4.5函数的应用(二) 同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦函数零点与应用，通过例-变式-练习三级分层，实现从概念理解到综合应用的递进，培养数学抽象与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（例1-2、练习1-4）|零点概念、存在性定理|单选直接考查定义，如练习1求零点，夯实基础| |提升层（变式1-2、练习5-9）|零点区间判断、参数范围|多选结合函数图象，如练习8分析方程解，发展推理能力| |综合层（例3-4、练习10-13）|函数模型应用、多零点问题|解答题如例4舆情指数建模，体现数学与现实联系，培养应用意识|

4.5 函数的应用（二） 【知识点归纳】 1、函数的零点:对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点. 2、方程的根与函数零点的关系 方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点. 函数零点的理解: （1）函数零点就是一个实数，当自变量取该值时，其函数值为零 （2）函数f() 的零点就是f()=0 的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程有几个实数根。 （3）F()=f()–g() 的零点就是方程f()=g() 的实数根，也就是函数y=f()的图象与y=g()的图象交点的 横坐标. 3、零点存在性定理 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根. 注意：函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，但这并不是f(x)存在零点的充要条件. 4、二分法 对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点 所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值. 5、用二分法求函数零点近似值的步骤 （1）确定区间，验证，给定精度. （2）求区间的中点. （3）计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点） （4）判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）—（4）步. 6、规律技巧小结 易混淆点: 零点不是点，是函数与 轴交点的横坐标， 易错点：并非所有函数都可用“性质”判断零点所在区间. 7.几类函数模型 函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大，逐渐表现为与y轴平行 随x的增大，逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax 8、抽象函数 （1）正比例函数型： -----； （2）指数函数型： ----，； （3）对数函数型： ---，； 例1.已知是函数的零点，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】结合零点的定义及指数与对数的相互转化求解即可. 【解析】由题意可得，，则， 则，所以. 故选：D. 【变式1】函数的零点在区间内，则_________． 【答案】4 【分析】利用函数零点的存在性定理求解. 【解析】由题意知，函数在上连续，根据对数函数和一次函数性质知该函数单调递增， 又有，， 由函数零点存在性定理可知零点在内，结合题意可得. 例2.方程的一个根在区间上，另一个根大于1，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】考查二次函数根的分布问题，由题意得出且，从而求出的取值范围. 【解析】令， 因为方程的一个根在区间上，另一个根大于1，则大致图象是： 所以，解得或， 所以实数的取值范围为． 【变式2】若函数恰有两个零点，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】函数恰好有两个零点，可转化为函数与函数的图象恰有两个交点. ①当恒成立，即 时， 问题转化为方程即有两个不同的解. 由 . 所以或. ②当时，方程有两个正根，（），如图， 当时， 恒成立， 所以此时直线与曲线必有两个不同的交点. ③当时，方程有两个负根，（），如图， 当时， 恒成立， 所以此时直线与曲线必有两个不同的交点. 综上可得：若函数恰有两个零点，则的取值范围是. 例3.已知函数，若函数有8个零点，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】据题意对实数进行讨论，分，，再利用函数零点问题，结合函数图象进行分析求解． 【解析】当时，，对称轴为. 当时，函数在单调递增，函数图象如下： 令，则由， 结合图象可得或，即或. 结合图象可知，有2个解，有1个解， 此时函数有3个零点，不符合题意. 当时，函数在单调递增，在单调递减，函数图象如下： 令，则由，结合图象可得或或， 即或或. 由图可知，有2个解，有3个解， 又函数有8个零点，则需有3个解. 需使，解得. 综上，实数的取值范围为. 【变式3】已知函数若方程有三个不等实根，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【分析】画出函数的图象，利用转化法、数形结合思想进行求解即可. 【解析】， 问题转化为直线与函数的图象有三个交点， 在同一直角坐标系中，直线与函数的图象如下图所示： 显然当时，， 利用数形结合可知，当时，直线与函数的图象有三个交点， 即方程有三个不等实根. 故答案为： 例4.舆论场指数是一个反映特定时间内社会舆论关注热点和趋势的指标,它通常通过大数据分析技术,对来自不同媒体平台的信息进行收集、整理和分析,从而得出一个量化的指数,以揭示公众对某些事件或话题的关注程度.对于舆论事件出现起的前x天(x≥1),若某次舆情过程中至少有一天的舆论场指数大于t×9x,则认为本次舆情是严重的.某购物平台利用舆论场指数就某次舆情进行分析,将舆论事件出现起第1,2,3天的舆论场指数整理成如下表格: 天数 1 2 3 舆论场指数 12 48 156 为研究舆论场指数的变化情况,技术人员提出了三种函数模型用以刻画数据:①f(x)=ax++c; ②f(x)=plogqx+g;③f(x)=m×nx+s,其中含x的项的系数均不为0. (1)请根据表格数据从①,②,③中选择一个最合适的函数模型,求出其函数解析式,并预测第4天时的舆论场指数; (2)若本次舆情不是严重的,求t的最小值. 【解析】(1)因为舆论场指数12,48,156,增长速度越来越快,所以应该选择模型③来刻画数据. 由题意得:. 因为(m·n2+s)-(m·n+s)=36,所以mn(n-1)=36; 由(m·n3+s)-(m·n2+s)=156-48,所以mn2(n-1)=108. 所以⇒n=3,将n=3代入mn(n-1)=36,可得m=6. 将m=6,n=3代入m·n+s=12,可得s=-6. 所以函数解析式为f(x)=6·3x-6. 令x=4,得f(4)=6×34-6=480, 即预测第4天时的舆论场指数为480. (2)若本次舆情不是严重的,求t的最小值. 【解析】(2)因为本次舆情不是严重的,即f(x)≤t·9x在x≥1时恒成立. 所以6·3x-6≤t·9x⇒t≥6[-]=6[-],x≥1. 设u=,x≥1,则u∈(0,]. 又y=-u2+u在(0,]上单调递增,所以=-+. 所以t≥6×.所以t的最小值为. 【变式4】物体在空气中冷却,如果物体的初始温度为θ1℃,环境温度为θ0℃,则t分钟后物体的温度θ(单位:℃)满足:θ=θ0+(θ1-θ0)e-kt.已知环境温度为20 ℃,一块面包从温度为140 ℃的烤箱里拿出,经过10分钟温度降至80 ℃,那么温度降至35 ℃大约再经过(　　) A.10分钟　　B.20分钟　　 C.30分钟　　D.40分钟 【答案】B 【解析】　由已知得θ0=20,θ1=140,θ=80,t=10, 代入θ=θ0+(θ1-θ0)e-kt可得80=20+(140-20)e-10k,则e10k=2, 设再经过t1分钟,温度可由80 ℃降为35 ℃,则35=20+(80-20), 即=4=22=e20k,即t1=20. 故再经过20分钟,面包的温度降为35 ℃. 【练 习】（1-7单选题） 1.函数=2+7的零点为（ ） A 7 B C - D-7 【答案】C 【解析】令=0则= 故选C 2.函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数为上的增函数，又， 所以，故函数仅有一个零点，其所在的区间是. 故选：A. 3.方程的实数解所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造对应函数，利用函数单调性与零点存在性定理判断方程解所在区间. 【解析】令，. 因为均为增函数，所以在上单调递增，所以至多存在1个零点. 又， ， 所以函数在内有唯一零点， 即方程的实数解位于区间内 故选C 4.已知函数在上存在零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数的单调性，再结合零点存在性定理求解即可. 【解析】因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 要使函数在上存在零点， 则，解得， 则实数的取值范围为. 故选A 5．荷花定律是一个非常著名的定律.据研究者收集的信息，池塘里荷花开放的程度，有如下规律，第一天开放的只是一小部分，第二天，它们会以前一天的两倍速度开放.到第29天时荷花恰好开满了一半，到第30天才会开满整个池塘.下列函数能较好反映池塘里荷花开放的程度y与时间x（1-30天）之间的变化规律的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意“到第29天时荷花恰好开满了一半， 到第30天才会开满整个池塘”可得当时的值是时的值的二倍， 所以只有指数函数符合. 故选：B. 6.已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 的零点可以看成函数与图象交点的横坐标，根据函数图象可知， 同理的零点可以看成函数与图象交点的横坐标，根据函数图象可知， 的零点可以看成函数与图象交点的横坐标，可得， 因此， 故选：D. 7．