寒假作业04函数概念及其表示-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

寒假作业04 函数概念及其表示 要点回顾 知识点1 函数的概念 1.函数的概念 概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y=f(x)，x∈A 定义域 x的取值范围A 值域 与x的值相对应的y值的集合{f(x)|x∈A} 2.求函数的定义域与值域 (1)求定义域的依据：分式的分母不为0，偶次根式的被开方数非负，0次幂的底数不为0等，如果解析式中含有多个式子，则定义域是使得各式子都有意义的数的集合.另外，在实际问题中函数的定义域，要考虑实际意义. (2)抽象函数的定义域 ①若函数f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域即为不等式a≤g(x)≤b的解集. ②若函数f(g(x))的定义域为[c，d]，则f(x)的定义域即为g(x)在[c，d]上的值域. 3.求简单函数的值域的方法 (1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到. (2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法. (3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域. (4)换元法：对于一些无理函数(如y=ax±b±)，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域. 4.同一个函数的判断 判断两个函数为同一个函数的注意点： (1)判断两个函数是否为同一个函数，就是看两函数的定义域和对应关系是否相同，若两者都相同，则为同一个函数，若定义域和对应关系有一个不相同就不是同一个函数. (2) 若两个函数为同一个函数，则它们的值域一定相同，反之则不然，即若两函数的定义域与值域都相同，则它们也不一定是同一个函数. (3)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的. (4)在化简解析式时，必须是等价变形. 知识点2 函数的表示法 函数的表示法有三种，分别是解析法、列表法、图象法 表示法 概念 优缺点 解析法 用解析式表示两个变量之间的对应关系 能简明全面地概括两个变量间的对应关系，也可以通过解析式求出任何一个变量的函数值；但是缺乏直观 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 不需计算即可直接看出表格中自变量的函数值；但表格外的数据没法求解 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 能直观形象地表示随着自变量的变化，相应函数值的变化趋势；但是作图法得到的函数值未必准确 知识点3 函数的解析式 求函数解析式的四种常用方法 (1)换元法：设t=g(x)，解出x，代入f(g(x))，求f(t)的解析式即可.注意换元时t的取值范围. (2)配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可. (3)待定系数法：若已知函数f(x)的类型，求解析式时，用待定系数法.先设出它的一般形式，根据条件确定相关的系数即可. (4)方程组法(或消元法)：当题目中出现f(x)和f(-x)，f(x)与f 的关系式时，经常通过构造方程组来求解. 注意：写解析式时，应注明定义域. 知识点4 分段函数 1.定义：函数y=f(x)在定义域上不同范围内的自变量有不同的对应关系，则函数y=f(x)称为分段函数. 注意点： 分段函数的定义域是各段范围的并集，值域为各段上值域的并集. 2.分段函数的常见的几种类型 （1）取整函数：（表示不大于的最大整数）． （2） （3）含绝对值符号的函数，如 （4）自定义函数，如 题型巩固练 一、题型一 函数的概念 1．下列从集合到集合的对应关系中，是的函数的是（ ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 2．下列y关于x的关系不是函数关系的是（   ） A． B． C． D． 3．下列各组函数中，是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 4．已知函数． (1)求； (2)若，求的值． 二、题型二 函数定义域 5．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 7．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 8．函数的定义域是 . 三、题型三 函数值求自变量 9．已知函数，且，则（    ） A． B． C．1 D． 10．已知函数，且，则（   ） A． B．26 C． D．18 11．设，若，则等于（   ） A． B． C．或 D． 四、题型四 函数解析式 12．已知是一次函数，，且，函数满足，则（ ） A． B． C． D． 13．已知是二次函数，且，，，则的解析式为 ． 14．已知函数满足，则函数的解析式为 15．求下列函数的解析式： (1)已知函数满足：； (2)已知一次函数在上满足：； (3)已知函数满足：. 五、题型五 函数值域 16．下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是（　　） A． B． C． D． 17．已知函数满足且， （    ） A．682 B．684 C．686 D．688 18．函数的值域为 ． 19．求下列函数的值域： (1)； (2). 能力提升练 一、单选题 1．已知函数，则的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 2．下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．若函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 4．若函数，则（   ） A．506 B．1024 C．1012 D．2024 5．已知定义域为的函数，若对任意，存在正数，都有成立，则称函数是上的“有界函数”.已知下列函数：（1）；（2）（表示不大于的最大整数）；（3）；（4）.其中“有界函数”的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 6．下列命题中，正确的有（    ） A．函数与函数表示同一个函数 B．函数的值域为 C．函数的图象与直线最多有一个交点 D．已知，对应关系可以构成关于的函数 7．已知函数的值域为，则的定义域可能为（    ） A． B． C． D． 8．若对任意实数成立，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．已知，且，则 . 20．函数的最大值为 . 11．函数的值域为 . 四、解答题 12．（1）已知，求的解析式． （2）已知是一次函数，并且，求． （3）函数满足方程，且，求． 13．已知函数    (1)在所给坐标系中，画出的图象. (2)求，的值. (3)若，，，求. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 寒假作业04 函数概念及其表示 要点回顾 知识点1 函数的概念 1.函数的概念 概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y=f(x)，x∈A 定义域 x的取值范围A 值域 与x的值相对应的y值的集合{f(x)|x∈A} 2.求函数的定义域与值域 (1)求定义域的依据：分式的分母不为0，偶次根式的被开方数非负，0次幂的底数不为0等，如果解析式中含有多个式子，则定义域是使得各式子都有意义的数的集合.另外，在实际问题中函数的定义域，要考虑实际意义. (2)抽象函数的定义域 ①若函数f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域即为不等式a≤g(x)≤b的解集. ②若函数f(g(x))的定义域为[c，d]，则f(x)的定义域即为g(x)在[c，d]上的值域. 3.求简单函数的值域的方法 (1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到. (2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法. (3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域. (4)换元法：对于一些无理函数(如y=ax±b±)，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域. 4.同一个函数的判断 判断两个函数为同一个函数的注意点： (1)判断两个函数是否为同一个函数，就是看两函数的定义域和对应关系是否相同，若两者都相同，则为同一个函数，若定义域和对应关系有一个不相同就不是同一个函数. (2) 若两个函数为同一个函数，则它们的值域一定相同，反之则不然，即若两函数的定义域与值域都相同，则它们也不一定是同一个函数. (3)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的. (4)在化简解析式时，必须是等价变形. 知识点2 函数的表示法 函数的表示法有三种，分别是解析法、列表法、图象法 表示法 概念 优缺点 解析法 用解析式表示两个变量之间的对应关系 能简明全面地概括两个变量间的对应关系，也可以通过解析式求出任何一个变量的函数值；但是缺乏直观 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 不需计算即可直接看出表格中自变量的函数值；但表格外的数据没法求解 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 能直观形象地表示随着自变量的变化，相应函数值的变化趋势；但是作图法得到的函数值未必准确 知识点3 函数的解析式 求函数解析式的四种常用方法 (1)换元法：设t=g(x)，解出x，代入f(g(x))，求f(t)的解析式即可.注意换元时t的取值范围. (2)配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可. (3)待定系数法：若已知函数f(x)的类型，求解析式时，用待定系数法.先设出它的一般形式，根据条件确定相关的系数即可. (4)方程组法(或消元法)：当题目中出现f(x)和f(-x)，f(x)与f 的关系式时，经常通过构造方程组来求解. 注意：写解析式时，应注明定义域. 知识点4 分段函数 1.定义：函数y=f(x)在定义域上不同范围内的自变量有不同的对应关系，则函数y=f(x)称为分段函数. 注意点： 分段函数的定义域是各段范围的并集，值域为各段上值域的并集. 2.分段函数的常见的几种类型 （1）取整函数：（表示不大于的最大整数）． （2） （3）含绝对值符号的函数，如 （4）自定义函数，如 题型巩固练 一、题型一 函数的概念 1．