3.3 幂函数-同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学同步练，聚焦幂函数，分层设计清晰，从概念理解到综合应用梯度递进，适配新授课知识巩固与能力提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关练|幂函数概念（定义、解析式）、图象与性质（单调性、奇偶性、图象识别）|选择填空为主，含教材改编题，注重概念辨析与基础运算，培养数学抽象与运算能力| |能力提升练|幂函数性质综合应用（比较大小、不等式求解、函数与方程综合、新定义问题）|多选题与解答题结合，涉及抽象函数性质与实际应用，强化逻辑推理与创新意识|

3.3　幂函数 基础过关练 题组一　幂函数的概念 1.(2026四川广安期中)已知幂函数f(x)的图象经过点(4,2),(m,4),则m为(　　) A.　　B.　　C.16　　D.8 2.(2026山西运城期末)“n=1”是“f(x)=(n2-3n+3)·是幂函数”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(2026上海南洋模范中学月考)已知函数f(x)=(m2-m-1)xm+2是幂函数,且该函数是偶函数,则f()的值是　　　　.  4.(教材习题改编)(2026山东济宁期末)若幂函数f(x)满足f(8)=2,则f(27)=　　　　.  题组二　幂函数的图象及其性质 5.(2026广东汕头一中期中)下列函数既是幂函数,又在(-∞,0)上单调递减的是(　　) A.y=-x　　B.y=x-2　　 C.y=　　D.y=x2 6.(2026四川成都七中月考)图中C1、C2、C3分别为幂函数y=,y=,y=在第一象限内的图象,则α1,α2,α3依次可以是(　　) A.3,,-1　　B.3,-1, C.,3,-1　　D.,-1,3 7.(2026湖北襄阳期末)已知幂函数f(x)=(m2-3m+3)xm-1的图象与坐标轴有公共点,则m的值为(　　) A.1　　B.2　　C.1或2　　D.0 8.(多选题)(2026山东菏泽期中)关于幂函数f(x)=xk(k为常数)的性质,下列说法正确的有(　　) A.当k=-2时, f(x)的定义域为{x|x≠0},且在(0,+∞)上单调递增 B.当k=1时, f(x)的图象过第一、三象限 C.当k=时, f(x)的定义域为R,且是奇函数 D.当k=2时, f(x)的值域为[0,+∞),且在(-∞,0]上单调递增 9.(多选题)(2026陕西西安西北大学附属中学期末)若幂函数f(x)=(a2-2a-2)xa的定义域为R,则下列说法正确的有(　　) A.a=3　　B.a=-1 C. f(x)是奇函数　　D. f()= 10.(2026江苏常州田家炳高级中学期末)已知幂函数f(x)=(3m2-2m)·x-m满足f(2)>f(3),则m=　　　　.  11.(2026江苏无锡锡山高级中学期末)已知函数f(x)=(m2-5m+1)xm+1为幂函数,且为奇函数. (1)求m的值; (2)求函数g(x)=x2+2f(x)在x∈[t,2]上的最大值. 能力提升练 题组　幂函数图象、性质的综合应用 1.(2026广东广州期末)若0<a<1<b,则(　　) A.aa<ba,ab<bb　　B.ba<aa,bb<ab C.ba<aa,ab<bb　　D.aa<ba,bb<ab 2.(2026安徽芜湖师范大学附属中学期末)已知函数f(x)=x2 025,则不等式f(2x)+f(2-x)>0的解集为　(　　) A.(-2,2)　　B.(-∞,-2)　　 C.(0,+∞)　　D.(-2,+∞) 3.(多选题)(2026陕西咸阳期末)已知幂函数f(x)的图象过点,则下列说法正确的是(　　) A. f(x)= B. f(x)是减函数 C. f(x)是奇函数 D.不等式xf(x+1)>0的解集是(-∞,-1)∪(0,+∞) 4.(2026山东济南一中期中)在同一坐标系内,函数y=xa(a≠0)和y=ax-的图象可能是(　　) 　　　　　　 5.(2026安徽宣城二中期末)已知幂函数f(x)=(m2-m-5)xm-1,满足∀x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,都有>0成立,若关于x的不等式f(x)-9x≤a恰有四个整数解,则实数a的取值范围是　(　　) A.(-18,-14]　　B.[-18,-14)　　 C.(-16,-12]　　D.[-16,-12) 6.(2026黑龙江龙东十校联盟期中)已知幂函数f(x)=(2m2-9m+10)xm-1是偶函数,若函数y=在(2,4)上具有单调性,则实数a的取值范围为(　　) A.(-∞,2]∪[3,+∞)　　B.(-∞,2)∪(3,4] C.(-∞,2]∪[3,4]　　D.(-∞,2]∪[4,+∞) 7.(2026江苏南通一中月考)若幂函数y=(m∈N*)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上单调递减,则满足(a+1)-m>(3-2a)-m的a的取值范围为　　　　　　　.  8.(2026河北承德期中)已知幂函数f(x)=(m2-3m+1)xm-1在(0,+∞)上单调递增. (1)求函数f(x)的解析式; (2)已知函数g(x)=|f(x)-ax|-2x. ①求g(g(0)); ②当x∈[0,3]时,g(x)≥a恒成立,求实数a的取值范围. 9.(2026湖南永州四中月考)若区间[a,b]满足: ①函数f(x)在[a,b]上有定义且单调; ②函数f(x)在[a,b]上的值域也为[a,b],则称区间[a,b]为函数f(x)的共鸣区间. (1)写出函数f(x)=x3的一个共鸣区间:　　　　;  (2)若函数g(x)=2-k存在共鸣区间,则实数k的取值范围是　　　　.  答案 3.3　幂函数 基础过关练 1.C　设幂函数f(x)=xa,则f(4)=4a=2,解得a=, 故f(x)=,则f(m)==4,则m=16. 2.A　若f(x)=(n2-3n+3)·是幂函数,则n2-3n+3=1,解得n=1或n=2. 所以“n=1”是“f(x)=(n2-3n+3)·是幂函数”的充分不必要条件. 3.答案　4 解析　由题意得m2-m-1=1,解得m=-1或m=2,当m=-1时, f(x)=x,是奇函数,不符合题意,当m=2时, f(x)=x4,是偶函数,符合题意,故m=2, f()=()4=4. 4.答案　3 解析　因为函数f(x)是幂函数, 所以设f(x)=xα, 因为f(8)=2,所以8α=2⇒23α=2⇒3α=1,所以f(27)=27α=33α=3. 5.D　易知形如y=xα的函数为幂函数,显然A,C不符合定义; y=x2在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故D正确; y=x-2在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,故B错误. 6.A　在第一象限内,幂函数y=xα的图象在直线x=1的右侧的部分由下向上,α逐渐增大, 且当α>0时,y=xα在第一象限内单调递增,且递增速度以α=1为界点,当α<0时,y=xα在第一象限内单调递减,所以α1>1>α2>0>α3,故A满足. 7.B　依题意得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2, 当m=1时, f(x)=x0=1(x≠0),其图象是平行于x轴且不过点(0,1)的直线(除去(0,1)点),其图象与x轴和y轴均无公共点,不符合要求; 当m=2时, f(x)=x2-1=x,其图象是过原点的直线,与坐标轴有公共点(原点),符合要求. 综上,m=2. 8.BC　对于A,k=-2时, f(x)=x-2,其定义域为{x|x≠0},且在(0,+∞)上单调递减,故A不正确; 对于B,k=1时, f(x)=x,其图象过第一、三象限,故B正确; 对于C,k=时, f(x)=,其定义域为R,且是奇函数,故C正确; 对于D,k=2时, f(x)=x2,其值域为[0,+∞),且在(-∞,0]上单调递减,故D不正确. 9.ACD　根据幂函数的定义,得a2-2a-2=1,解得a=-1或a=3. 当a=-1时, f(x)=,定义域为{x|x≠0},与f(x)的定义域为R矛盾; 当a=3时, f(x)=x3, f(x)的定义域为R,满足题意,故A正确,B错误. 对于C, f(x)=x3的定义域为R,且f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数,C正确. 对于D, f()==2-1=,D正确. 10.答案　1 解析　因为函数f(x)=(3m2-2m)x-m是幂函数,所以3m2-2m=1,解得m=1或m=-, 当m=1时, f(x)=x-1,易知其在(0,+∞)上单调递减,则f(2)>f(3),符合题意; 当m=-时, f(x)=,易知其在(0,+∞)上单调递增,则f(2)<f(3),不符合题意. 综上,m=1. 11.解析　(1)因为函数f(x)=(m2-5m+1)·xm+1为幂函数, 所以m2-5m+1=1,解得m=0或m=5. 当m=0时, f(x)=x,此时f(x)为奇函数,满足条件; 当m=5时, f(x)=x6,此时f(x)为偶函数,不满足条件, 所以m=0. (2)由(1)知f(x)=x,所以g(x)=x2+2x=(x+1)2-1,其图象开口向上,对称轴方程为x=-1. 因为x∈[t,2],所以t<2. 结合二次函数图象的对称性可知, 当-4≤t<2时,g(x)max=g(2)=(2+1)2-1=8. 当t<-4时,g(x)max=g(t)=t2+2t. 综上,当-4≤t<2时,函数g(x)在[t,2]上的最大值为8,当t<-4时,最大值为t2+2t. 能力提升练 1.A　因为y=xa(0<a<1)在(0,+∞)上单调递增,a<b,所以aa<ba, 因为y=xb(b>1)在(0,+∞)上单调递增,a<b,所以ab<bb, 故aa<ba,ab<bb. 2.D　∵f(x)的定义域为R, f(-x)=(-x)2 025=-x2 025=-f(x), ∴f(x)为定义在R上的奇函数. 由幂函数的性质知f(x)在R上单调递增, 由f(2x)+f(2-x)>0得f(2x)>-f(2-x)=f(x-2), ∴2x>x-2,解得x>-2, ∴不等式的解集为(-2,+∞). 3.ACD　设幂函数f(x)=xα,则f(2)=2α=,所以α=-1, f(x)=x-1=,A正确; 函数f(x)=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), 易知函数f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上分别单调递减,但在整个定义域上并不单调递减,B错误; 函数f(x)=的定义域关于原点对称,且f(-x)==-f(x),所以函数f(x)为奇函数,C正确; 不等式为xf(x+1)=>0,即x(x+1)>0,解得x>0或x<-1, 即不等式xf(x+1)>0的解集是(-∞,-1)∪(0,+∞),D正确. 4.A　对于A,结合函数y=xa的图象得a>0,结合y=ax-的图象得即a>0,可能成立,故A正确; 对于B,结合函数y=xa的图象得a>0,结合y=ax-的图象得即a<0,两者矛盾,故B错误; 对于C,结合函数y=xa的图象得a<0,结合y=ax-的图象得即a>0,两者矛盾,故C错误; 对于D,结合函数y=xa的图象得a<0,结合y=ax-的图象得无解,故D错误. 5.B　依题意,m2-m-5=1,解得m=-2或m=3, 因为∀x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,都有>0,所以f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,所以m-1>0,即m>1,所以m=3, f(x)=x2. 由已知得关于x的不等式x2-9x≤a恰有四个整数解, 因为抛物线y=x2-9x的对称轴方程是x=,所以四个整数解分别为3,4,5,6, 可得解得-18≤a<-14. 6.C　因为f(x)=(2m2-9m+10)xm-1是幂函数,所以2m2-9m+10=1, 解得m=3或m=. 当m=3时, f(x)=x2,为偶函数,符合题意; 当m=时, f(x)==,既不是奇函数也不是偶函数,不符合题意, 所以f(x)=x2,y=. 若函数y=在(2,4)上单调递增, 则(满足单调性和定义域的要求),解得a≤2; 若函数y=在(2,4)上单调递减, 则解得3≤a≤4. 综上,实数a的取值范围为(-∞,2]∪[3,4]. 7.答案　∪ 解析　因为幂函数y=(m∈N*)在(0,+∞)上单调递减, 所以m2-2m-3<0,解得-1<m<3, 又m∈N*,所以m=1或m=2. 当m=1时,幂函数为y=x-4,图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上单调递减,满足题意; 当m=2时,幂函数为y=x-3,图象不关于y轴对称,舍去, 所以m=1,不等式(a+1)-m>(3-2a)-m为(a+1)-1>(3-2a)-1, 因为函数y=x-1在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减, 所以a+1<3-2a<0或3-2a>a+1>0或3-2a<0<a+1, 解得-1<a<或a>. 8.解析　(1)因为f(x)是幂函数,所以m2-3m+1=1,解得m=0或m=3. 因为f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以m-1>0,即m>1,则m=3. 所以f(x)=x2. (2)①g(x)=|x2-ax|-2x,则g(0)=|02-0|-0=0, 所以g(g(0))=g(0)=0. ②由①可知g(0)=0,则要使g(x)≥a在[0,3]上恒成立,一定满足a≤0(必要性探路:g(0)≥a成立即a≤0成立). 因为x∈[0,3],所以x-a≥0, 所以x2-ax=x(x-a)≥0,即g(x)=x2-ax-2x. 由题意得x2-ax-2x≥a在[0,3]上恒成立, 即x2-2x≥a(x+1)在[0,3]上恒成立, 因为x∈[0,3],所以x+1∈[1,4], 所以a≤在[0,3]上恒成立, 所以a≤,x∈[0,3]. 当x∈[0,3]时,==x+1+-4≥2-4=2-4, 当且仅当x+1=,即x=-1时等号成立, 所以a≤2-4,即实数a的取值范围为(-∞,2-4]. 9.答案　(1)[-1,0]或[-1,1]或[0,1](填一个即可)　(2)[1,2) 解析　(1)设区间[a,b]是f(x)=x3的共鸣区间, 易知f(x)=x3在[a,b]上单调递增,且在[a,b]上的值域也为[a,b], 所以即因为a<b,所以或或 故函数f(x)=x3的共鸣区间为[-1,0]或[-1,1]或[0,1]. (2)易知函数g(x)的定义域为[-1,+∞),且g(x)在x∈[-1,+∞)上单调递增, 若g(x)存在共鸣区间,不妨设为[a,b](a≥-1),则 所以g(x)=x,即方程2-k=x在[-1,+∞)上有两个不等的实根, 令t=,则t≥0,x=t2-1, 所以t2-2t-1+k=0在[0,+∞)上有两个不等的实根, 所以解得1≤k<2, 故实数k的取值范围是[1,2). 7 学科网（北京）股份有限公司 $