第二章 一元二次函数、方程和不等式 高考真题练（同步练习）-【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册同步（人教A版）

**基本信息** 以高考真题为基础、竞赛与强基为拓展，分层覆盖一元二次不等式及基本不等式应用，通过基础巩固-综合应用-创新拓展路径，培养数学推理与运算能力，适配单元复习差异化教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |高考真题练|单一知识点（解不等式、集合运算）到综合应用（恒成立问题、双变量范围）|选择、填空题为主，结合教材习题改编，如第2题关联集合与不等式，培养模型观念| |学科竞赛|跨知识综合（几何与不等式结合）|竞赛预赛题，如第8题利用三角形性质放缩，发展创新意识| |强基计划|多变量优化与复杂证明|强基校考题，如第10题条件最值问题，深化数学思维与抽象能力|

高考真题练 考点1　一元二次不等式及其应用 1.(2025全国二卷,4)不等式≥2的解集是(　　) A.{x|-2≤x≤1}　　B.{x|x≤-2}　　 C.{x|-2≤x<1}　　D.{x|x>1} 2.(2023新课标Ⅰ,1)已知集合M={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6≥0}①,则M∩N=(　　) A.{-2,-1,0,1}　　B.{0,1,2}　　 C.{-2}　　D.{2} ①关键点拨→解不等式或取值检验 3.(2025天津,15)若a,b∈R,∀x∈{x|-2≤x≤2},均有(2a+b)x2+bx-a-1≤0恒成立,则2a+b的最小值为　　　　.  考点2　基本不等式及其应用 4.(2025北京,6)已知a>0,b>0,则(　　) A.a2+b2>2ab　　B.+≥ C.a+b>　　D.+≤ 5.(多选题)(2022新高考Ⅱ,12)若x,y满足x2+y2-xy=1①,则(　　) A.x+y≤1　　B.x+y≥-2　　 C.x2+y2≤2　　D.x2+y2≥1 ①心中有“数”→基本不等式,放缩;对点突破→P304疑难2 6.(2025上海,8)设a,b>0,a+=1,则b+的最小值为　　　　.  7.(2021天津,13)若a>0,b>0,则++b的最小值为　　　　.  学科竞赛 8.(2024全国高中数学联赛吉林赛区预赛)已知A,B,C是平面上三个不同的点,且BC=a,CA=b,AB=c,则+的最小值为(　　) A.-　　B.-　　C.2-　　D.1- 强基计划 9.(2024福建厦门大学强基计划)对于a,b,c∈{x|0≤x≤2}, f(a,b,c)=++的最大值为(　　) A.3　　B.2+　　 C.3　　D.以上全错 10.(2025北京清华大学强基计划)已知正数x,y,z满足3x2+y2+z2=1,则的最小值为　　　　.  11.(2025北京大学强基计划)求的最大值. 12.(2024江苏南京大学强基计划)已知a,b,c>0,4abc=++,判断是否存在最大值和最小值.若存在,求出最大值和最小值;若不存在,请说明理由. 答案与分层梯度式解析 高考真题练 1.C 2.C 4.C 5.BC 8.A 9.B 1.C　①移项:-2≥0;②通分:≥0,即≤0;③转化为关于x的一元二次不等式:(要注意系数化正和分母不为0);④解不等式:{x|-2≤x<1}. 2.C　 考教衔接 本题结合了第一章的集合和第二章的一元二次不等式知识,来源于人教A版必修第一册P55习题2.3第3、5题,相同之处:均是集合运算与一元二次不等式的结合;不同之处:教材集合均采用描述法表示,高考题中集合采用了列举法和描述法两种表示方法,加强考查学生对概念的理解和掌握. 因为M={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6≥0}={x|x≤-2或x≥3},所以M∩N={-2}. 考场速决 取x=0,不满足x2-x-6≥0,排除A,B;再取x=-2,可知-2∈N,故C正确. 3.答案　-4 解析　设t=2a+b,问题转化为求t的最小值, 原不等式可化为对任意的x∈{x|-2≤x≤2},tx2+(t-2a)x-a-1≤0恒成立, 不妨代入x=-(点拨:通过赋值构造只关于t的不等式), 得t-(t-2a)-a-1≤0,得t≥-4(t的正确范围为{t|t≥-4}的子集), 当t=-4时,原不等式可化为-4x2+(-4-2a)x-a-1≤0(t能否取到-4,需要进行验证,即当t=-4时,能否存在a,b∈R,使不等式恒成立), 即+a2≤0, 观察可知,当a=0时,-(2x+1)2≤0对任意x∈{x|-2≤x≤2}都成立,当且仅当x=-时取等号, 此时a=0,b=-4, 说明t=-4时,存在实数a,b,满足题意, 因此2a+b的最小值为-4. 4.C　对于A,由基本不等式得a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取等号,故A错误; 对于B,作差得+-=,差与0的大小关系不确定,故B错误; 对于C,由基本不等式可得a+b≥2>,当且仅当a=b时取等号,故C正确; 对于D,由基本不等式可得+≥,当且仅当a=b时取等号,故D错误. 一题多解 特例法:当a=b时,a2+b2=2ab,故A错误; 取a=,b=,此时+=2+4=6<=8=, +=2+4=6>=4=,故B,D错误. 5.BC　 考教衔接 本题以双变量为载体,使用基本不等式将等式进行放缩,求解表达式的取值范围,来源于人教A版必修第一册P58复习参考题2第5题,相同之处:条件等式均是双变量;不同之处:高考题中需要求解两个表达式的取值范围,且变形更复杂,加强考查学生转化与化归的数学思想和逻辑推理的思维能力. 对于A,B,在条件等式中构建x+y的形式,再利用关于xy和x+y的不等式xy≤进行放缩. 由x2+y2-xy=1,得(x+y)2-1=3xy, 又因为xy≤,所以(x+y)2-1≤, 所以(x+y)2≤4,即-2≤x+y≤2,当且仅当x=y=±1时取等号,故A错误,B正确. 对于C,D,利用关于xy和x2+y2的不等式xy≤进行放缩. 由x2+y2-xy=1,得xy=x2+y2-1, 又因为xy≤,所以x2+y2-1≤, 所以x2+y2≤2,当且仅当x=y=±1时取等号,故C正确,D错误. 一题多解 根据x2+y2≥2xy,可得1=x2+y2-xy≥2xy-xy,即xy≤1,当且仅当x=y=±1时取等号. 对于A,B,由x2+y2-xy=1,得(x+y)2=3xy+1, 由xy≤1得(x+y)2≤4,即-2≤x+y≤2,当且仅当x=y=±1时取等号,故A错误,B正确; 对于C,D,由x2+y2-xy=1,得x2+y2=xy+1, 由xy≤1得x2+y2≤2,当且仅当x=y=±1时取等号,故C正确,D错误. 6.答案　4 解析　b+==ab++2≥2+2=4, 当且仅当ab=1,即a=,b=2时等号成立,故b+的最小值为4. 7.答案　2 解析　因为a>0,b>0,所以++b≥2+b=+b≥2=2,当且仅当即a=b=时,等号成立,故++b的最小值为2. 8.A　由题意得b+c≥a(若A,B,C三点不共线,则△ABC中两边之和大于第三边;若A,B,C三点共线,则当且仅当A在B,C中间时,等号成立),则+=+-1=+-1≥+-1=+-≥2-=-,当且仅当b+c=a且=,即a=c,b=c时取等号, 所以+的最小值为-. 9.B　不妨设a≥b≥c, 则++=++,a-c≤2, 因为+≤=(重要不等式:当x,y>0时,(x+y)2≤2(x2+y2)⇔x+y≤), 当且仅当=时取等号, 所以++=++≤+=(+1)≤2+, 当且仅当a=2,b=1,c=0时等号成立, 所以f(a,b,c)的最大值为2+. 10.答案　8 解析　由题意得=·≥·(点拨:3x2+z2≥2xz) =·=≥=8,当且仅当y=,x=z=时等号成立,所以的最小值为8. 11.解析　要使取得最大值,则当且仅当xy≥0,yz≥0时取到. (根据两不等式取等号的情况讨论) 当x=z=0,y≠0或y=0,x2+z2≠0时,=0; 当x=0,yz>0时,==≤=1,当且仅当y=z时取等号; 当z=0,xy>0时,==≤=,当且仅当x=y时取等号; 当xy>0,yz>0时, = ≤ ==,当且仅当x∶y∶z=1∶∶2时取等号. 又0<<1<,所以的最大值为. 12.解析　∵4abc=++,a,b,c>0, ∴+=4abc-,++=++=++=4bc+≥2=4,当且仅当bc=时取等号. ∵4abc=++, ∴4bca2-a-1=0(原式左、右两侧同时乘a,整理得到关于a的一元二次方程),此时Δ=+16bc>0,即对任意的正数b,c,方程均有解,故存在满足题意的a. 将y=++看作关于的二次函数,其图象开口向上,对称轴在y轴左侧,所以无最大值. 综上,不存在最大值,存在最小值4. 7 学科网（北京）股份有限公司 $