3.1 函数概念及其表示 专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以函数概念为核心，系统整合定义、三要素、表示法及解析式求法，通过“知识点归纳+典例变式”构建“概念-方法-应用”逻辑链，强化数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点归纳|1个模块|换元法、配凑法、待定系数法、方程组法，含易错点|从函数定义到三要素，延伸至分段/抽象/复合函数，形成概念生成-性质分析-表示方法的递进链条| |典型例题|9个典例+变式|函数概念辨析、定义域求解（具体/抽象）、解析式求法等题型对应解法|典例覆盖核心考法，变式拓展难度，实现“基础-中档-综合”能力层级提升|

3.1 函数的概念及其表示同步练习 【知识点归纳】 1.函数：设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，xA. 2. 函数三要素 ：定义域: x的取值范围A; 值域: 与x的值相对应的y值叫做函数值，{f(x)|xA}叫做函数的值域,A是B的子集 对应法则:y=f(x)，xA. 3. 常见函数 （1） 初等函数7种：一次函数、二次函数、反比例函数、（本册还有指数函数、对数函数、幂函数、三角函数.） （2） 常数函数 （3）分段函数定义：函数y=f(x)在定义域上不同范围内的自变量有不同的对应关系，则函数y=f(x)称为分段函数. 注意：分段函数的定义域是各段范围的并集，值域为各段上值域的并集. （4）分段函数的常见的几种类型 ①取整函数：（表示不大于的最大整数）． ② ③含绝对值符号的函数，如 ④自定义函数，如 4.函数的表示法 (1)解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.(2)列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系.(3)图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 注：并不是所有的函数都可以用解析式表示，图象法也不适用于所有函数，如D(x)＝ 5.抽象函数与复合函数 (1)抽象函数的概念：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数． (2)复合函数的概念：若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当CA时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数. 6.函数解析式求法(1)换元法：设，解出，代入，求的解析式即可.注意换元时t的取值范围. (2)配凑法：对的解析式进行配凑变形，使它能用表示出来，再用代替两边所有的“”即可. (3)待定系数法：若已知函数的类型，求解析式时，用待定系数法.先设出它的一般形式，根据条件确定相关的系数即可. (4)方程组法(或消元法)：当题目中出现和，与 的关系式时，经常通过构造方程组来求解. 易错点：写解析式时，忘记注明定义域. 【典型例题】 例1．（单选题）下列图象中，可以表示函数的为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（单选题）中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，设集合，，则下列图象能表示集合到集合的函数关系的是（     ） A．   B．     C．   D．   例2已知，x∈R． （1） 求； （2）求； （3）计算的值； 【变式2】已知（x∈R，且），（x∈R）． （1）求，的值； （2）求，的值； （3）求的表达式． 例3 已知，求的值． 【变式3】（单选题）设，若，则等于（   ） A． B． C．或 D． 例4.下列函数中，哪一个与函数表示同一个函数（ ） A. B. C. D. 【变式4】（单选题）下列四组函数中，有相同图象的一组是（ ） A．， B． C． D． 例5求下列函数的定义域（具体函数型） （1） （2） （3） （4） 【变式5】（填空题）求下列函数的定义域 （1）函数的定义域是 . （2）函数的定义域是___________. 例6.求定义域（抽象函数型） （1）若函数的定义域为，则函数的定义域为______. （2）若函数=的定义域为，则函数的定义域是__________ 【变式6】（1）（单选题）若函数的定义域是，则函数的定义域是（　　） A． B． C． D． （2）（单选题）函数的定义域为，函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 例7.（填空题）已知函数的定义域为，则的取值范围是______________. 【变式7】（填空题）若函数定义域为R，则k的取值范围？ 例8.（解答题）用长为L的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架，如图，若矩形底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并求定义域。 【变式8】（解答题）将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，并求函数的定义域. 例9.（1）已知,求的解析式 （2）已知，求的解析式 （3）已知函数，求函数的解析式 （4）已知是一次函数，且，求的解析式. （5）已知函数满足，求的解析式. 【变式9-1】已知是一次函数，，且，函数满足，则（ ） A． B． C． D． 【变式9-2】已知是二次函数，且，，，则的解析式为 ． 【变式9-3】．已知函数满足，则函数的解析式为 【变式9-4】求下列函数的解析式：已知函数满足：； 【变式9-5】求下列函数的解析式：已知函数满足： ( 27 ) ( 25 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【练习】（1-7单选题） 1．下列y关于x的关系不是函数关系的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，则（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．函数f(x)在区间[－2，5]上的图象如下图所示，则此函数的最小值、最大值分别是（    ）    A．－2，f（2） B．2，f（2） C．－2，f(5) D．2，f(5) 4.已知函数，若，则（    ） A． B． C．2 D．0 5.已知函数，且，则（    ） A． B． C．1 D． 6已知函数的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 7．已知定义在上的函数满足：，且，则（    ） A．9 B．25 C．15 D．24 8．（多选题）下列四组函数：① ；② ；③； ④；其中表示同一函数的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 9．（多选题）已知函数的值域为，则的定义域可能为（    ） A． B． C． D． 10.（填空题）（1）若函数的定义域为，则函数的定义域为______. （2）若函数=的定义域为，则函数的定义域是__________ （3）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_______ 11.（填空题）函数的定义域为R，求a的取值范围. 12.（解答题） 已知函数的定义域是R，求实数k的取值范围。 13．（解答题）若对任意实数成立， 求（1）（2） （3） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1 函数的概念及其表示同步练习 【知识点归纳】 1.函数：设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，xA. 2. 函数三要素 ：定义域: x的取值范围A; 值域: 与x的值相对应的y值叫做函数值，{f(x)|xA}叫做函数的值域,A是B的子集 对应法则:y=f(x)，xA. 3. 常见函数 （1） 初等函数7种：一次函数、二次函数、反比例函数、（本册还有指数函数、对数函数、幂函数、三角函数.） （2） 常数函数 （3）分段函数 定义：函数y=f(x)在定义域上不同范围内的自变量有不同的对应关系，则函数y=f(x)称为分段函数. 注意：分段函数的定义域是各段范围的并集，值域为各段上值域的并集. （4）分段函数的常见的几种类型 ①取整函数：（表示不大于的最大整数）． ② ③含绝对值符号的函数，如 ④自定义函数，如 4.函数的表示法(1)解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.(2)列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系.(3)图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 注：并不是所有的函数都可以用解析式表示，图象法也不适用于所有函数，如D(x)＝5.抽象函数与复合函数 5.(1)抽象函数的概念：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数． (2)复合函数的概念：若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当CA时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数. 6.函数解析式求法(1)换元法：设，解出，代入，求的解析式即可.注意换元时t的取值范围. (2)配凑法：对的解析式进行配凑变形，使它能用表示出来，再用代替两边所有的“”即可. (3)待定系数法：若已知函数的类型，求解析式时，用待定系数法.先设出它的一般形式，根据条件确定相关的系数即可. (4)方程组法(或消元法)：当题目中出现和，与 的关系式时，经常通过构造方程组来求解.易错点：写解析式时，忘记注明定义域. 【典型例题】 例1．（单选题）下列图象中，可以表示函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】选项A，C，D的函数图象中存在x，对应多个不同的函数值，故不可以表示函数，故B正确. 故选：B. 【变式1】（单选题）中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，设集合，，则下列图象能表示集合到集合的函数关系的是（     ） A．   B．     C．   D．   【答案】A 【分析】根据给定条件，利用函数定义及表示法逐项判断得解. 【解析】对于A，由图象法表示函数，且该图象符合函数的定义，A正确； 对于B，集合中大于2且小于等于4的数，在集合中没有元素与之对应，不符合函数定义，B错误； 对于C，集合中存在元素，在中与之对应的元素不唯一，如时，对应值有2个，C错误； 对于D，集合中存在元素，在中与之对应的元素不唯一，且的范围不对，D错误. 故选：A 例2已知，x∈R． （1） 求； （2）求； （3）计算的值； 【答案】（1） （2） （3）1 【变式2】已知（x∈R，且），（x∈R）． （1）求，的值； （2）求，的值； （3）求的表达式． 【答案】 例3 已知，求的值． 【答案】 π+1 注意：（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 【变式3】（单选题）设，若，则等于（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【解析】当时，由，解得（舍去）， 当时，由，可得，解得（舍去）或， 当时，由，可得（舍去）， 综上所述，. 故选：A. 例4.下列函数中，哪一个与函数表示同一个函数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】判断两个函数为同一个函数： (1)看两函数的定义域和对应关系是否相同，若两者都相同，则为同一个函数， 若定义域和对应关系有一个不相同就不是同一个函数. (2) 若两个函数为同一个函数，则它们的值域一定相同，反之则不然，即若两函数的定义域与值域都相同，则它们也不一定是同一个函数. (3)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的. (4)在化简解析式时，必须是等价变形. 【解析】与定义域不同，A错误；与定义域不同，B错误；与值域不同，故选 C. 【变式4】（单选题）下列四组函数中，有相同图象的一组是（ ） A．， B． C． D． 【答案】 C 【解析】两者定义域不同，A错误、B错误、D错误，故选 C. 例5求下列函数的定义域（具体函数型） （1） （2） （3） （4） 解: （1） 使函数有意义，则 所以函数的定义域是 （2） 使函数有意义，则 解得 所以函数的定义域是 （3） 使函数有意义，则 解得 所以 函数的定义域是 （4） 使函数 有意义，则 解得 所以函数的定义域是 总结:（1）分式的分母不为零； （2）偶次方根的被开方数大于或等于零： （3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； （4）零次幂或负指数次幂的底数不为零； （6）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域．如果函数是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合。 【变式5】（填空题）求下列函数的定义域 （1）函数的定义域是 . 【答案】 【解析】由，解得且， 所以函数的定义域是. 故答案为： （2）函数的定义域是___________. 【答案】 【解析】由题意知，解得且，所以定义域为. 例6.求定义域（抽象函数型） （1）若函数的定义域为，则函数的定义域为______. 【答案】. 【解析】由，得 的定义域为. （2）若函数=的定义域为，则函数的定义域是__________ 【答案】 【解析】因为=的定义域为，所以，所以函数=的定义域是. （3）已知函数的定义域为，则的定义域是__________ 【答案】 【解析】由函数的定义域为，得此式中，所以， 因此在函数中，，解得：， 所以函数的定义域为. 总结：抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。 总结：（1）已知的定义域，求的定义域。 解法：已知的定义域是［a，b］求的定义域是解， 即为所求的定义域。 （2）已知的定义域，求的定义域。 解法：已知的定义域是［a，b］，求定义域的方法是：由，求的值域，即所求的定义域。 注：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同. 【变式6】（单选题）（1）若函数的定义域是，则函数的定义域是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用抽象函数的定义域列式求解. 【解析】函数的定义域是，则在函数中，，解得且， 所以所求定义域为. 故选：C （2）（单选题）函数的定义域为，函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的定义域为，即，则， 的定义域为， 需满足，解得且， 的定义域为，故C正确．故选：C． 例7.（求参数）已知函数的定义域为，则的取值范围是______________. 【答案】 【解析】 总结：已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决；对于含参数的函数，求定义域时，必须对分母分类讨论。 【变式7】（填空题）若函数定义域为R，则k的取值范围？ 【答案】 【解析】因为函数的定义域为R，所以在R上恒成立， 所以在R上恒成立. 当时，符合题意； 当时，，解得. 综上，实数的取值范围是 例8（实际问题型） 用长为L的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架，如图，若矩形底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并求定义域。 总结：建立实际问题的函数式，首先要选定变量，而后寻找等量关系，求函数的解析式，但要根据实际问题确定定义域。这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制。 【变式8】（解答题）将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，并求函数的定义域. 【解析】 例9.（1）已知,求的解析式 【解析】 （配凑法）　，又∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)， ∴ （2）已知，求的解析式 【解析】（换元法）①令t=，得到x=， ∵x≠1且x≠1∴t≠1且t≠0， ∴且t≠0) ∴且x≠1) （3）已知函数，求函数的解析式 【解析】, 令则，且 ， ， （4）已知是一次函数，且，求的解析式. 【解析】（待定系数法）设，则， 得，解得或. 因此，或. （5）已知函数满足，求的解析式. 【解析】（解方程组法）因为①，所以用替换， 得 ( 27 ) ( 25 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式9-1】已知是一次函数，，且，函数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用待定系数法，结合已知方程组可得，再由换元法代入计算可得，可得出结论. 【解析】依题意可设， 由可得， 因此可得，解得或； 又因为，所以，即，即A正确，B错误； 又可得， 令，所以，因此， 所以，可得C错误，D错误. 故选：A. 【变式9-2】已知是二次函数，且，，，则的解析式为 ． 【答案】 【分析】设，结合题设条件可得关于参数的方程组，求出其解后可得函数解析式. 【解析】设， 根据题意得，解得， 所以 ． 故答案为：． 【变式9-3】．已知函数满足，则函数的解析式为 【答案】 【分析】应用方程组法计算求解解析式. 【解析】因为函数满足， 所以，解得. 故答案为： 【变式9-4】求下列函数的解析式：已知函数满足：； 【答案】 【分析】由配凑法求解即可； 【解析】因为， 因为，所以； 【变式9-5】求下列函数的解析式：已知函数满足：； 【答案】 【分析】由配凑法求解即可； 【解析】因为定义在上的函数满足①， 所以②， 由①②，得， 所以. 【练习】（1-7单选题） 1．下列y关于x的关系不是函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义可判断ABC中的关系为函数关系，D中的关系不是函数关系. 【解析】对于A，因为，所以该关系是函数关系； 对于B，当取值时有唯一的值对应，所以该关系是函数关系； 对于C，因为任意的x值，有唯一的y值与之对应，所以该关系是函数关系； 对于D，因为当时，有两个值与之对应，所以该关系不是函数关系． 故选：D． 2．已知，则（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】 A 3．函数f(x)在区间[－2，5]上的图象如下图所示，则此函数的最小值、最大值分别是（    ）    A．－2，f（2） B．2，f（2） C．－2，f(5) D．2，f(5) 【答案】C 【分析】找到图象的最高点和最低点即可找出最大值和最小值. 【解析】根据图象，由函数最值的几何意义知，当x＝－2时，有最小值－2；当x＝5时，有最大值f(5).故选：C. ( 27 ) ( 25 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 4.已知函数，若，则（    ） A． B． C．2 D．0 【答案】A 【分析】根据函数值列式，求自变量的值即可. 【解析】根据题意：. 故选：A 5.已知函数，且，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B【分析】应用赋值法已知函数值求自变量即可. 【详解】 令，解得， 所以. 故选：B. 6已知函数的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由. 所以函数的定义域为. 故选：C 7．已知定义在上的函数满足：，且，则（    ） A．9 B．25 C．15 D．24 【答案】D 【解析】由可得： ，，，，， 累加可得：，又， 得：，相加可得：，所以， 故选：D. 8．（多选题）下列四组函数：① ；② ；③； ④；其中表示同一函数的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B,C 【解析】对于①，函数的定义域为，函数的定义域为， 其定义域不同，所以不是同一函数，故错误； 对于②，函数，两个函数定义域都是， 对应法则也一样，是同一函数，故正确； 对于③，函数， 两个函数定义域和对应法则一样，是同一函数，故正确； 对于④，函数的定义域为，函数定义域为， 两个函数定义域不一样，不是同一函数，故错误. 故选：B,C. 9．（多选题）已知函数的值域为，则的定义域可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】令，解得， 令，解得， 根据的图象关于轴对称的性质， 可得的定义域可能为，或，故B、C、D正确. 故选：BCD. 10.（填空题）（1）若函数的定义域为，则函数的定义域为______. （2）若函数=的定义域为，则函数的定义域是__________ （3）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_______ （1） 【答案】 【分析】由题意结合复合函数定义域相关知识可得答案. 【解析】因定义域为：，则的定义域满足：， 解得：，即定义域为：. （2） 【答案】[-1,5] 【解析】因定义域为：，则 即 函数的定义域是[-1,5] （3） 【答案】 【分析】先求解出的取值范围，然后根据括号内的整体范围相同可求的定义域. 【解析】因为的定义域为，所以中， 所以， 在中令，解得， 所以的定义域为. 11.函数的定义域为R，求a的取值范围_______ 【答案】 (0,4) 【解析】 12.（解答题） 已知函数的定义域是R，求实数k的取值范围。 【答案】 【解析】 13． （解答题）若对任意实数成立， 求（1）（2） （3） 【答案】（1）（2）（3） 【分析】根据函数等式对进行赋值，即可求得答案. 【解析】因为对任意实数成立， 令，则，所以， 令，则，所以， 令则；令， 则； 令，则有，依此类推有， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $