3.4函数的应用(一)导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦函数的应用，涵盖一次、二次、分段、幂函数、对勾函数、抽象函数模型及解决实际问题的步骤。课堂导入可联系函数性质，通过企业盈利、注意力调查等实际问题引入，搭建从函数理论到应用的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 资料特色在于结合现实情境设计例题与练习，如企业生产、个人所得税等，引导学生用数学眼光观察现实世界。通过审题、建模、求解、还原的步骤训练数学思维，分层练习提升应用能力，用函数语言表达实际问题，发展模型意识和创新意识，助力教学高效开展。

3.4 函数的应用（一） 【知识点归纳】 一、一次、二次函数模型 1、一次函数的一般形式：，其定义域是R，值域是R． 2、二次函数的一般形式：其定义域为R． 若，则二次函数在时有最小值； 若，则二次函数在时有最大值． 二、分段函数模型：在不同区间上具有不同的解析式，在研究条件变化前后的实际问题中应用. 三、幂函数模型 1、给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式. 2、根据题意，直接列出相应的函数关系式. 四、对勾函数模型： 1、对勾函数是由正比例函数f(x)＝ax与反比例函数f(x)＝叠加而成的． 解析式 一般式：(以、为例) 图象：（因其图象类似于耐克标志，所以也称耐克函数、双刀函数） 性质： (1)定义域：； (2)奇偶性：奇函数； (3)单调区间：单调递增区间：，， 单调递减区间：，； (4)值域：， (5)最值当且仅当，即时取最大、最小值。 （6）对称中心（0,0） （7）渐近线 y=ax和x=0 2、解决实际问题时可以直接建立f(x)＝ax＋的模型，有时可以将所列函数转化为f(x)＝ax＋的形式．f(x)＝ax＋求解最值，注意自变量的范围，取得最值时等号成立的条件． 五、抽象函数 1、正比例函数型： ---------------； 2、幂函数型： --------------，； 如已知是定义在R上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T，则0 六、解决实际应用问题的步骤： 1、审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型. 2、建模：将自然语言转化为数学语言，建立相应的函数模型. 3、求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解. 4、还原：应用问题既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答. 【典型例题】 例1.某科技企业为增加产能，第1年年初投入560万元购买了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前年的材料费、维修费、人工工资等共万元，该台设备可使该企业每年的销售收入为360万元，设使用该设备前年的总盈利额为万元. (1)写出关于的函数关系式，并计算该设备从第几年开始使企业盈利； (2)若第3年年初企业再投入560万元购买了一台该设备，该设备使用第年与第1台设备使用第年的材料费、维修费、人工工资等一样，且该台设备同样可使该企业每年的销售收入为360万元，若，求这两台设备的年平均盈利额最大时的值. 【变式1】　学校某研究性学习小组在对学生上课时注意力集中情况的调查研究中，发现在40min的一节课中，学生的注意力指数y与听课时间x（单位：min）之间的关系满足如图所示的图象．当时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点，点，当时，图象是线段BC，其中点．    (1)当时，求注意力指数y与听课时间x的函数关系式； (2)根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳．要使得学生学习效果最佳，求老师安排核心内容的时间段（结果用区间表示）． 例2.党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，现在准备从单一产品转为生产、两种产品，根据市场调查与市场预测，生产产品的利润与投资成正比，其关系如图①；生产产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）． (1)分别求出生产、两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)该企业已筹集到12万元资金，并全部投入、两种产品的生产，问：怎样分配这12万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 【变式2】为了提升某水域的生态环境，科研人员于2020年初在该水域投放一种微生物，投放量为1个单位数量．这种微生物在开始的4年内繁殖速度越来越快，随后越来越慢，设投放年后这种微生物的数量为个单位．已知与的关系拟合后的分段函数的图象如图所示：①；②；③. (1)请从中选择并求合适的两个确定关于的函数解析式，并说明理由； (2)求该水域生态环境最佳的时长.（注：微生物的数量在个单位之间生态环境最佳） 例3.定义在上的函数满足下面三个条件： ①对任意正数，都有；② 当时，；③ （1）求和的值； （2）试用单调性定义证明：函数在上是减函数； （3）求满足的的取值集合． 【变式3】函数的定义域为，且对任意，都有，且，当时，有. （1）求，的值； （2）判断的单调性并加以证明； （3）求在，上的值域. 【练习】（1-7单选题） 1.某商场“国庆节”期间搞促销活动，规定：如果顾客购物的总金额不超过500元，不享受折扣优惠；如果顾客的购物总金额超过500元，那么超过500元的部分享受折扣优惠，折扣优惠按下表计算． 享受折扣的购物金额 折扣优惠 超过500元不超过1000元的部分 10％ 超过1000元的部分 20％ 王先生在商场获得的折扣优惠金额为130元，则王先生购物实际付款（    ）． A．1270元 B．1440元 C．1350元 D．1250元 2.《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资､薪金所得不超过5000元的部分不必纳税，超过5000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算： 全月应纳税所得额 税率 不超过3000元的部分 超过3000元至12000元的部分 超过12000元至25000元的部分 有一智能公司员工十月份工资､薪金所得18000元，则该员工十月份应缴纳个税为（    ）元. A．990 B．1190 C．1490 D．2190 3.2025年9月3日，北京天安门广场举行盛大阅兵仪式.此次阅兵以庄严姿态，向世界传递了中国人民对抗战历史的铭记，对和平的珍视以及对人类美好未来的追求.在排练演习过程中，某队伍长，以速度匀速前进，排尾的传令兵因传达命令赶赴排头，到达排头后立即返回，往返速度均为.则当传令兵回到排尾时，全队正好前进了，则传令兵回到排尾时所走的路程为（   ） A． B． C． D． 4.某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x（万元）与药品利润y（万元）存在的关系为（α为常数），其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为（    ） A．115万元 B．120万元 C．125万元 D．130万元 5. 2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10万元．若要实现2024年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为（参考值：）（    ） A．10% B．20% C．22% D．32% 6.遗忘曲线（又称“艾宾浩斯遗忘曲线”）是由德国心理学家艾宾浩斯（H．Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率y与初次记忆经过的时间x（单位：时）的大致关系：，若陈同学需要在明天15：00考语文时拥有复习背诵记忆的42%，则他明天复习背诵的时间需大约在（    ）参考数据： ，． A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00 7.数学建模，就是根据实际问题建立数学模型，对数学模型进行求解，然后根据结果去解决实际问题．小明和他的数学建模小队现有这样一个问题：提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，那么，怎样才可以提高呢？我们理想化地建立这样一个关系，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明，当[20,200]时，车流速度v是车流密度x的一次函数．问：当车流密度多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大？（ ） A．60 B．100 C．200 D．600 8.（多选题）某企业生产一种机器的固定成本为万元，但每生产台时又需可变成本万元，市场对此商品的年需求量为台，销售收入函数为(万元) ，其中是产品的年产量单位：百台，则下列说法正确的是（    ） A．利润表示为年产量的函数为 B．当年产量为台时企业所得的利润最大，为万元 C．当年产量(单位：百台时，企业不亏本 D．企业不亏本的最大年产量为台 9.（多选题）形如的函数，我们称之为“对勾函数”.“对勾函数”具有如下性质：该函数在上单调递减，在上单调递增.已知函数在区间上的最大值比最小值大，则实数a的值可以是（ ） A．2 B．14 C． D． 10.（填空题）随着市场需求和消费习惯的转变，摆摊创业正吸引着越来越多创业者．小李打算批发某种水果摆摊售卖，设他进货总费用（百元）与进货量（单位：百斤）之间的关系为（为常数），若满足“随着进货量的增大，水果每斤的平均价格逐渐减小”，则的取值范围为___________． 11.（填空题）某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9 平方米，且高度不低于米．记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米．要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x＝__________米． 12．某企业生产两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图1；产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润和投资单位：万元）. (1)分别将两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入两种产品的生产. （ⅰ）若平均投入生产两种产品，可获得多少利润? （ⅱ）问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元? 13．（解答题）为了节能减排，某企业决定安装一个可使用年的太阳能供电设备，并接入本企业的电网.安装这种供电设备的费用（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：平方米）成正比，比例系数为.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费（单位：万元） 与安装的这种太阳能电池板的面积（单位：平方米）之间的函数关系是（为常数）.已知太阳能电池板面积为平方米时，每年消耗的电费为万元，记（单位：万元）为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业年所消耗的电费之和. (1)求常数的值； (2)写出的解析式； (3)当为多少平方米时，取得最小值?最小值是多少万元? 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.4 函数的应用 【知识点归纳】 一、一次、二次函数模型 1、一次函数的一般形式：，其定义域是R，值域是R． 2、二次函数的一般形式：其定义域为R． 若，则二次函数在时有最小值； 若，则二次函数在时有最大值． 二、分段函数模型：由于分段函数在不同区间上具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化前后的实际问题中应用. 三、幂函数模型 (1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式. (2)根据题意，直接列出相应的函数关系式. 四、对勾函数模型： 1、对勾函数是由正比例函数f(x)＝ax与反比例函数f(x)＝叠加而成的． 解析式 一般式：(以、为例) 图象：（因其图象类似于耐克标志，所以也称耐克函数、双刀函数） 性质： (1)定义域：； (2)奇偶性：奇函数； (3)单调区间：单调递增区间：，， 单调递减区间：，； (4)值域：， (5)最值当且仅当，即时取最大、最小值。 （6）对称中心（0,0） （7）渐近线 y=ax和x=0 2、解决实际问题时可以直接建立f(x)＝ax＋的模型，有时可以将所列函数转化为f(x)＝ax＋的形式．f(x)＝ax＋求解最值，注意自变量的范围，取得最值时等号成立的条件． 五、抽象函数 1、正比例函数型： ---------------； 2、幂函数型： --------------，； 如已知是定义在R上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T，则0 六、解决实际应用问题的步骤： 1、审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型. 2、建模：将自然语言转化为数学语言，建立相应的函数模型. 3、求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解. 4、还原：应用问题既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果 要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答. 【典型例题】 例1.某科技企业为增加产能，第1年年初投入560万元购买了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前年的材料费、维修费、人工工资等共万元，该台设备可使该企业每年的销售收入为360万元，设使用该设备前年的总盈利额为万元. (1)写出关于的函数关系式，并计算该设备从第几年开始使企业盈利； (2)若第3年年初企业再投入560万元购买了一台该设备，该设备使用第年与第1台设备使用第年的材料费、维修费、人工工资等一样，且该台设备同样可使该企业每年的销售收入为360万元，若，求这两台设备的年平均盈利额最大时的值. 【答案】(1)，从第3年开始盈利 (2)7 【分析】（1）根据利润=销售收入-总成本求出，再解一元二次不等式可得答案； （2）先求出前年的总盈利再求出，结合双勾函数的性质即可得结果. 【解析】（1）由题意得， 令，得，而， 所以该设备从第3年开始使企业盈利. （2）当时，第 1 台设备使用了年，第 2 台设备使用了年， 前年的总盈利为 ， 则年平均盈利额， 由双勾函数的性质可得在上单调递增，在上单调递减， 当时，，当时，，而， 所以当时，取得最大值， 这两台设备的年平均盈利额最大时. 【变式1】　学校某研究性学习小组在对学生上课时注意力集中情况的调查研究中，发现在40min的一节课中，学生的注意力指数y与听课时间x（单位：min）之间的关系满足如图所示的图象．当时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点，点，当时，图象是线段BC，其中点．    (1)当时，求注意力指数y与听课时间x的函数关系式； (2)根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳．要使得学生学习效果最佳，求老师安排核心内容的时间段（结果用区间表示）． 【答案】(1)； (2)在时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳，理由见解析. 【分析】（1）当时，利用二次函数顶点式求得函数解析式. （2）利用分段函数解不等式，由此求得学习效果最佳的时间段. 【解析】（1）当时，设，而点在该二次函数图象上， 则，解得， 所以所求函数关系为. （2）当时，设，由线段过点、， 得，解得，则， 依题意，，则由（1）得，当时，或当时，， 解得或，因此， 所以老师就在时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳. 例2.党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，现在准备从单一产品转为生产、两种产品，根据市场调查与市场预测，生产产品的利润与投资成正比，其关系如图①；生产产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）． (1)分别求出生产、两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)该企业已筹集到12万元资金，并全部投入、两种产品的生产，问：怎样分配这12万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)， (2)产品投入万元，产品投入万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是万元. 【分析】（1）由题设，，根据图象上数据得解； （2）列出企业利润的函数解析式，利用换元法求得函数最值得解. 【解析】（1）设投资为万元，产品的利润为万元，产品的利润为万元 由题设，， 由图知，故，又，所以． 从而，． （2）设产品投入万元，则产品投入万元，设企业利润为万元， 则， 令，则，所以， 当时，，此时. 故产品投入万元，产品投入万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是万元 【变式2】为了提升某水域的生态环境，科研人员于2020年初在该水域投放一种微生物，投放量为1个单位数量．这种微生物在开始的4年内繁殖速度越来越快，随后越来越慢，设投放年后这种微生物的数量为个单位．已知与的关系拟合后的分段函数的图象如图所示：①；②；③. (1)请从中选择并求合适的两个确定关于的函数解析式，并说明理由； (2)求该水域生态环境最佳的时长.（注：微生物的数量在个单位之间生态环境最佳） 【答案】(1)解析式为①和② (2)时长为 【分析】（1）根据函数图象并结合已有模型性质，根据增减性可判断选择①②，再代入点的坐标求得参数值即可得出解析式； （2）由生态环境最佳的标准得出不等关系解不等式，即可得出结论. 【解析】（1）易知模型③在上单调递减，因此可排除； 因为这种微生物在开始的年内繁殖速度越来越快，根据二次函数性质可得①符合题意； 又随后越来越慢，由幂函数性质可得②符合题意； 因此在时，， 当时，； 结合图象可知经过点、； 即，解得，即； 函数经过点、， 即，解得，即； 因此符合题意的两函数解析式为①和②. （2）因为微生物的数量在个单位之间生态环境最佳， 当时，令，解得； 当时，令，解得； 综上可得，当时，满足题意； 因此该水域生态环境最佳的时长为. 例3.定义在上的函数满足下面三个条件： ①对任意正数，都有；② 当时，；③ （1）求和的值； （2）试用单调性定义证明：函数在上是减函数； （3）求满足的的取值集合． 【解析】（1）得，则， 而， 且，则； （2）取定义域中的任意的，，且，， 当时，，， ， 在上为减函数． （3）由条件①及（1）的结果得，， ， ，，解得， 故的取值集合为. 【变式3】函数的定义域为，且对任意，都有，且，当时，有. （1）求，的值； （2）判断的单调性并加以证明； （3）求在，上的值域. 【解析】（1）可令时，=-； 令，可得f（2）=f（4）-f（2），即f（4）； （2）函数在上为增函数. 证明：当时，有， 可令，即有，则， 可得，则在上递增； （3）由在上为增函数，可得在递增， 可得为最小值，为最大值， 由=-+1，可得，则的值域为. 【练习】（1-7单选题） 1.某商场“国庆节”期间搞促销活动，规定：如果顾客购物的总金额不超过500元，不享受折扣优惠；如果顾客的购物总金额超过500元，那么超过500元的部分享受折扣优惠，折扣优惠按下表计算． 享受折扣的购物金额 折扣优惠 超过500元不超过1000元的部分 10％ 超过1000元的部分 20％ 王先生在商场获得的折扣优惠金额为130元，则王先生购物实际付款（    ）． A．1270元 B．1440元 C．1350元 D．1250元 【答案】A 【解析】设顾客购物总金额为元，购物实际付款为元， 当时，； 当时，，优惠金额； 当时，， 优惠金额为， 而王先生在商场获得的折扣优惠金额为130元，，因此， 解得，所以王先生购物实际付款（元）. 故选：A 2.《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资､薪金所得不超过5000元的部分不必纳税，超过5000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算： 全月应纳税所得额 税率 不超过3000元的部分 超过3000元至12000元的部分 超过12000元至25000元的部分 有一智能公司员工十月份工资､薪金所得18000元，则该员工十月份应缴纳个税为（    ）元. A．990 B．1190 C．1490 D．2190 【答案】B 【解析】收入是18000元，根据缴纳个税规定分四段， 第一段5000元不缴税； 第二段3000元缴税为； 第三段9000元缴税为； 第四段1000元缴税为； 所以该职工10月份应缴纳个税为：元 故选：B. 3.2025年9月3日，北京天安门广场举行盛大阅兵仪式.此次阅兵以庄严姿态，向世界传递了中国人民对抗战历史的铭记，对和平的珍视以及对人类美好未来的追求.在排练演习过程中，某队伍长，以速度匀速前进，排尾的传令兵因传达命令赶赴排头，到达排头后立即返回，往返速度均为.则当传令兵回到排尾时，全队正好前进了，则传令兵回到排尾时所走的路程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当传令兵回到排尾时所用时间为， 由题意，则，解得， 因为全队正好前进了，即，所以传令兵回到排尾时所走的路程为. 故选：A. 4.某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x（万元）与药品利润y（万元）存在的关系为（α为常数），其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为（    ） A．115万元 B．120万元 C．125万元 D．130万元 【答案】C 【分析】根据已知代入求解得出解析式，再计算求解. 【解析】由已知投入广告费用为3万元，药品利润为27万元，代入中，得，解得， 故函数解析式为，所以当时，． 故选：C. 5. 2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10万元．若要实现2024年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为（参考值：）（    ） A．10% B．20% C．22% D．32% 【答案】B 【分析】设年平均增长率为，依题意列方程求即可. 【解析】由题意，设年平均增长率为，则， 所以，故年平均增长率为20%. 故选：B 6.遗忘曲线（又称“艾宾浩斯遗忘曲线”）是由德国心理学家艾宾浩斯（H．Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率y与初次记忆经过的时间x（单位：时）的大致关系：，若陈同学需要在明天15：00考语文时拥有复习背诵记忆的42%，则他明天复习背诵的时间需大约在（    ）参考数据： ，． A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00 【答案】A 【解题思路】利用函数模型求出需要记忆的时间，即可推断出考前复习背诵的时间在几点开始. 【解答过程】令，则． ∵，，， ∴的估计值可取0.5，即他复习背诵的时间需大约在． 故选：A. 7.数学建模，就是根据实际问题建立数学模型，对数学模型进行求解，然后根据结果去解决实际问题．小明和他的数学建模小队现有这样一个问题：提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，那么，怎样才可以提高呢？我们理想化地建立这样一个关系，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明，当[20,200]时，车流速度v是车流密度x的一次函数．问：当车流密度多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大？（ ） A．60 B．100 C．200 D．600 【答案】B 【分析】首先求得分段函数的解析式，然后分类讨论求解不等式即可确定车流密度的取值． 【解析】解：当时，设，则，解得 于是 设车流量为q，则 当时，,此时，函数在区间上是增函数，恒有； 当时，，此时函数在区间上是增函数，在区间是减函数， 因此恒有，等号成立当且仅当； 综上所述，当时，函数取得最大值，即车流量最大，最大值约为3333辆． 故选：B． 8.（多选题）某企业生产一种机器的固定成本为万元，但每生产台时又需可变成本万元，市场对此商品的年需求量为台，销售收入函数为(万元) ，其中是产品的年产量单位：百台，则下列说法正确的是（    ） A．利润表示为年产量的函数为 B．当年产量为台时企业所得的利润最大，为万元 C．当年产量(单位：百台时，企业不亏本 D．企业不亏本的最大年产量为台 【答案】BC 【分析】根据题意列出分段函数解析式判断A，分段函数分段求最值再比较判断B，令，解分段函数不等式即可判断CD. 【解析】对A，当时，；当时，； 故，A错误； 对B，当时，，故当时，取到最大值； 当时，，故当年产量为475台时年利润最大，最大为万元，B正确； 对C、D，不亏本即，当时，，解得； 当时，，解得； 故时，企业才不亏本，企业不亏本的最大年产量为4800台，故C正确，D错误. 故选：BC. 9.（多选题）形如的函数，我们称之为“对勾函数”.“对勾函数”具有如下性质：该函数在上单调递减，在上单调递增.已知函数在区间上的最大值比最小值大，则实数a的值可以是（ ） A．2 B．14 C． D． 【答案】AC 【分析】根据题设“对勾函数”的性质讨论参数a的范围，结合最值之差列方程求参数，即可得答案. 【解析】由题意，若时，有，可得，满足； 若时，有： ，则，可得，不满足； ，则，可得（舍）或， 所以，此时，满足； 若时，有，可得，不满足； 综上，或. 故选：AC 10.（填空题）随着市场需求和消费习惯的转变，摆摊创业正吸引着越来越多创业者．小李打算批发某种水果摆摊售卖，设他进货总费用（百元）与进货量（单位：百斤）之间的关系为（为常数），若满足“随着进货量的增大，水果每斤的平均价格逐渐减小”，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】由题意，水果每斤的平均价格为， 因为随着进货量的增大，水果每斤的平均价格逐渐减小， 所以函数在上单调递减， 所以，解得， 则的取值范围为. 故答案为：. 11.（填空题）某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9 平方米，且高度不低于米．记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米．要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x＝__________米． 解析：设横段面的高为h， 根据题意知，9＝(AD＋BC)h， 其中AD＝BC＋2·＝BC＋x，h＝x， 所以9＝(2BC＋x)·x， 得BC＝－， 由得. 所以y＝BC＋2x＝＋()，y＝＋2 ＝6， 当且仅当＝，即x＝2时取等号．故所求防洪堤的腰长为2米． 12．某企业生产两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图1；产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润和投资单位：万元）. (1)分别将两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入两种产品的生产. （ⅰ）若平均投入生产两种产品，可获得多少利润? （ⅱ）问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元? 【答案】(1)， (2)（i）万元；（ii）当A，B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元 【解析】（1）设两种产品分别投资x万元，x万元，， 所获利润分别为万元、万元. 由题意可设，. 过点，则，则， 过点，则，解得，则， 故.. （2）（ⅰ）由（1）得，. 所以总利润万元. （ⅱ）设产品投入x万元，产品投入万元，该企业可获总利润为y万元. 则，. 令，，则. 所以当时，，此时，. 所以当两种产品分别投入2万元、16万元时， 可使该企业获得最大利润，约为8.5万元. 13．（解答题）为了节能减排，某企业决定安装一个可使用年的太阳能供电设备，并接入本企业的电网.安装这种供电设备的费用（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：平方米）成正比，比例系数为.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积（单位：平方米）之间的函数关系是（为常数）.已知太阳能电池板面积为平方米时，每年消耗的电费为万元，记（单位：万元）为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业年所消耗的电费之和. (1)求常数的值； (2)写出的解析式； (3)当为多少平方米时，取得最小值?最小值是多少万元? 【答案】(1) (2) (3)当为平方米时，取得最小值，最小值是万元 【解析】（1）依题意得，，所以，解得，故的值为. （2）依题意可知，又由（1）得，， 当时， ， 当时，， 所以. （3）当时，， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以； 当时， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以； 又，故. 答：当为平方米时，取得最小值，最小值是万元. 学科网（北京）股份有限公司 $