下列从集合到集合的对应关系中，是的函数的是（ ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【答案】B 【分析】根据题意，结合函数的定义，逐项分析判断，即可求解. 【详解】A，当时，函数没有意义，所以不是的函数，不符合； B，当时，对于，任意，都有唯一的与之相对应，所以是的函数，符合； C，当时，函数没有意义，所以不是的函数，不符合； D，令，由，得，不符合函数的定义，所以不是的函数，不符合. 故选：B 2．下列y关于x的关系不是函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据函数的定义可判断AC中的关系为函数关系，BD中的关系不是函数关系. 【详解】对于A，因为，所以该关系是函数关系； 对于B，当时，没有对应的值，但题干函数定义域包括，所以该关系不是函数关系； 对于C，因为任意的x值，有唯一的y值与之对应，所以该关系是函数关系； 对于D，因为当时，有两个值与之对应，所以该关系不是函数关系． 故选：BD． 3．下列各组函数中，是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AC 【分析】利用相等函数的定义可判断. 【详解】对于A： 的定义域为 ，对应法则为 ； 定义域也为 ，且 ， 即对应法则相同，因此，两者是同一个函数，故A正确； 对于B： 的定义域为 ， 而 的定义域为 ， 定义域不同，故两者不是同一个函数，故B错误； 对于C： 两者定义域均为 ，对应法则相同， 因此，两者是同一个函数，故C正确； 对于D： 的定义域为 ， 对应法则为 ，值域也为， 而的值域为， 因此，两者不是同一个函数，故D错误. 故选：AC 4．已知函数． (1)求； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入即可得出答案； （2）将代入即可得出答案 【详解】（1）； （2） 二、题型二 函数定义域 5．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由定义域的概念可得联立不等式组，计算可得结果. 【详解】由题意知，解得且，所以定义域为. 故选：D. 6．已知函数的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复合函数定义域的求法求函数定义域. 【详解】由. 所以函数的定义域为. 故选：C 7．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解出的取值范围，然后根据括号内的整体范围相同可求的定义域. 【详解】因为的定义域为，所以中， 所以， 在中令，解得， 所以的定义域为. 故选：B. 8．函数的定义域是 . 【答案】 【分析】由求解. 【详解】由，解得且， 所以函数的定义域是. 故答案为： 三、题型三 函数值求自变量 9．已知函数，且，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】应用赋值法已知函数值求自变量即可. 【详解】 令，解得， 所以. 故选：A. 10．已知函数，且，则（   ） A． B．26 C． D．18 【答案】C 【分析】根据给定条件，代入计算即可得解. 【详解】函数，由，得，解得， 所以. 故选：C 11．设，若，则等于（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】分、、三种情况解方程即可. 【详解】当时，由，解得（舍去）， 当时，由，可得，解得（舍去）或， 当时，由，可得（舍去）， 综上所述，. 故选：A. 四、题型四 函数解析式 12．已知是一次函数，，且，函数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用待定系数法，结合已知方程组可得，再由换元法代入计算可得，可得出结论. 【详解】依题意可设， 由可得， 因此可得，解得或； 又因为，所以，即，即A正确，B错误； 又可得， 令，所以，因此， 所以，可得C错误，D错误. 故选：A. 13．已知是二次函数，且，，，则的解析式为 ． 【答案】 【分析】设，结合题设条件可得关于参数的方程组，求出其解后可得函数解析式. 【详解】设， 根据题意得，解得， 所以 ． 故答案为：． 14．已知函数满足，则函数的解析式为 【答案】 【分析】应用方程组法计算求解解析式. 【详解】因为函数满足， 所以，解得. 故答案为： 15．求下列函数的解析式： (1)已知函数满足：； (2)已知一次函数在上满足：； (3)已知函数满足：. 【答案】(1) (2) 或 (3) 【分析】（1）由配凑法求解即可； （2）由待定系数法求解即可； （3）通过构造方程组求解即可. 【详解】（1）因为， 因为，所以； （2）设， 则， 所以，解得或， 所以或； （3）因为定义在上的函数满足①， 所以②， 由①②，得， 所以. 五、题型五 函数值域 16．下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】分别求出各选项中函数的定义域与值域，可得符合题意的选项. 【详解】对于A：的定义域与值域均为R，故A符合； 对于B：的定义域为，值域为，故B不符合； 对于C：的定义域与值域均为，故C符合； 对于D：的定义域为， 值域：令，则，原式为， 根据二次函数的性质可知，，故D符合. 故选：ACD. 17．已知函数满足且， （    ） A．682 B．684 C．686 D．688 【答案】A 【分析】根据给定条件，依次求出，再求出和即可. 【详解】由函数满足且，得， ， 所以. 故选：A 18．函数的值域为 ． 【答案】 【分析】利用配方法可求得该函数的值域． 【详解】因为，所以，， 因此，函数的值域为． 