已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，；当时，． 作函数的图象可得， 令，则． 当时，方程没有解， 当时，方程有一个解， 当时，方程有两个解， 当时，方程有三个解， 因为恰有个零点， 所以有两个根（不妨设）． 所以， 由韦达定理可得． 要使有个零点，则需满足． 设，则． 解得， 所以实数的取值范围是． 故选：C. 8.（多选题）已知定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．方程有且仅有三个解 B．方程有且仅有三个解 C．方程有且仅有九个解 D．方程有且仅有一个解 【答案】AD 【分析】分别结合内外函数的零点进行分析，即可求解； 【详解】设的零点为，且． 由，得或或． 由的图象可知满足条件的x的值有三个． 故方程有且仅有三个解，故A正确： 同理，最多有九个解，C错误； 因为有一个解，又每个对应的值只有一个相应的解，故有且仅有一个解，而最多有三个解，所以B错误，D正确， 故选AD． 9.（多选题）有以下判断，其中是正确判断的有（    ） A．与表示同一函数； B．函数的图象与直线的交点最多有2个； C．函数的图象关于轴对称； D．函数在区间上有且只有1个零点． 【答案】CD 【分析】利用同一函数的定义来判断A，利用函数的性质来判断B，利用偶函数来判断C，利用零点存在性定理结合单调性来判断D. 【详解】由于的定义域为，的定义域为，所以它们表示的不是同一函数，故A错误； 函数的每一个自变量只有唯一的因变量与之对应，所以函数图象与直线的交点最多有1个，故B错误； 因为，又函数定义域为，所以是偶函数，即图象关于轴对称，故C正确； 因为， 且在区间上单调递增， 所以函数在区间上有且只有1个零点，故D正确； 故选：CD. 10．（填空题）已知函数，若函数有5个不同的零点，则实数m的取值范围为 . 【答案】或 【解析】令 ， 所以或，如图，画出函数的大致图象，    时，与的图象有3个交点， 所以与的图象只能有2个交点，则或， 所以或. 故答案为：或. 11.（填空题）声压级（单位：）与声压（单位：）的关系为，其中为人在空气中能听到的最低声压．已知飞机发动机声音的声压级比人正常说话声音的声压级大，则 ． 【答案】 【解析】由题设， 所以， 所以. 故答案为：. 12．（解答题）已知函数． (1)在图中画出函数的图象； (2)设，若函数有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)作图见解析； (2)或. 【解析】（1）作出函数的图象，并沿轴负方向平移2个单位得的图象， 再将所得的图象在轴下方部分沿轴翻折到轴上方与在轴上方的图象 合在一起得的图象，如图中实线： （2）由，得，由函数有两个零点， 得直线与的图象有两个交点， 由（1）知，，解得或， 所以实数的取值范围是或. 13.(解答题)已知函数，且，若函数在区间上的最大值与最小值之差为1. (1)求函数解析式； (2)当，求函数的最值，并求出取得最值时对应的的值： (3)已知关于的方程的两个实根满足，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 当时，函数有最小值， 当时，函数有最大值； (3) 【分析】（1）根据对数函数的单调性分类讨论进行求解即可； （2）利用换元法，结合二次函数的性质进行求解即可； （3）利用换元法，结合对数函数的单调性、一元二次方程根的分布性质进行求解即可. 【详解】（1）当时，函数单调递增， 函数在区间上的最大值与最小值分别为， 由题意可得：， 此时区间为； 当时，此时，显然区间不成立， 综上所述：，即； （2） 令，因为，所以， 所以， 所以，， 所以当时，函数有最小值， 当时，函数有最大值； （3）令，因为，所以对应的， 且，原方程转化为： 设，需要这个二次函数在上有两个不同的实根， 需要满足， 解得或 所以实数的取值范围为 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.5 函数的应用（二） 【知识点归纳】 1、函数的零点:对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点. 2、方程的根与函数零点的关系 方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点. 函数零点的理解: （1）函数零点就是一个实数，当自变量取该值时，其函数值为零 （2）函数f() 的零点就是f()=0 的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程有几个实数根。 （3）F()=f()–g() 的零点就是方程f()=g() 的实数根，也就是函数y=f()的图象与y=g()的图象交点的 横坐标. 3、零点存在性定理 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根. 注意：函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，但这并不是f(x)存在零点的充要条件. 4、二分法 对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点 所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值. 5、用二分法求函数零点近似值的步骤 （1）确定区间，验证，给定精度. （2）求区间的中点. （3）计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点） （4）判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）—（4）步. 6、规律技巧小结 易混淆点: 零点不是点，是函数与 轴交点的横坐标， 易错点：并非所有函数都可用“性质”判断零点所在区间. 7.几类函数模型 函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大，逐渐表现为与y轴平行 随x的增大，逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax 8、抽象函数 （1）正比例函数型： -----； （2）指数函数型： ----，； （3）对数函数型： ---，； 例1.已知是函数的零点，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1】函数的零点在区间内，则_________． 例2.方程的一个根在区间上，另一个根大于1，则实数的取值范围为______． 【变式2】若函数恰有两个零点，则的取值范围是__________． 例3.已知函数，若函数有8个零点，则实数的取值范围为___________． 【变式3】已知函数若方程有三个不等实根，则实数a的取值范围是______. 例4.舆论场指数是一个反映特定时间内社会舆论关注热点和趋势的指标,它通常通过大数据分析技术,对来自不同媒体平台的信息进行收集、整理和分析,从而得出一个量化的指数,以揭示公众对某些事件或话题的关注程度.对于舆论事件出现起的前x天(x≥1),若某次舆情过程中至少有一天的舆论场指数大于t×9x,则认为本次舆情是严重的.某购物平台利用舆论场指数就某次舆情进行分析,将舆论事件出现起第1,2,3天的舆论场指数整理成如下表格: 天数 1 2 3 舆论场指数 12 48 156 为研究舆论场指数的变化情况,技术人员提出了三种函数模型用以刻画数据:①f(x)=ax++c; ②f(x)=plogqx+g;③f(x)=m×nx+s,其中含x的项的系数均不为0. (1)请根据表格数据从①,②,③中选择一个最合适的函数模型,求出其函数解析式,并预测第4天时的舆论场指数; (2)若本次舆情不是严重的,求t的最小值. 【变式4】物体在空气中冷却,如果物体的初始温度为θ1℃,环境温度为θ0℃,则t分钟后物体的温度θ(单位:℃)满足:θ=θ0+(θ1-θ0)e-kt.已知环境温度为20 ℃,一块面包从温度为140 ℃的烤箱里拿出,经过10分钟温度降至80 ℃,那么温度降至35 ℃大约再经过(　　) A.10分钟　　B.20分钟　　 C.30分钟　　D.40分钟 【练 习】（1-7单选题） 1.函数=2+7的零点为（ ） A 7 B C - D-7 2.函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 3.方程的实数解所在区间为（   ） A． B． C． D． 4.已知函数在上存在零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．荷花定律是一个非常著名的定律.据研究者收集的信息，池塘里荷花开放的程度，有如下规律，第一天开放的只是一小部分，第二天，它们会以前一天的两倍速度开放.到第29天时荷花恰好开满了一半，到第30天才会开满整个池塘.下列函数能较好反映池塘里荷花开放的程度y与时间x（1-30天）之间的变化规律的是（   ） A． B． C． D． 6.已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8.（多选题）已知定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．方程有且仅有三个解 B．方程有且仅有三个解 C．方程有且仅有九个解 D．方程有且仅有一个解 9.（多选题）有以下判断，其中是正确判断的有（    ） A．与表示同一函数； B．函数的图象与直线的交点最多有2个； C．函数的图象关于轴对称； D．函数在区间上有且只有1个零点． 10．（填空题）已知函数，若函数有5个不同的零点，则实数m的取值范围为 . 11.（填空题）声压级（单位：）与声压（单位：）的关系为，其中为人在空气中能听到的最低声压．已知飞机发动机声音的声压级比人正常说话声音的声压级大，则 ． 12．（解答题）已知函数． (1)在图中画出函数的图象； (2)设，若函数有两个零点，求实数的取值范围． 13.(解答题)已知函数，且，若函数在区间上的最大值与最小值之差为1. (1)求函数解析式； (2)当，求函数的最值，并求出取得最值时对应的的值： (3)已知关于的方程的两个实根满足，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $