1.5.2全称量词命题与存在量词命题的否定导学-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦“全称量词命题和存在量词命题的否定”，通过生活情境（如班主任考试情况）导入，预习导学回顾旧知（命题形式、真假关系），搭建新旧知识支架，引导学生理解否定规则。 特色在于情境化探究与逻辑推理结合，通过生活实例抽象数学问题，培养用数学眼光观察现实世界，典例与口诀帮助规范表达，提升数学语言能力，完整的预习、探究、达标流程助力自主学习，发展逻辑推理核心素养。

💫 数学 · 人教A版（2019）必修第一册 §1.5.2 全称量词命题与存在量词命题的否定 1.5.2 《全称量词命题和存在量词命题的否定》 导学案 💫数学人教A版（2019）必修一💫 课 题 1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定 课 时 第1课时 班 级 _______________ 姓 名 _______________ 🎯 【课标要求】 1. 理解全称量词命题、存在量词命题的否定的含义； 2. 能正确地对含有一个量词的命题进行否定； 3. 体会量词命题的否定在数学表达与逻辑推理中的作用，提升逻辑推理核心素养。 ⭐ 【重点难点】 学习重点：全称量词命题与存在量词命题的否定规则及应用。 学习难点：对省略量词的命题的否定；命题否定后真假性的判断。 📖 【预习导学】 ◆ 一、知识回顾 1. 全称量词命题的基本形式是： ∀x∈M, p(x). 2. 存在量词命题的基本形式是： ∃x∈M, p(x). 3. 一个命题与它的否定不能同时为真，也不能同时为假，二者必有 。 ◆ 二、新知初探 知识点一：全称量词命题的否定 一般地，要否定一个全称量词命题“∀x∈M, p(x)”，只需在给定集合中找到一个元素 x，使得 p(x)不成立，也就是存在量词命题： ① ∃x∈M, ¬p(x). 结论：全称量词命题的否定是 量词命题（选填：全称 / 存在）。 知识点二：存在量词命题的否定 要否定一个存在量词命题“∃x∈M, p(x)”，需要验证对给定集合 M 中的每一个元素 x，p(x)都不成立，也就是全称量词命题： ② ∀x∈M, ¬p(x). 结论：存在量词命题的否定是 量词命题（选填：全称 / 存在）。 口诀：改量词，否结论；量词互换，真假相反。 ◆ 三、预习疑惑 通过预习，你对哪一部分还有疑问？请写下来，课上我们一起解决～ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ 🔍 【合作探究】 ◆ 探究一：生活情境中的量词命题否定 【情境】期中考试结束后，班主任在班会上说： 　“我们班每一位同学都通过了本次数学考试。” 【问题1】班主任说的这句话是全称量词命题还是存在量词命题？把它写成“∀/∃…, p(x)”的形式。 ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ 【问题2】如果有一位同学小明没有及格，班主任的话还成立吗？你能用一句话说明班主任的判断是错的吗？ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ 【问题3】另一位同学反驳说：“我们班有同学没有通过数学考试”，这句话与班主任的话是什么关系？把它也写成“∀/∃…, p(x)”的形式。 ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ◆ 探究二：省略量词的命题的否定 【思考】我们平时说的很多命题表面上没有量词，但实际上都可以补全量词。例如“矩形的对角线相等”，其实是说“所有矩形的对角线都相等”，是省略了量词的全称量词命题。 【问题4】请判断下列命题是全称还是存在量词命题（补全量词），并写出它们的否定，再判断否定后的真假： 序号 命题 类型 命题的否定 (1) 正方形都是菱形。 (2) 有些实数 x 满足 x²−3x+2=0。 (3) 能被 4 整除的整数都是偶数。 (4) 存在一个三角形，它的内角和不等于 180°。 💡 【典例精析】 例1（全称量词命题的否定） 写出下列全称量词命题的否定，并判断原命题与否定的真假： (1) p：所有可以被 3 整除的整数都是奇数； (2) p：每一个四边形的四个顶点都共圆； (3) p：对任意 x∈Z，x² 的个位数字都不等于 2； (4) p：∀x∈R，x²+2x+2 ≥ 1。 【分析】先确认命题为全称量词命题，再按“∀ → ∃、肯定结论 → 否定结论”两步书写。 ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ 例2（存在量词命题的否定） 写出下列存在量词命题的否定，并判断原命题与否定的真假： (1) p：存在 x∈R，使得 x²+2x+3=0； (2) p：有些素数是偶数； (3) p：∃x∈R，|x| > x； (4) p：存在一个实数对 (x,y)，使方程 2x+3y=10 成立。 【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，注意“存在”→“任意”，并否定结论。 ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ✏️ 【当堂达标】 （建议用时：10 分钟） 1. 全称量词命题“所有能被 6 整除的整数都是 3 的倍数”的否定是（　　） 2. 命题“若 x>2，则 x²>4”是省略了量词的全称量词命题，则它的否定为（　　） 3. 已知命题 p：方程 x²−4x+3a=0 有正实数根，则 ¬p 为（　　） 4. 命题“∃x∈N，x²+x ≤ 2”的否定是（　　） 5. 已知命题 p：存在一个无理数，它的平方是有理数。则下列说法正确的是（　　） 📝 【课堂小结 & 课后作业】 🧠 知识框架 📚 课后作业 命题类型 否定形式 否定后类型 ∀x∈M, p(x) → ∃x∈M, ¬p(x) ∃x∈M, p(x) → ∀x∈M, ¬p(x) 口诀：改量词，否结论；量词互换，真假相反。 请用自己的话梳理本节知识要点： ____________________________________ ____________________________________ 📌 必做题：教材 P30 习题 1.5 第 3、4 题 📌 选做题：已知命题 p：∃x∈R，x²+ax+1 ≤ 0，若 ¬p 是真命题，求实数 a 的取值范围。 🌟 【学习反思】 💡 今日收获： ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ❓ 存在困惑： ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ✨ 数学是思维的体操，量词是逻辑的钥匙。 · 第 7 页 · 学科网（北京）股份有限公司 $💫 数学 · 人教A版（2019）必修第一册 §1.5.2 全称量词命题与存在量词命题的否定 1.5.2 《全称量词命题和存在量词命题的否定》 导学案（含解析） 💫数学人教A版（2019）必修一💫 课 题 1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定 课 时 第1课时 班 级 _______________ 姓 名 _______________ 🎯 【课标要求】 1. 理解全称量词命题、存在量词命题的否定的含义； 2. 能正确地对含有一个量词的命题进行否定； 3. 体会量词命题的否定在数学表达与逻辑推理中的作用，提升逻辑推理核心素养。 ⭐ 【重点难点】 学习重点：全称量词命题与存在量词命题的否定规则及应用。 学习难点：对省略量词的命题的否定；命题否定后真假性的判断。 📖 【预习导学】 ◆ 一、知识回顾 1. 全称量词命题的基本形式是： ∀x∈M, p(x). 2. 存在量词命题的基本形式是： ∃x∈M, p(x). 3. 一个命题与它的否定不能同时为真，也不能同时为假，二者必有 。 ◆ 二、新知初探 知识点一：全称量词命题的否定 一般地，要否定一个全称量词命题“∀x∈M, p(x)”，只需在给定集合中找到一个元素 x，使得 p(x)不成立，也就是存在量词命题： ① ∃x∈M, ¬p(x). 结论：全称量词命题的否定是 量词命题（选填：全称 / 存在）。 知识点二：存在量词命题的否定 要否定一个存在量词命题“∃x∈M, p(x)”，需要验证对给定集合 M 中的每一个元素 x，p(x)都不成立，也就是全称量词命题： ② ∀x∈M, ¬p(x). 结论：存在量词命题的否定是 量词命题（选填：全称 / 存在）。 口诀：改量词，否结论；量词互换，真假相反。 ◆ 三、预习疑惑 通过预习，你对哪一部分还有疑问？请写下来，课上我们一起解决～ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ 🔍 【合作探究】 ◆ 探究一：生活情境中的量词命题否定 【情境】期中考试结束后，班主任在班会上说： 　“我们班每一位同学都通过了本次数学考试。” 【问题1】班主任说的这句话是全称量词命题还是存在量词命题？把它写成“∀/∃…, p(x)”的形式。 ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ 【问题2】如果有一位同学小明没有及格，班主任的话还成立吗？你能用一句话说明班主任的判断是错的吗？ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ 【问题3】另一位同学反驳说：“我们班有同学没有通过数学考试”，这句话与班主任的话是什么关系？把它也写成“∀/∃…, p(x)”的形式。 ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ◆ 探究二：省略量词的命题的否定 【思考】我们平时说的很多命题表面上没有量词，但实际上都可以补全量词。例如“矩形的对角线相等”，其实是说“所有矩形的对角线都相等”，是省略了量词的全称量词命题。 【问题4】请判断下列命题是全称还是存在量词命题（补全量词），并写出它们的否定，再判断否定后的真假： 序号 命题 类型 命题的否定 (1) 正方形都是菱形。 (2) 有些实数 x 满足 x²−3x+2=0。 (3) 能被 4 整除的整数都是偶数。 (4) 存在一个三角形，它的内角和不等于 180°。 💡 【典例精析】 例1（全称量词命题的否定） 写出下列全称量词命题的否定，并判断原命题与否定的真假： (1) p：所有可以被 3 整除的整数都是奇数； (2) p：每一个四边形的四个顶点都共圆； (3) p：对任意 x∈Z，x² 的个位数字都不等于 2； (4) p：∀x∈R，x²+2x+2 ≥ 1。 【分析】先确认命题为全称量词命题，再按“∀ → ∃、肯定结论 → 否定结论”两步书写。 ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ 例2（存在量词命题的否定） 写出下列存在量词命题的否定，并判断原命题与否定的真假： (1) p：存在 x∈R，使得 x²+2x+3=0； (2) p：有些素数是偶数； (3) p：∃x∈R，|x| > x； (4) p：存在一个实数对 (x,y)，使方程 2x+3y=10 成立。 【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，注意“存在”→“任意”，并否定结论。 ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ✏️ 【当堂达标】 （建议用时：10 分钟） 1. 全称量词命题“所有能被 6 整除的整数都是 3 的倍数”的否定是（　　） 2. 命题“若 x>2，则 x²>4”是省略了量词的全称量词命题，则它的否定为（　　） 3. 已知命题 p：方程 x²−4x+3a=0 有正实数根，则 ¬p 为（　　） 4. 命题“∃x∈N，x²+x ≤ 2”的否定是（　　） 5. 已知命题 p：存在一个无理数，它的平方是有理数。则下列说法正确的是（　　） 📝 【课堂小结 & 课后作业】 🧠 知识框架 📚 课后作业 命题类型 否定形式 否定后类型 ∀x∈M, p(x) → ∃x∈M, ¬p(x) ∃x∈M, p(x) → ∀x∈M, ¬p(x) 口诀：改量词，否结论；量词互换，真假相反。 请用自己的话梳理本节知识要点： ____________________________________ ____________________________________ 📌 必做题：教材 P30 习题 1.5 第 3、4 题 📌 选做题：已知命题 p：∃x∈R，x²+ax+1 ≤ 0，若 ¬p 是真命题，求实数 a 的取值范围。 🌟 【学习反思】 💡 今日收获： ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ❓ 存在困惑： ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ✨ 数学是思维的体操，量词是逻辑的钥匙。 🎁 【精美答案参考 · 教师讲评版】 《1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定》 一、预习导学答案 ◆ 知识回顾 3： 一真一假（即矛盾关系，真假相反）。 ◆ 新知初探 知识点一结论： 存在； 知识点二结论： 全称。 二、合作探究答案 【探究一】 问题1：全称量词命题。补全后写成：∀x∈{我们班同学}，x 通过了数学考试。 问题2：班主任的话不成立；只要存在至少一位同学没及格，就能推翻她的说法（即只需一个反例）。 问题3：是原命题的否定。写成：∃x∈{我们班同学}，x 没有通过数学考试。 【探究二】 (1) 补全：所有正方形都是菱形（全称量词命题）。否定：存在一个正方形不是菱形——假命题。 (2) 存在量词命题。否定：∀x∈R，x²−3x+2 ≠ 0——假命题（x=1 或 x=2 时等式成立）。 (3) 补全：所有能被 4 整除的整数都是偶数（全称量词命题）。否定：存在一个能被 4 整除的整数不是偶数——假命题。 (4) 存在量词命题。否定：所有三角形的内角和都等于 180°——真命题。 三、典例精析详解 【例1】全称量词命题的否定——改∀为∃，否结论。 (1) ¬p：存在一个能被 3 整除的整数不是奇数（例如 6）。 p 为 假（反例 6,12,…），¬p 为 真。 (2) ¬p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆（例如非圆内接四边形）。 p 为 假，¬p 为 真。 (3) ¬p：∃x∈Z，使 x² 的个位数字等于 2。 由于 0²~9² 个位数只能是 0,1,4,5,6,9，不可能出现 2，故 ¬p 为 假；从而 p 为 真。 (4) ¬p：∃x∈R，使 x²+2x+2 < 1，即 (x+1)² < 0，显然不可能。 ¬p 为 假，p 为 真。 【例2】存在量词命题的否定——改∃为∀，否结论。 (1) ¬p：∀x∈R，x²+2x+3 ≠ 0。因为 x²+2x+3=(x+1)²+2 ≥ 2 > 0，故 ¬p 为 真，p 为 假。 (2) ¬p：所有素数都不是偶数。但是 2 是素数又是偶数，故 ¬p 为 假；p 为 真。 (3) ¬p：∀x∈R，|x| ≤ x。当 x<0 时 |x|=−x>x（例如 x=−1，|−1|=1>−1），故 ¬p 为 假；p 为 真。 (4) ¬p：∀(x,y)∈R²，2x+3y ≠ 10。但 (2,2) 使等式成立（2·2+3·2=10），故 ¬p 为 假；p 为 真。 四、当堂达标答案与解析 1. 【答案】存在一个能被6整除的整数不是 3 的倍数。 2. 【答案】∃x>2，使 x² ≤ 4。 3. 【答案】∀a∈R”，方程 x²−4x+3a=0没有正实根。 4. 【答案】∀x∈N， x²+x > 2。 5. 【答案】∀x 为无理数，x²∉Q。 五、课后作业·选做题提示 已知 p：∃x∈R，x²+ax+1 ≤ 0，¬p 为真，即 ∀x∈R，x²+ax+1 > 0。 由二次函数恒正的条件，需判别式 Δ = a² − 4 < 0，解得 −2 < a < 2。 —— 答案区 END · 祝学有所获！—— · 第 7 页 · 学科网（北京）股份有限公司 $