故答案为：． 19．求下列函数的值域： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将函数化为，利用基本不等式即可求解； （2）将函数化为，先求出的范围即可求出函数的值域. 【详解】（1）因为，所以，所以，当且仅当时取等号，所以函数的值域为. （2）由，得， 由，得， 所以， 所以函数的值域为. 能力提升练 一、单选题 1．已知函数，则的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的分段函数，分段判断代入计算求出函数值. 【详解】函数，则， 所以. 故选：A 2．下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】利用相同函数的定义逐项判断即得. 【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为R，A不是； 对于B，函数与的定义域均为R，且，B是； 对于C，函数的定义域为，函数的定义域为R，C不是； 对于D，函数与的定义域均为R，而的值域为， 函数的值域为R，D不是. 故选：B 3．若函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意结合复合函数定义域相关知识可得答案. 【详解】因定义域为：，则的定义域满足：， 解得：，即定义域为：. 故选：D 4．若函数，则（   ） A．506 B．1024 C．1012 D．2024 【答案】C 【分析】根据计算. 【详解】由题意可得，， 则 故选：C 5．已知定义域为的函数，若对任意，存在正数，都有成立，则称函数是上的“有界函数”.已知下列函数：（1）；（2）（表示不大于的最大整数）；（3）；（4）.其中“有界函数”的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据有界函数的定义，分别讨论各选项中函数的值域，判断是否是有界函数. 【详解】对于（1），定义域为，，则，所以是上的“有界函数”； 对于（2），函数定义域为，，则，所以是上的“有界函数”； 对于（3），定义域为，，， 则当时，，所以不是上的“有界函数”； 对于（4），定义域为，因为， 所以，即，所以是上的“有界函数”. 所以是有界函数的有（1）（2）（4）. 故选：C 二、多选题 6．下列命题中，正确的有（    ） A．函数与函数表示同一个函数 B．函数的值域为 C．函数的图象与直线最多有一个交点 D．已知，对应关系可以构成关于的函数 【答案】BCD 【分析】根据函数的定义和同一函数的定义逐一分析可得到正确答案。 【详解】对于选项A，因为函数的定义域是，函数的定义域是，所以两函数的定义域不同，不是同一函数，故选项A错误; 对于选项B，因为函数,所以,则,故选项B正确; 对于选项C，根据函数的定义，对于定义域内的一个值，有且只有一个值与之对应，此时函数图象与直线最多有一个交点，因此若在定义域内，则有唯一的值与之对应，此时函数图象与直线有唯一交点；若不在定义域内，则没有交点，因此函数的图象与直线最多有一个交点，故选项C正确; 对于选项D，因为任意，所以，满足，且每个对应唯一的，符合函数的定义，因此可以构成关于的函数，故选项D正确; 故选:BCD 7．已知函数的值域为，则的定义域可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据函数的值域为结合二次函数的对称性可求出相应的定义域， 【详解】令，解得， 令，解得， 根据的图象关于轴对称的性质， 可得的定义域可能为，或，故B、C、D正确. 故选：BCD. 8．若对任意实数成立，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据函数等式对进行赋值，即可求得答案. 【详解】因为对任意实数成立， 令，则，所以，A正确； 对于B，举反例，若，则，而根据题意应该为0，所以B错误； 令，则，所以，C正确； 令，则；令，则； 令，则有，依此类推有，D正确. 故选：ACD. 三、填空题 9．已知，且，则 . 【答案】 【分析】根据的表达式求出，从而得到，根据的表达式及的值求出. 【详解】， ， ，， ，， . 故答案为：. 10．函数的最大值为 . 【答案】/ 【分析】利用换元法，结合二次函数的性质求得正确答案. 【详解】令，则，， 当时，. 故答案为： 11．函数的值域为 . 【答案】 【分析】利用换元法和基本不等式求值域. 【详解】令，则， ， 当时，； 当时，， 因为，当且仅当，时等号成立， 所以， 所以函数的值域为， 故答案为： 四、解答题 12．（1）已知，求的解析式． （2）已知是一次函数，并且，求． （3）函数满足方程，且，求． 【答案】（1），；（2）或；（3），. 【分析】（1）利用换元法求函数的解析式； （2）利用待定系数法求函数的解析式； （3）用代替，构造函数方程，求函数的解析式. 【详解】（1）设，则，，且， 所以，. 用代替，得：，. （2）因为为一次函数，可设，. 所以， 又， 所以或. 所以或. （3）因为① 用代替，得② ①②得：，. 13．已知函数    (1)在所给坐标系中，画出的图象. (2)求，的值. (3)若，，，求. 【答案】(1)答案见解析； (2)； (3). 【分析】（1）分段作出函数图象即可； （2）利用分段函数求函数值即可； （3）利用范围求函数值，列方程组即可求解. 【详解】（1）作出函数的图象如图所示：    （2）， （3）因为，所以， 即， 又因为，所以，即， 消元得：， 解得或，因为，所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $