第二章 一元二次函数、方程和不等式 专题专项练（同步练习）-【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册同步（人教A版）

**基本信息** 聚焦不等式单元易错点与思想方法，通过易混易错专项巩固基础，思想方法专题提升综合应用，形成从单一知识点到数学思想的递进式巩固路径。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |易混易错练|不等式性质、基本不等式、二次不等式等5个易错点|以选择、填空为主，通过典型错题（如范围求解题）强化概念辨析，培养推理意识| |思想方法练|分类讨论、数形结合、转化与化归思想|以解答题为主，通过综合问题（如恒成立转化题）深化数学思维，发展模型观念|

专题专项练 易混易错练2 易错点1　不能正确使用不等式的性质而致错 1.(2026海南海口段考)若a,b,c,d均为实数,则下列结论正确的是(　　) A.若a>b,c<d,则a+c>b+d B.若a>b,c>d,则ac>bd C.若bc-ad>0,->0,则ab<0 D.若a>b>0,c>d>0,则> 2.(2026河南新未来联考)已知实数a,b满足-2≤3a-2b≤5,-4≤a+2b≤4,则7a-2b的取值范围为　　　　.  易错点2　忽略基本不等式的应用条件而致错 3.(多选题)(2026湖南邵阳期中)下列选项正确的是(　　) A.若a≠0,则a+的最小值为4 B.若ab>0,则+的最小值为2 C.若正实数x,y满足x+2y=1,则+的最小值为8 D.若x∈R,则+的最小值为2 4.(2026上海长宁模拟)已知a,b,c均为正实数,且a(b+c)=1,则++的最小值为　　　　.  易错点3　忽略不等式中二次项系数的符号或讨论不当而致错 5.(2026山东菏泽一中月考)已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1<x<5},其中a,b,c为常数,则不等式cx2+bx+a≤0的解集是　　　　　　　.  6.(2026河北NT20联考)函数y=ax2-(1-2a)x-2(a∈R). (1)若命题p:∃x∈R,y>1-x为假命题,求实数a的取值范围; (2)求不等式y<0的解集. 易错点4　忽略不等式中的分母不为0而致错 7.(2026浙江温州期末)设集合A=x≤0,集合B={x|m-4<x≤3m+1}. (1)若m=1,求集合(∁RA)∪B; (2)若A∩B=⌀,求实数m的取值范围. 易错点5　混淆恒成立和能成立而致错 8.(2026四川南充高级中学期中)(1)已知命题p:∃x∈R,x2-ax+a+3≤0是真命题,求实数a的取值范围; (2)已知命题q:∀x∈{x|2≤x≤3},x2+4x-a<0恒成立是假命题,求实数a的取值范围. 专题专项练 思想方法练2 一、分类讨论思想在解不等式中的应用 1.(2026河南焦作阶段测试)(1)求不等式≤1的解集; (2)求关于x的不等式ax2+2x+1>0(其中a>0)的解集. 2.(2026江苏南京临江高级中学月考)设函数y=ax2+(1-a)x+a-2(a∈R). (1)若不等式y≥-2对一切实数x恒成立,求a的取值范围; (2)解关于x的不等式:y<a-1. 二、数形结合思想在解不等式中的应用 3.(多选题)(2025重庆第十八中学月考)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为常数)的图象开口向上,且对称轴为直线x=1,则下列选项正确的有(　　) A.|abc|+abc=0 B.当a≤x≤1-a时,ax2+bx+c的最大值为c-a2 C.关于x的不等式ax4+bx2>a(x2-2)2+b(x2-2)的解集为{x|x>或x<-} D.若关于x的函数t=x2+bx+1与关于t的函数y=t2+bt+1有相同的最小值,则|b-1|≥ 4.(2026上海曹杨中学期中)已知a∈Z,关于x的一元二次不等式x2-6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数,则所有符合条件的a的值之和是　　　　.  三、转化与化归思想在解不等式中的应用 5.(2026天津中学月考)已知关于x的不等式ax2+2bx+4≤0的解集为xm≤x≤,其中m<0,则b的最小值为(　　) A.-2　　B.1　　C.2　　D. 6.(2025四川达州中学月考)已知正数x,y满足2x+y-xy=0,若x(y+2)-4>m2+5m恒成立,求实数m的取值范围. 答案与分层梯度式解析 专题专项练 易混易错练2 1.D　对于A,如3>2,-3<0,显然3+(-3)<2+0,A不正确; 对于B,如3>2,-4>-5,显然3×(-4)<2×(-5),B不正确(易错点); 对于C,因为bc-ad>0,-=>0,所以ab>0,C不正确; 对于D,因为c>d>0,所以>>0,又a>b>0,所以>>0,所以>,D正确. 2.答案　-8≤7a-2b≤14 解析　易得7a-2b=2(3a-2b)+a+2b, 因为-2≤3a-2b≤5,-4≤a+2b≤4, 所以-8≤7a-2b≤14. 易错警示 利用几个代数式的范围求某一个代数式的范围时,不可多次运用不等式的性质(如:先运用不等式的性质由条件求出a,b的范围,再运用不等式的性质求结论),否则易扩大范围. 3.BC　对于A,当a<0时,a+=-≤-2=-4,当且仅当-a=,即a=-2时取等号,故A错误; 对于B,若ab>0,则,>0,则+≥2=2,当且仅当a=b时等号成立,故B正确; 对于C,若x,y>0,则+=(x+2y)=4++≥4+2=8,当且仅当=且x+2y=1,即x=,y=时等号成立,故C正确; 对于D,+≥2=2,当且仅当=时等号成立,但此时无实数解,故取不到最小值2(易错点),故D错误. 4.答案　4 解析　由a,b,c>0,a(b+c)=1可得b+c=,所以++=+a+. 令t=a+,则上式=t+. 当a>0时,a+≥2=2,当且仅当a=,即a=1时等号成立,所以t≥2, 则t+≥2=4, 当且仅当t=,即t=2,a=1时等号成立,所以++的最小值为4. 易错警示 利用基本不等式求最值时,在保证各项均为正的情况下,考虑由条件得出两项和或两项积为定值,注意必须验证是否可以取等. 5.答案　 解析　因为关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1<x<5}, 所以a<0,且-1,5是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根, 于是解得 则不等式cx2+bx+a≤0即为-5ax2-4ax+a≤0,即5x2+4x-1≤0(易错点),解得-1≤x≤,所以不等式cx2+bx+a≤0的解集是. 6.解析　(1)由命题p:∃x∈R,y>1-x为假命题,得命题¬p:∀x∈R,y≤1-x为真命题, 即不等式y≤1-x⇔ax2-(1-2a)x-2≤1-x⇔ax2+2ax-3≤0对任意x∈R恒成立. 当a=0时(易错点),-3≤0恒成立; 当a≠0时,则需解得-3≤a<0. 综上,实数a的取值范围是{a|-3≤a≤0}. (2)不等式y<0⇔ax2-(1-2a)x-2<0⇔(ax-1)(x+2)<0. 当a=0时(易错点),不等式为-x-2<0,解得x>-2. 当a>0时,不等式为(x+2)<0,解得-2<x<. 当a<0时,不等式为(x+2)>0, 当-<a<0时,<-2,解不等式得x<或x>-2; 当a=-时,不等式为(x+2)2>0,解得x≠-2; 当a<-时,>-2,解不等式得x<-2或x>. 综上,当a=0时,原不等式的解集为{x|x>-2};当a>0时,原不等式的解集为x-2<x<;当-<a<0时,原不等式的解集为xx<或x>-2;当a=-时,原不等式的解集为{x|x≠-2};当a<-时,原不等式的解集为xx<-2或x>. 易错警示 二次项系数含参题目,经常出现以下错误: (1)认定这个不等式就是一元二次不等式,忽视了对二次项系数为0时的讨论; (2)忽视了对根的大小的讨论,特别是等根的讨论; (3)只讨论根的大小关系,忽视了二次项系数的正负对图象开口方向的影响. 7.解析　(1)分式不等式≤0等价于 解得-2≤x<5,即A={x|-2≤x<5}, 则∁RA={x|x<-2或x≥5}. 当m=1时,B={x|1-4<x≤3×1+1}={x|-3<x≤4}, 则(∁RA)∪B={x|x≤4或x≥5}. (2)由(1)可知A={x|-2≤x<5}. 当B=⌀时,满足A∩B=⌀,此时m-4≥3m+1,解得m≤-;当B≠⌀时,由A∩B=⌀得 解得-<m<-1或m≥9. 综上,实数m的取值范围是{m|m<-1或m≥9}. 易错警示 把含等号的分式不等式化为整式不等式求解时,切记不要忽略分母不等于零这一条件. 8.解析　(1)因为p:∃x∈R,x2-ax+a+3≤0是真命题, 所以Δ=a2-4(a+3)=(a-6)(a+2)≥0, 解得a≤-2或a≥6. 所以实数a的取值范围为{a|a≤-2或a≥6}. (2)解法一:∀x∈{x|2≤x≤3},x2+4x-a<0恒成立,即a>x2+4x在x∈{x|2≤x≤3}上恒成立,故a>(x2+4x)max(易错点). x2+4x=(x+2)2-4,则(x2+4x)max=32+3×4=21,则a>21, 因为命题q为假命题,所以a≤21,故实数a的取值范围为{a|a≤21}. 解法二:由题知¬q:∃x∈{x|2≤x≤3},x2+4x-a≥0为真命题,即a≤x2+4x在x∈{x|2≤x≤3}上有解,故a≤(易错点). 由解法一得(x2+4x)max=21,则a≤21, 故实数a的取值范围为{a|a≤21}. 易错警示 一元二次不等式在实数集上能成立和恒成立问题,要注意结合一元二次函数图象的开口方向和一元二次方程的判别式综合考虑;一元二次不等式在某一段上能成立和恒成立问题,一般进行参变分离,转化为参数和最值的关系. 专题专项练 思想方法练2 1.解析　(1)由≤1,可得≤0, 不等式≤0⇔解得-2≤x<2. 所以不等式≤1的解集为{x|-2≤x<2}. (2)对于方程ax2+2x+1=0,Δ=4-4a. (不等式ax2+2x+1>0对应方程根的情况不确定,要对判别式Δ=4-4a是大于0、等于0还是小于0进行讨论) 当Δ=0,即a=1时,不等式为x2+2x+1>0,所以x≠-1,即不等式ax2+2x+1>0的解集为{x|x≠-1}; 当Δ<0,即a>1时,不等式的解集为R; 当Δ>0,即0<a<1时,由ax2+2x+1=0可得x1=,x2=, 所以不等式ax2+2x+1>0的解集为xx<或x>. 综上,当a=1时,不等式的解集为{x|x≠-1};当a>1时,不等式的解集为R;当0<a<1时,不等式的解集为xx<或x>. 2.解析　(1)y≥-2对一切实数x恒成立,等价于∀x∈R,ax2+(1-a)x+a≥0恒成立. (二次项系数含有参数的一元二次不等式恒成立问题,要分二次项系数为0与不为0两种情况讨论) 当a=0时,不等式为x≥0,不满足题意. 当a≠0时,有 即解得a≥. 综上,a的取值范围是. (2)依题意,y<a-1等价于ax2+(1-a)x-1<0. (解二次项系数含有参数的一元二次不等式时,要对二次项系数为正、为负、为0进行分类讨论) 当a=0时,不等式可化为x<1,所以不等式的解集为{x|x<1}. 当a>0时,不等式为(ax+1)(x-1)<0,即(x-1)<0,所以不等式的解集为. 当a<0时,不等式为(ax+1)(x-1)<0,即(x-1)>0, -与1都是正数,要对它们的大小进行分类讨论 ①当a=-1时,-=1,不等式的解集为{x|x≠1}; ②当-1<a<0时,->1,不等式的解集为xx>-或x<1; ③当a<-1时,-<1,不等式的解集为xx>1或x<-. 综上,当a<-1时,原不等式的解集为xx>1或x<-;当a=-1时,原不等式的解集为{x|x≠1};当-1<a<0时,原不等式的解集为;当a=0时,原不等式的解集为{x|x<1};当a>0时,原不等式的解集为. 思想方法 在本章中,分类讨论思想主要应用于解含参数的不等式,有以下几种情况: (1)二次项系数含参数且没有给出具体范围时,要分二次项系数大于0,等于0,小于0三种情况讨论; (2)对应方程的根无法判断大小时,要分类讨论; (3)若判别式含参数,则在确定解的情况时需分Δ>0,Δ=0,Δ<0三种情况进行讨论. 3.ACD　A选项,由二次函数的图象开口向上,得a>0,由对称轴为直线x=-=1,得b=-2a<0,由图象与y轴的交点在y轴正半轴上,得c>0, 所以abc<0,因此|abc|+abc=-abc+abc=0,因此A正确; B选项,因为a>0,所以1-a<1, 由函数y=ax2+bx+c的图象知,当a≤x≤1-a<1时, ax2+bx+c的最大值为a·a2+a·(-2a)+c=a3-2a2+c,因此B错误; C选项,因为b=-2a,所以ax4+bx2=ax4-2ax2,a(x2-2)2+b(x2-2)=ax4-4ax2+4a-2a(x2-2)=ax4-6ax2+8a, 故不等式ax4+bx2>a(x2-2)2+b(x2-2)可变形为4ax2-8a>0, 因为a>0,所以不等式为x2>2,解得x>或x<-,因此C正确; D选项,t=x2+bx+1=+1-,所以当x=-时,t取得最小值,最小值为1-,故t≥1-. y=t2+bt+1=+1-, (根据两函数有相同的最小值以及t的取值范围求解) 所以当t=-时,y取得最小值,最小值为1-,且-≥1-,因此b2-2b-4≥0,所以(b-1)2≥5,即|b-1|≥,因此D正确. 4.答案　21 解析　二次函数y=x2-6x+a的图象开口向上,对称轴为直线x=3,如图, 由图可知,若关于x的一元二次不等式x2-6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数,则这三个整数必为2,3,4, 故根据二次函数图象的对称性,可以不用列即解得5<a≤8, 又a∈Z,故a的值为6,7,8,则所有符合条件的a的值之和是6+7+8=21. 思想方法 利用数形结合思想解不等式,可以从图形上入手,将代数式转化为几何式,实现代数问题几何化.尤其在三个“二次”的关系中,解题时要充分利用二次函数的图象分析一元二次方程的根与一元二次不等式的解集. 5.C　(将不等式的解集的端点转化为对应一元二次方程的根) 由题意得a>0,方程ax2+2bx+4=0的两个根分别为m,, ∴m·=,m+=-, ∴a=1,b=--, ∵m<0,m≤,∴m≤-2, (根据根与系数的关系,将b转化为关于m的表达式,进而求出范围) ∴b=--=+≥2=2,当且仅当-=-,即m=-2时等号成立,∴b的最小值为2,经检验满足Δ=4b2-16a≥0. 6.解析　(不等式恒成立转化为求最值问题,x(y+2)-4>m2+5m恒成立,即[x(y+2)-4] min>m2+5m) 由2x+y-xy=0得y=xy-2x=x(y-2), ∵x>0,y>0,∴y-2>0,∴x=, ∴x(y+2)=(y+2)==y-2++6(根据等式换元,将双变量问题转化为单变量问题)≥4+6,当且仅当y-2=,即y=2+2时取“=”,∴x(y+2)-4≥6, ∴6>m2+5m,即m2+5m-6=(m+6)(m-1)<0,解得-6<m<1, ∴实数m的取值范围为{m|-6<m<1}. 思想方法 转化与化归思想在本章中的应用主要体现在不等式恒(能)成立问题与最值之间的转化,一元二次不等式与二次方程、二次函数之间的转化. 7 学科网（北京）股份有限公司 $