t乙种食品的成本是12 000元.随着生产技术的进步，现在生产1 t甲种食品的成本是6 000元，生产1 t乙种食品的成本是7 200元. 哪种食品成本的年平均下降率较大？ 设甲种食品成本的年平均下降率为 ，则一年后甲种食品成本为  元， 两年后甲种食品成本为  元，于是有 解方程，得 根据问题的实际意义，甲种食品成本的年平均下降率约为22.5%. 思考：为什么选择22.5%作为答案？ 因为根据问题的实际意义，成本的年平均下降率应是小于 1的正数，所以选择22.5%作为答案. 探究2 两年前生产1 t甲种食品的成本是10 000元，生产1 t乙种食品的成本是12 000元.随着生产技术的进步，现在生产1 t甲种食品的成本是6 000元，生产1 t乙种食品的成本是7 200元. 哪种食品成本的年平均下降率较大？ 设乙种食品成本的年平均下降率为y. 根据题意，得12 000(1-y)2=7 200. 解得y1≈0.225，y2≈1.775（舍去）. 所以乙种食品成本的年平均下降率约为22.5%. 思考：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额大的食品，它的成本下降率一定大吗？应怎样全面比较几个对象的变化情况？ 成本下降额大的食品，它的成本下降率不一定大.成本下降额表示绝对变化量，成本下降率表示相对变化量，两者兼顾才能全面比较对象的变化状况. 类型 等量关系 正增长、负增长 a(1+x)n=b， 其中，a 是起始量，x 是增长率，n 是增长的次数，b 是终止量. 当出现负增长时，x 小于 0. 增长率问题的解题策略 某网络销售公司计划第二季度销售额达到1 200万元，已知4月的销售额为310万元，设5，6月的销售额月平均增长率为x,根据题意所列方程正确的是（　　） 例2 A．310（1+x%）2=1 200 B．310（1+x）+310（1+x）2=1 200 C．310（1+x）2=1 200 D．310+310（1+x）+310（1+x）2=1 200 解析：设5、6月的销售额月平均增长率为x, 则5月份的销售额为310（1+x）万元， 6月份的销售额为310（1+x）2万元， 根据第二季度销售额达到1 200万元，可得310+310（1+x）+310（1+x）2=1 200． D 返回 4. 化学课代表在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后，第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每名同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49名同学恰好都会做这个实验了．问1名同学每节课手把手教会了多少名同学？ 解：设1名同学每节课手把手教会了x名同学， 由题意得1＋x＋(1＋x)x＝49， 解得x1＝6，x2＝－8(不合题意，舍去)． 答：1名同学每节课手把手教会了6名同学． 考试考法 某新能源汽车销售公司，在国家减税政策的支持下，对某款纯电动的新能源汽车连续两次降价，平均每次降价的百分率为x.已知这种新能源汽车的原价是每辆25万元，则第一次降价后每辆的售价为________万元，第二次降价后每辆的售价为_________万元．若经过两次降价后这种新能源汽车每辆的售价为16万元，则可列方程为_____________． 返回 5. 25(1－x) 25(1－x)2 25(1－x)2＝16 考试考法 [广东中考]广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2 500万元，预计7月产值将增至9 100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x，可列出的方程为(　　) A．2 500(1＋x)2＝9 100 B．2 500(1－x)2＝9 100 C．2 500(1－2x)2＝9 100 D．2 500(1＋2x)2＝9 100 返回 6. A 考试考法 返回 7. [邯郸期中]为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，则平均每次降价的百分率是(　　) A．20% B．22% C．25% D．28% C 考试考法 返回 8. 【情境题 航空航天】今年是中国航天事业创建70周年．某纪念品商店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型11月售出256件，12月、1月销量持续走高，1月售出400件，求12月、1月这两个月的月平均增长率． 解：设12月、1月这两个月的月平均增长率为x， 根据题意，得256(1＋x)2＝400， 解得x1＝0.25＝25%，x2＝－2.25(不合题意，舍去)． 答：12月、1月这两个月的月平均增长率为25%. 考试考法 返回 9. 小红开了一家商店，今年2月盈利2 000元，4月盈利2 880元，若从2月到5月，每月盈利的增长率相同，则该商店5月盈利(　　) A．576元 B．3 320元 C．3 456元 D．3 880元 C 考试考法 22 返回 10. 有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有144个人患了流感，每轮传染中平均每人传染了x个人，下列结论错误的是(　　) A．第一轮后有(x＋1)个人患了流感 B．第二轮又增加(x＋1)·x个人患了流感 C．依题意可得方程(x＋1)2＝144 D．不考虑其他因素，经过三轮传染，一共会有1 584个人患了流感 D 考试考法 23 返回 11. 某高校有300台学生电脑和1台教师专用电脑，现在教师专用电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有16台电脑被感染． (1)每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ 考试考法 24 解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑， 第一轮感染过后感染的电脑数为(1＋x)台， 第二轮感染过后感染的电脑数为(1＋x)＋x(1＋x)＝(x＋1)2(台)， ∴(1＋x)2＝16， 解得x1＝3，x2＝－5(舍去)． 答：每轮感染中平均一台电脑会感染3台电脑． 返回 考试考法 返回 (2)若病毒得不到有效控制，________轮感染后机房内所有电脑都被感染． 五 考试考法 返回 12. 某工厂引进了1条航天飞船卡通贴生产线，开工第一天生产300万个，第三天生产432万个，若每天生产航天飞船卡通贴的个数增长的百分率相同．请解答下列问题． (1)每天增长的百分率是多少？ 解：设每天增长的百分率为x， 依题意，得300(1＋x)2＝432， 解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不符合题意，舍去)． 答：每天增长的百分率为20%. 考试考法 27 返回 (2)经调查发现，1条生产线最大产能是900万个/天，如果每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少30万个/天． ①现该厂要保证每天生产航天飞船卡通贴3 900万个，在增加产能的同时又要节省投入的条件下(生产线越多，投入越大)，应该增加几条生产线？ 考试考法 解：设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产 能为(900－30m)万个/天， 依题意，得(1＋m)(900－30m)＝3 900，解得m1＝4，m2＝25. ∵在增加产能的同时又要节省投入， ∴m＝4. 答：应该增加4条生产线． 返回 考试考法 返回 (2)经调查发现，1条生产线最大产能是900万个/天，如果每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少30万个/天． ②能否通过增加生产线，使得该厂每天生产航天飞船卡通贴9 000万个？若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由． 考试考法 解：不能．理由：假设能． 设增加a条生产线，则每条生产线的最大产能 为(900－30a)万个/天， 依题意，得(1＋a)(900－30a)＝9 000， 化简得a2－29a＋270＝0， ∵Δ＝(－29)2－4×1×270＝－239＜0，∴方程无解． ∴不能通过增加生产线，使得该厂每天生产口罩9 000万个． 返回 考试考法 实际问题与 一元二次方程 传播问题 增长率问题 a(1+x)n=b， 其中，a 是起始量，x 是增长率，n 是增长的次数，b 是终止量. 当出现负增长时，x 小于 0. a(1+x)n=b， 其中，a是感染源数量，x是每轮平均传播人数，n是传播轮数，b是最终感染者总数. 课堂小结 谢谢观看 THANKS $