4.5函数的应用（二） 课时练习- 2026-2027学年 高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦函数零点判定与应用，分层设计从基础概念到综合探究，适配新授课知识巩固与能力进阶，培养数学抽象、逻辑推理与数学建模素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|零点概念、存在定理、简单运算|单选1-8直接考查零点定义与判定，填空13-16强化基础计算，夯实概念理解| |中档|零点个数判断、分段函数零点|单选9-12结合图表与参数讨论，填空17-18涉及数形结合，提升逻辑推理能力| |提升|含参零点问题、探究性应用|解答题21-22引入新定义“漂移点”与多零点分类讨论，培养数学建模与创新意识|

4.5函数的应用（二） 课时练习 一、单选题 1.函数y=x-2的零点是（   ） A. 0                                        B. -2                                        C. 2                                        D. （2,0） 2.函数 的零点所在的一个区间是（   ） A.                                 B.                                 C.                                 D.  3.函数 （   ） A. 没有零点                 B. 有一个零点                 C. 有两个零点                 D. 有一个零点或有两个零点 4.下列函数不存在零点的是(   ) A.                B.                C.                D.  5.函数 在 上有唯一零点，则 的取值范围为（   ） A.                           B.                           C.                           D.  6.函数 的零点个数为（    ） A. 1                                           B. 2                                           C. 3                                           D. 4 7.下列函数中不能用二分法求零点的是(   ) A.                        B.                        C.                        D.   8.已知函数f（x）= ，若f（f（0））=3a，则a=（   ） A.                                         B.                                         C. ﹣1                                        D. 1 9.根据表中的数据，可以断定方程 的一个根所在的区间是（    ） x -1 0 1 2 3 0.37 1 2.72 7.39 20.09 A.                                   B.                                   C.                                   D.  10.已知函数 ，若方程 有三个不同的实根，则实数 的取值范围是（    ） A.                                  B.                                  C.                                  D.  11.已知 ，若函数 有三个零点，则实数 的取值范围是（   ） A.                                B.                                C.                                D.  12.函数f（x）= ，若实数a满足f（f（a））=1，则实数a的所有取值的和为（   ） A. 1                                B. ﹣                                 C. ﹣ ﹣                                 D. ﹣2 二、填空题 13.函数 的零点是________. 14.函数 的一个零点是 ，则另一个零点是________. 15.函数 的零点个数为________. 16.若函数f（x）=2x+x﹣7在区间（k，k+1）（k∈Z）上存在零点，则k的值等于________． 17.已知函数 ，若函数 有两不同的零点，则实数 的取值范围是________． 18.若函数 存在零点，且与函数 的零点完全相同，则实数 的值为________. 三、解答题 19.若方程x2－2ax＋a＝0在(0，1)恰有一个解，求a的取值范围． 20.已知函数 ，若 且 ，求： （1）函数 的解析式； （2）若 ，求函数 的零点. 21.若在定义域内存在实数x0 ， 使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）有“漂移点”． （1）用零点存在定理证明：函数f（x）=x2+2x在[0，1]上有“漂移点”； （2）若函数g（x）=lg（ ）在（0，+∞）上有“漂移点”，求实数a的取值范围． 22.已知函数 （1）求 的零点； （2）若 有两个零点，求实数 的取值范围. （3）若 有三个零点，求实数 的取值范围. 答案解析部分 一、单选题 1.答案： C 解：函数的零点即是方程的根，∴ 故答案为：C   【分析】函数的零点即对应方程根，解方程即可得出答案。 2.答案： C 解： 为增函数， . 所以函数 的零点所在的一个区间是 . 故答案为：C. 【分析】由已知利用函数零点判定定理，得到， 即可判断零点所在的区间. 3.答案： D 解：当 时 ，函数 有两个零点. 当 时, 就是 , . 因此原函数有一个零点或有两个零点; 故答案为：D 【分析】对a的取值分类讨论，通过相应方程根的情况即可确定函数零点个数. 4.答案：D 解：令 ，得 中函数的零点为 ； 中函数的零点为 ； 中函数的零点为 ；只有 中函数无零点， 故答案为：D． 【分析】根据题意，令四个选项等于0，分别求出x的值，即可得出答案。 5.答案： C 解：函数 为单调函数，且在 上有唯一零点， 故 ， 即，解得 故答案为： 【分析】结合零点存在定理，端点函数值符号异号，即可得出答案。 6.答案： C 解：令 ，得 ，画出 和 的图像如下图所示， 由图可知，两个函数图像有 个交点，也即 有 个零点. 故答案为：C. 【分析】令 ，得到 ，画出 和 的图像，根据两个函数图像交点个数，求得函数 零点个数. 7.答案：C 解：结合函数 的图象可知，该函数在 左右两侧函数值的符号均为正， 故其不能用二分法求零点． 故答案为:C. 【分析】能不能用二分法求零点,决定于零点是不是异与零点.C中函数的零点明显是同号零点,故不能用二分法求其零点. 8.答案：A 解：由题意，f（0）=2，f（f（0））=f（2）=1+a=3a，∴a= ． 故选A． 【分析】由题意，f（0）=2，f（f（0））=f（2）=1+a=3a，即可求出a． 9.答案： D 解： 时， . 时， . 时， . 时， . 时， . 因为 ， 所以方程 的一个根在区间 内. 故答案为：D. 【分析】将 与 的值代入 ，找到使 的 ,即可选出答案. 10.答案： B 解：当 时， ，解方程 ，即 ，解得 ； 由于方程 有三个不同的实根，则方程 在 时的唯一实根， 当 时， ，解方程 ，得 ，解得 . 由题意可得 ，解得 ，因此，实数 的取值范围是 . 故答案为：B. 【分析】解出方程 在 时的两根，可得出方程 在 时的唯一根 ，由此可得出实数 的取值范围. 11.答案： A 解： 有三个零点， 有一个零点，故 ，有两个零点，代入 的解析式，得到 ，构造新函数 ，绘制这两个函数的图像，如图可知 因而 介于A,O之间，建立不等关系 ，解得a的范围为 ， 故答案为：A。 【分析】本道题将零点问题转化成交点个数问题，利用数形结合思想，即可。 12.答案：C 解：当a＞1时，f（f（a））=1，可得log2（log2a）=1，可得log2a=2，可得a=4． 当a∈（0，1]时，log2a＜0，由f（f（a））=1，可得（log2a）2+4log2a+1=1， 解得log2a=0或log2a=﹣4，解得a=1，a= ． 当a 或﹣2+ ＜a≤0时，f（a）=a2+4a+1＞0， 由f（f（a））=1， ∴log2（a2+4a+1）=1， 即a2+4a﹣1=0， 解得a=﹣2﹣ ，a=﹣2+ ＞0舍去． 当 时，f（a）=a2+4a+1≤0， 由f（f（a））=1，可得（a2+4a+1）2+4（a2+4a+1）+1=1， 解得（a2+4a+1）2+4（a2+4a+1）=0，可得a2+4a+1=0或a2+4a+1=﹣4， 解a2+4a+1=0得：a=﹣2﹣ ，a=﹣2+ ； 解a2+4a+1=﹣4得：a无解． 实数a的所有取值的和为：4+1+ ﹣2﹣ ﹣2﹣ = ． 故选：C． 【分析】通过a的范围，分类讨论求出方程的解，即可得到结果． 二、填空题 13.答案： 解：令f（x）=0，即x2+3x-4=0，解得：x=-4，x=1. 【分析】令f（x）=0，即x2+3x-4=0，解出即可． 14.答案： 解：依题意得： ，则 解得 . 所以 的两根为1，-6，故1为函数的另一个零点. 【分析】由已知函数的零点列式，解得 ， 得到函数的解析式，即可求出函数的另一个零点. 15.答案： 1 解：由题意，函数 ，令 ，即 ， 将函数 零点的个数转化为函数 和 图象的交点的个数， 在同一坐标系内做出两个函数的图象，如图所示，结合图象可知， 两个函数的图象仅有一个交点，所以函数 只有一个零点. 故答案为：1 【分析】利用数形结合的思想把要求的函数的零点情况转化为两个函数图像的交点问题，通过观察可得出两个函数图像的交点有一个进而得出原函数的零点个数为1. 16.答案：2 解：由f（2）=4+2﹣7=﹣1＜0，f（3）=8+3﹣7=4＞0及零点定理知， f（x）的零点在区间（2，3）上，函数为连续函数， ∴零点所在的一个区间（k，k+1）（k∈Z）是（2，3）∴k=2， 故答案为：2． 【分析】根据零点定理可得f（x）的零点在区间（2，3）上，且函数为连续函数进而得到k的值。 17.答案： 解：令 ，所以 有两个不同的零点， 等价于函数 与 的图象有两个不同的零点， 如图，在同一坐标系中作出函数 与 的图象， 由图象易知当 时，两函数图象有两个交点． 故答案为： ． 【分析】函数 有两个不同零点可以转化为函数 的图象与函数 的图象的有两个交点，作出两函数图象，由图象易得结果 18.答案： 1 解：因为函数 存在零点，不妨令 为函数 零点，则 ， 又函数 与函数 的零点完全相同， 所以 ，即 ，所以 . 故答案为1 【分析】不妨先令 为函数 零点，得到 ，根据函数 与函数 的零点完全相同，得到 ，进而可求出结果. 三、解答题 19.答案：解：由题意知：f(0)·f(1)＜0， 即a(1－a)＜0，根据两数之积小于0，那么必然一正一负． 故分为两种情况，∴a＜0或a＞1. 【分析】由题意知f(0)·f(1)＜0，分情况讨论。 20.答案： （1）解：由 得： , 又因为 , , 的解析式 （2）解：由 , 当 时, （舍） 当 时, , 或 又 , .故函数的零点为 . 【分析】（1）根据， 确定函数的对称轴为x=1，代入解方程，求出函数的解析式即可； （2）对x的取值分类讨论，在各段求出函数的零点，即可确定函数 的零点. 21.答案： （1）解：令h（x）=f（x+1）-f（x）-f（1）=2（2x-1+x-1）， 又h（0）=-1，h（1）=2，∴h（0）h（1）＜0， ∴h（x）=0在（0，1）上至少有一实根x0 ， 故函数f（x）=x2+2x在（0，1）上有“飘移点”； （2）解：若f（x）=lg（ ）在（0，+∞）上有飘移点x0 ， 由题意知a＞0， 即有lg =lg（ ）+lg 成立， 即 ， 整理得（2-a） -2ax0+2-2a=0， 从而关于x的方程g（x）=（2-a）x2-2ax+2-2a在（0，+∞）上应有实根x0 ， 当a=2时，方程的根为 ，不符合题意， 当0＜a＜2时，由于函数g（x）的对称轴 ， 可知，只需△=4a2-4（2-a）（2-2a）≥0， ∴ ，即有 ， 当a＞2时，由于函数g（x）的对称轴 ， 只需g（0）＞0即2-2a＞0，所以a＜1，无解． 综上，a的取值范围是[3- ，2）． 【分析】（1）本题利用零点存在性定理结合新概念“漂移点”证出函数在给定区间有“漂移点”。 （2）本题利用新概念“漂移点”，结合含参数的二次函数的对称性与对应的含参数的一元二次方程的根的关系求出a的取值范围，注意对参数a的讨论是解决本题的关键。 22.答案： （1）解：当 时， ， ， ； 当 时， ， ， ， 的零点是 ， ； （2）解：依题意 有两个零点， 等价于函数 与 有两个交点， 画出函数 的图象如下图： 由图可知 解得 故若 有两个零点，则 . （3）解： 在 ， 上单调递增， 值域是 ， ，在 上单调递增，值域为 ，如图： 令 ，若 有三个零点， 有两个根， ， ， 要使 有一个交点，若 ，有2个交点． ， ． 【分析】（1）分 和 两种情况，代入解析式解方程可得零点；（2）函数 有两个零点，等价于函数 与 有两个交点，画出函数 的图象，数形结合即可求出实数 的取值范围.（3）令 ，若 有三个零点， 有两个根， ， ，要使 有一个交点，若 ，有2个交点. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $