3.3幂函数 导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以“概念理解-性质应用-综合提升”分层设计，通过例题变式巩固幂函数定义、图象性质，解答题深化综合应用，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |概念理解层|幂函数定义识别|典型例题单选型基础辨识，如例1判断幂函数| |性质应用层|图象性质与大小比较|变式题多空选择辨析单调性奇偶性，如变式2象限与增减性判断| |综合提升层|定义域值域与证明|解答题结合单调性奇偶性综合求解，如13题解析式推导与单调性证明|

3.3 幂函数 【知识点归纳】 1.五种常见幂函数的图象与性质 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在上单调递增 在上单调递减，在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 公共点 2．幂函数的图象与性质 幂函数y＝xα的图象和性质因α的取值不同而不同： (1)α的正负：α>0时图象经过(0,0)点和(1,1)点，在第一象限的部分“上升”； α<0时图象不过(0,0)点，经过(1,1)点，在第一象限的部分“下降”； (2)第一象限的凹凸性：α>1时曲线下凹，0<α<1时曲线上凸，α<0时曲线下凹； (3)函数的奇偶性：将函数式化为正指数幂或根式形式，根据函数定义域和奇偶性定义判断其奇偶性． 3．比较幂值大小的常见类型及解决方法 同底不同指 利用指数函数单调性进行比较 同指不同底 利用幂函数单调性进行比较 既不同底 又不同指 常常找到一个中间值，通过比较两个幂值与中间值的大小来判断两个幂值的大小 【典型例题】 例1．下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下面的函数中是幂函数的有（ ） ①；②；③；④；⑤． A．①⑤ B．①②③ C．②④ D．②③⑤ 例2． 画出的大致图象 【变式2】幂函数的图象经过（    ），且在第一象限内（    ） A．第一、二象限    单调递减 B．第一、三象限    单调递减 C．第一、二象限    单调递增 D．第一、三象限    单调递增 例3．若，则满足幂函数的定义域与值域相同的构成集合，则集合的非空真子集个数为（    ） A．14 B．7 C．23 D．11 【变式3】（多选题）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【练习】 1.下面的函数中是幂函数的有（ ） ①；②；③；④；⑤． A．①⑤ B．①②③ C．②④ D．②③⑤ 2．若函数是偶函数，且值域为，则可以是（   ） A． B． C． D． 3.若幂函数，与在第一象限内的图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 4．已知幂函数的图象过点，则的值是（   ） A．64 B． C． D．2 5．若函数为幂函数，则函数在定义域内为（ ） A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数 6．已知幂函数（为常数）的图象经过点，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7.设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 8．（多选题）已知幂函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象都经过点 B．函数的图象不经过第四象限 C．若，则函数在上单调递增 D．若，则对任意实数，有 9．（多选题）若幂函数的图象经过点，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．对任意， 10.（填空题）已知幂函数在上单调递减，则__________． 11．（填空题）已知幂函数过点，若不等式成立，则满足不等式的实数m的解集是_________. 12.（解答题）已知幂函数在区间上是严格增函数，且函数的图像关于原点中心对称，求实数的值． 13.（解答题）已知幂函数是偶函数，且在上单调递增. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性，并证明. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3 幂函数 【知识点归纳】 1.五种常见幂函数的图象与性质 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在上单调递增 在上单调递减，在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 公共点 2．幂函数的图象与性质 幂函数y＝xα的图象和性质因α的取值不同而不同： (1)α的正负：α>0时图象经过(0,0)点和(1,1)点，在第一象限的部分“上升”； α<0时图象不过(0,0)点，经过(1,1)点，在第一象限的部分“下降”； (2)第一象限的凹凸性：α>1时曲线下凹，0<α<1时曲线上凸，α<0时曲线下凹； (3)函数的奇偶性：将函数式化为正指数幂或根式形式，根据函数定义域和奇偶性定义判断其奇偶性． 3．比较幂值大小的常见类型及解决方法 同底不同指 利用指数函数单调性进行比较 同指不同底 利用幂函数单调性进行比较 既不同底 又不同指 常常找到一个中间值，通过比较两个幂值与中间值的大小来判断两个幂值的大小 【典型例题】 例1．下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A选项不满足底数为单独的x的特征，所以不是幂函数； B选项不满足系数为1的特征，所以不是幂函数； C选项不符合y＝xα的单一形式，所以不是幂函数； D选项是幂函数. 【变式1】下面的函数中是幂函数的有（ ） ①；②；③；④；⑤． A．①⑤ B．①②③ C．②④ D．②③⑤ 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义判断即可. 【解析】由幂函数定义可知，②④是幂函数， 故选：C. 例2． 画出的大致图象 【解析】的定义域为，是偶函数，在上单调递减， 所以图象的大致形状如图． 【变式2】幂函数的图象经过（    ），且在第一象限内（    ） A．第一、二象限    单调递减 B．第一、三象限    单调递减 C．第一、二象限    单调递增 D．第一、三象限    单调递增 【答案】C 【解析】幂函数的定义域为，由，得函数是偶函数， 其图象关于轴对称，又，则该函数图象在轴及上方， 而，则函数在上单调递增， 所以幂函数的图象经过第一、二象限，且在第一象限内单调递增. 例3．若，则满足幂函数的定义域与值域相同的构成集合，则集合的非空真子集个数为（    ） A．14 B．7 C．23 D．11 【答案】A 【分析】分别分析取不同值时，的定义域和值域，可得集合A，根据非空真子集个数的求法，代入公式，即可得答案. 【解析】当时，，定义域为，值域为，不符合题意； 当时，，定义域和值域都为，符合题意； 当时，，定义域为，值域为，不符合题意； 当时，，定义域和值域都为，符合题意； 当时，，定义域和值域都为R，符合题意； 当时，，定义域为R，值域为，不符合题意； 当时，，定义域和值域都为R，符合题意； 所以集合，则集合的非空真子集个数为. 故选：A. 【变式3】（多选题）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据函数解析式分别计算值域判断各个选项即可. 【解析】，函数值域为，A选项正确； ，函数值域为，B选项错误； ，函数值域为，C选项正确； ，函数值域为，D选项正确； 故选：ACD 【练习】 1.下面的函数中是幂函数的有（ ） ①；②；③；④；⑤． A．①⑤ B．①②③ C．②④ D．②③⑤ 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义判断即可. 【解析】由幂函数定义可知，②④是幂函数， 故选：C. 2．若函数是偶函数，且值域为，则可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的性质逐一分析每个选项. 【解析】A选项，，需满足，即定义域为， 定义域不关于原点对称，不是偶函数，A选项错误； C选项，，值域为，值域不符合题意，C选项错误； D选项，，需满足，即定义域为， 定义域不关于原点对称，不是偶函数，D选项错误； B选项，，定义域为，定义域关于原点对称， 且，是偶函数，且值域也满足，B选项正确. 故选：B 3.若幂函数，与在第一象限内的图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由所给图象结合幂函数单调性判断即可得. 【解析】当时，在上单调递增， 且时，当增大时，图象越来越平缓，所以； 当时，在上单调递减， 不妨令，根据题图可得，所以； 综上可得. 4．已知幂函数的图象过点，则的值是（   ） A．64 B． C． D．2 【答案】D 【解析】由题意得，，则，则. 5．若函数为幂函数，则函数在定义域内为（ ） A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数 【答案】C 【解析】函数为幂函数，，得， ，定义域为， ，故在定义域内为奇函数，故D选项错误，C选项正确； 根据幂函数的性质知在，上单调递减，但在其整个定义域上不具有单调性，故选项A，B错误. 6．已知幂函数（为常数）的图象经过点，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据解得，继而确定的定义域与单调性，再结合定义域与单调性，解不等式即可. 【解析】∵幂函数的图象经过点，，解得， 故，. 因为，故在定义域上单调递增， 故由，可得解得. 故选：C. 7.设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合幂函数单调性的分析判断即可. 【解析】因为，且在内单调递增， 则，即. 8．（多选题）已知幂函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象都经过点 B．函数的图象不经过第四象限 C．若，则函数在上单调递增 D．若，则对任意实数，有 【答案】BCD 【分析】A选项，举出反例；B选项，时，，B正确；C选项，根据幂函数性质得到C正确；D选项，作差法比较出大小. 【解析】A选项，当时，，不经过原点，A错误； B选项，当时，，故图象不经过第四象限，B正确； C选项，若，则函数在上单调递增，C正确； D选项，，， ， 故 ，当且仅当时，等号成立， 故，D正确. 故选：BCD 9．（多选题）若幂函数的图象经过点，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．对任意， 【答案】ABD 【分析】根据题设先求得，，进而结合幂函数的性质求解判断各选项即可. 【解析】设，则，解得，则，， 对于A，，故A正确； 对于B，函数在上单调递增，则，故B正确； 对于C，由，则为奇函数，故C错误； 对于D，由，， 则，故D正确. 故选：ABD 10.（填空题）已知幂函数在上单调递减，则__________． 【答案】 【解析】由题意可知， 所以，解得. 所以， 所以. 11．（填空题）已知幂函数过点，若不等式成立，则满足不等式的实数m的解集是_________. 【答案】 【解析】由题可设幂函数，则即， 所以， 所以，即， 所以该函数定义域为，且该函数在上单调递减， 所以若不等式成立， 则，解得，即满足不等式的实数m的解集是. 12.（解答题）已知幂函数在区间上是严格增函数，且函数的图像关于原点中心对称，求实数的值． 【答案】0或2． 【分析】结合幂函数的性质，即可求解． 【解析】幂函数在区间上是严格增函数， 则，即，解得， 因为，所以 ，1，2， 当时，，满足函数在区间上是严格增函数，且函数的图像关于原点中心对称，符合题意， 当时，，不满足函数的图像关于原点中心对称，故舍去， 当时，，满足函数在区间上是严格增函数，且函数的图像关于原点中心对称，符合题意， 综上所述，或2． 13.（解答题）已知幂函数是偶函数，且在上单调递增. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性，并证明. 【答案】(1) (2)在上单调递增， 证明如下：因为， 设， 则， 因为，所以，， 则， 所以在上单调递增 【分析】（1）根据 是幂函数得 ，再根据 是偶函数，且在 上单调递增得 为正偶数，从而求解出 解析式. （2）求出 解析式后根据单调性定义证明函数 的单调性. 【详解】（1）∵幂函数（k∈Z）是偶函数，且在上单调递增， ，且为正偶数，则，故. （2）略. 学科网（北京）股份有限公司 $