1.4-1.5常用逻辑用语 导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案围绕常用逻辑用语展开，涵盖充分条件、必要条件、充要条件及与集合的联系，全称量词与存在量词的概念、命题及否定。通过复习集合知识搭建学习支架，引导学生建立前后知识脉络，理解逻辑用语的本质。 资料亮点在于知识点归纳系统，结合集合深化理解，典型例题与变式题层次分明，练习题型多样。助力学生培养抽象能力（数学眼光）和推理意识（数学思维），提升用数学语言精确表达命题的能力，适合教学使用。

常用逻辑用语 1.4充分条件与必要条件 1.5全称量词与存在量词 【知识点归纳】 1、充分条件、必要条件与充要条件的概念和集合的联系 设，则 p是q的充分条件 p是q的必要条件 p是q的充要条件 且 p是q的充分不必要条件 且 是的必要不充分条件 且 是的既不充分也不必要条件 且 且 2.拓展：充分性必要性高考高频考点 （1）是的充分不必要条件且（标志：“是”，此时与正常顺序） （2）的充分不必要条件是且（标志：“的”此时与倒装顺序） （3）判断充分条件、必要条件：明确条件与结论；判断若p,则q是否成立时注意利用等价命题.；可以用反例说明由p推不出q,但不能用特例说明由p可以推出q. （4）【结论】关于数集间的充分必要条件满足：“小大”. 3.全称量词与存在量词 （1）全称量词短语“所有的”、“任意一个”通常叫做全称量词，用符号“” （2）存在量词短语“存在一个”、“至少有一个”通常叫做存在量词，用符号“” （3）全称量词命题及其否定（高频考点） ①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：. ②全称量词命题的否定：. （4）存在量词命题及其否定（高频考点） ①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：. ②存在量词命题的否定：. （5）常用的正面叙述词语和它的否定词语 正面词语 等于（） 大于（） 小于（） 是 否定词语 不等于（） 不大于（） 不小于（） 不是 正面词语 都是 任意的 所有的 至多一个 至少一个 否定词语 不都是 某个 某些 至少两个 一个也没有 【典型例题】 例1．（单选题）“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】 【解析】且能够推出，反之不能推出且， 所以“且”是“”的充分不必要条件.故选:. 【变式1】（单选题）已知条件：，：，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】，解得或，所以条件：或， 又条件：，因为条件的范围是条件的范围的一部分，所以是的充分不必要条件. 例2．（单选题）若p：是q：（）的必要而不充分条件，则实数a的值为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解析】p：，即或，q：∵，∴， 由题意知p：是q：（）的必要而不充分条件， 则，或，解得，或，故选：D. 【变式2】（单选题）设p：x<3，q：-1<x<3，则p是q成立的 A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件与必要条件的概念，即可判断出结果. 【解析】∵，∴，但，∴是成立的必要不充分条件，故选C. 例3．（单选题）命题“，”的否定是　　 A．， B．， C．， D．， 【答案】 【解析】解：由命题否定的定义可知，命题“，”的否定是“，”．故选：． 【变式3】命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据命题的否定的定义判断． 【详解】特称命题的否定是全称命题， 因此原命题的否定是：． 故选：D． 例4．（解答题）设集合，，，命题，命题． （1）当时，求集合与集合的并集； （2）若是的必要不充分条件，求正实数的取值范围． 【解析】（1）当时，，，故； （2），，， 若是的必要不充分条件，则，所以，解得，故的范围为． 【练 习】单选题（1-7） 1.命题 “若 ，则 ” 的否定是（   ） A． 若 ，则 B． C．若 ，则 D． 【答案】A 【分析】根据命题的否定即可得出结论 【解析】由命题的否定的定义可知“若 ，则 ” 的否定是若，则 . 故选：A 2．命题“，”的否定形式为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据全称量词命题的否定的定义，分析即可得答案. 【解析】命题“，”的否定是，. 故选：B 3．已知命题p：，则是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全称量词命题否定的定义改变量词，否定结论即可. 【解析】命题p：的否定为：， 故选：C. 4．命题p：，，则p的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据特称量词的否定选出答案即可. 【解析】命题p：，的否定是，， 故选：B． 5．已知，则“”是“”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由推出，满足充分性，而得或，所以“”是“”的充分不必要条件，故选A 【答案】 B 6．“”是“”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由“”得“，满足充分性，而得或1，所以“”是“”的充分不必要条件，故选A 7．已知命题，使命题为真命题的一个必要不充分条件可以是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】解：由，解得， 因为，，，命题的一个必要不充分条件可以是，故正确； 的一个充要条件可以是，故错误； 因为，命题的一个充分不必要条件可以是，故错误； 由得不出，也得不出， 命题的一个既不必要又不充分条件可以是，故错误．故选：． 8.（多选题）已知集合，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AD 【分析】根据元素与集合，集合与集合之间的关系，命题，存在量词以及全称量词的定义求解即可. 【解析】因为，，所以是的真子集， 所以，；，；即AD选项正确，BC选项错误. 故选：AD. 9．（多选题）下列结论中正确的是（    ） A．“”是“”的充要条件 B．设，是集合，则“”是“”的充要条件 C．“，且”是“”的充分不必要条件 D．设是集合，则“”是“”的充要条件 【答案】BC 【解析】对于A，由，得，所以“”是“”的充分条件； 由，得或，所以“”是“”的不必要条件； 所以“”是“”的充分不必要条件，故A错误； 对于B；由，得，所以“”是“”的充分条件； 由，得，所以“”是“”的必要条件； 所以“”是“”的充要条件，故B正确； 对于C；由，且，得，所以，且是的充分条件； 当时，有，但且， 所以，且是的不必要条件； 所以“，且”是“”的充分不必要条件，故C正确； 对于D，由，得或，所以是的不充分条件， 由，得，所以是的必要条件； 所以“”是“”的必要不充分条件，故D错误. 10.（填空题）已知命题p：，，若为假命题，求实数m的取值范围_____. 【答案】 【分析】若为假命题，则命题p为真命题，根据一元二次不等式在实数集上恒成立可得的取值范围. 【解析】∵为假命题，∴命题p为真命题，即在R上恒成立， ∴，解得，故实数m的取值范围为． 故答案为：. 11.（填空题）已知、，则“”是“”的__________条件 (从“充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件“中选一个） 【答案】既不充分也不必要条件 【解析】当时，不妨取，则，此时“”“”， 当时，不妨取，，则，此时“”“”， 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 12.（解答题）已知全集， ，． 若“”是“”的充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】 【解析】因为“”是“”的充分条件，所以， 所以， 即实数m的取值范围是． 13.（解答题）已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，求出集合，利用补集和交集的定义可求得集合； （2）分析可知是的真子集，分、两种情况讨论，结合集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【解析】（1）当时，集合，可得或， 因为，所以. （2）若“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 当时，即时，此时，满足是的真子集； 当时，则满足，解得， 当时，，此时是的真子集，合乎题意； 当时，，此时是的真子集，合乎题意. 综上，实数的取值范围为. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 常用逻辑用语 1.4充分条件与必要条件 1.5全称量词与存在量词 【知识点归纳】 1、充分条件、必要条件与充要条件的概念和集合的联系 设，则 p是q的充分条件 p是q的必要条件 p是q的充要条件 且 p是q的充分不必要条件 且 是的必要不充分条件 且 是的既不充分也不必要条件 且 且 2.拓展：充分性必要性高考高频考点 （1）是的充分不必要条件且（标志：“是”，此时与正常顺序） （2）的充分不必要条件是且（标志：“的”此时与倒装顺序） （3）判断充分条件、必要条件：明确条件与结论；判断若p,则q是否成立时注意利用等价命题.；可以用反例说明由p推不出q,但不能用特例说明由p可以推出q. （4）结论：关于数集间的充分必要条件满足：“小大”. 3.全称量词与存在量词 （1）全称量词短语“所有的”、“任意一个”通常叫做全称量词，用符号“” （2）存在量词短语“存在一个”、“至少有一个”通常叫做存在量词，用符号“” （3）全称量词命题及其否定（高频考点） ①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：. ②全称量词命题的否定：. （4）存在量词命题及其否定（高频考点） ①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：. ②存在量词命题的否定：. （5）常用的正面叙述词语和它的否定词语 正面词语 等于（） 大于（） 小于（） 是 否定词语 不等于（） 不大于（） 不小于（） 不是 正面词语 都是 任意的 所有的 至多一个 至少一个 否定词语 不都是 某个 某些 至少两个 一个也没有 【典型例题】 例1．（单选题）“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】（单选题）已知条件：，：，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例2．（单选题）若p：是q：（）的必要而不充分条件，则实数a的值为（    ） A． B．或 C． D．或 【变式2】（单选题）设p：x<3，q：-1<x<3，则p是q成立的 A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 例3．（单选题）命题“，”的否定是　　 A．， B．， C．， D．， 【变式3】（单选题）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 例4．（解答题）设集合，，，命题，命题． （1）当时，求集合与集合的并集； （2）若是的必要不充分条件，求正实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【练 习 】（1-7单选题） 1.命题 “若 ，则 ” 的否定是（   ） A． 若 ，则 B． C．若 ，则 D． 2．命题“，”的否定形式为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．已知命题p：，则是（   ） A． B． C． D． 4．命题p：，，则p的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 5．已知，则“”是“”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．“”是“”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知命题，使命题为真命题的一个必要不充分条件可以是　　 A． B． C． D． 8.（多选题）已知集合，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 9.（多选题）下列结论中正确的是（    ） A．“”是“”的充要条件 B．设，是集合，则“”是“”的充要条件 C．“，且”是“”的充分不必要条件 D．设是集合，则“”是“”的充要条件 10.（填空题）已知命题p：，，若为假命题，求实数m的取值范围_____. 11.（填空题）已知、，则“”是“”的__________条件 (从“充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件”选一个） 12.（解答题）已知全集， ，． 若“”是“”的充分条件，求实数m的取值范围． 13.（解答题）已知集合，. (1)若，求；(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $