第二十七讲 正弦函数、余弦函数的图像 导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦正弦函数、余弦函数的图像，通过关联指数、对数函数“定义→图像→性质”的研究思路，以三角函数周期性为切入点，搭建“五点法”作图支架，引导学生从一个周期图像到整体图像的绘制。 资料以知识脉络清晰、题型分类系统为特色，涵盖五点法作图、图像变换等必考题型，通过分层练习培养学生几何直观的数学眼光和推理意识的数学思维，助力学生掌握作图技能与图像分析能力。

第二十七 讲 正弦函数、余弦函数的图像 【学习目标】借助单位圆能画出正弦函数、余弦函数的图象． 【学习重点】正弦、余弦函数的图象． 【学习难点】正弦函数的作图. 必掌握知识点 一、研究函数的一般思路 研究新基本初等函数流程：定义 → 函数图象 → 函数性质（定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性等） 1.指数、对数函数研究思路：先确定定义域，列表描点画出函数图象，再结合图象分析函数各类性质。 2.画新函数图象基础方法：描点法。 3.三角函数特殊点：三角函数具有周期性，，，角每旋转，函数值重复。因此只需要先研究一个周期内图象，再周期性延拓得到整个定义域上的图象。 二. 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 （1）在正弦函数，的图象中，五个关键点是：．描点后光滑连线，快速画出简图 根据上述分析，如何具体地作出点 对任意角，在单位圆作出角，得到终边上点，纵坐标即为； 将该纵坐标平移到直角坐标系横坐标处，得到点； 取大量这样的点，光滑连接，得到上正弦函数图象，定义域，利用周期性，把上图象左右不断平移，得到全体实数上图象。 （2）在余弦函数，的图象中，五个关键点是：．描点后光滑连线，快速画出简 必考题型全归纳： 题型一：五点法作正弦、余弦函数图像 五点法原理：对于、，令依次取，解出对应的，得到五个关键点，描点后用平滑曲线连接，画出一个周期内图像。 基础五个关键点：。 基础五个关键点：。 1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 （1）正弦函数，的图象中，五个关键点是：，，，________，． （2）余弦函数，的图象中，五个关键点是：，，_______，，． 2．用“五点法”画函数的图像时，首先应描出五点的横坐标是（   ） A． B． C． D． 3．函数，的简图是（    ） A． B． C． D． 4．用“五点法”画函数的图象时，应描出的五个点的横坐标依次是（    ） A． B． C． D． 题型二：三角函数图像变换（平移、上下伸缩、左右伸缩） 上下平移：，向上，向下； 上下伸缩（振幅变换）：，纵向伸缩倍，振幅； 左右平移：，左加右减； 左右伸缩（周期变换）：，横坐标变为原来倍，周期。 易错：左右平移是对x 本身做加减，不是对加减 5．函数，其中，（），（a，），它的图象如图所示，则的解析式为（   ） A．， B．， C．， D．， 6．设a是实数，则函数的图象可能是（    ） A．B． C．D． 7.利用图象变换作出函数，的简图． 题型三：带绝对值的正、余弦函数图像 ：把图像 x 轴下方部分翻折到 x 轴上方；周期变为；值域。 ：把图像 x 轴下方部分翻折到 x 轴上方；周期变为；值域。 ：偶函数，保留图像，把部分沿 y 轴对称复制到，不再是周期函数。 8．函数，的图像与直线有且仅有两个不同的交点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 9．函数的图象是（    ） A． B． C． D． 10．作出函数，的图象； 题型四：正弦、余弦函数对称性（关于 x 轴、y 轴对称） 判断两个函数图像是否关于 y 轴对称：将替换为，看是否等于另一个函数； 判断两个函数图像是否关于 x 轴对称：将替换为； 是偶函数，图像关于 y 轴对称；是奇函数，图像关于原点对称。 11．有下列四个命题： ①与的图像关于y轴对称； ②与的图像关于x轴对称； ③与图像相同； ④与图像关于y轴对称． 其中所有正确命题的序号为________． 题型五：正弦余弦基础性质（周期、振幅、值域、圆频率） 对于， 振幅：；圆频率：；周期； 值域：； 奇偶性：看； 零点：令解三角方程。 12．设为常数，且满足，且的的值只有一个，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C．1或2 D．0或2 13．函数在上的图象是（   ） A．B．C．D． 巩固提升： 1．“五点法”作函数的简图 （1）定点：如表所示． ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ 0 0 0 （2）作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到在一个周期内的图像． （3）扩展：将所得图像，按周期向两侧扩展可得在上的图像． 2．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图 （1）在正弦函数，的图象中，五个关键点是：，，______，，． （2）在余弦函数，的图象中，五个关键点是：，，______，，． 3．正弦函数图像的画法． ①几何法： （ⅰ）利用正弦线画出的图象； （ⅱ）将图象向左、向右平行移动（每次个单位长度）． ②“五点法”： （ⅰ）画出正弦曲线在上的图象的五个关键点，______，，______，，用光滑的曲线连接； （ⅱ）将所得图象向左、向右平行移动（每次个单位长度）． 4．方程的根的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 5．已知函数，在内的解的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（多选）函数与有一个交点，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 7．当时，函数与的图象所有交点横坐标之和为________． 8．已知函数， (1)用五点法画函数的图象； (2)讨论函数图象与直线（为常数）的交点个数. 9．画出下列函数在区间上的图象： (1)； (2)； (3)．    10．用“五点法”作出函数，的大致图象，并写出使得 的的取值范围. 11．用五点描点法作下列函数的图像： （1）； （2）. 12．用“五点法”作出下列函数的简图： (1)； (2)； (3)． 13．作出下列函数的大致图像： (1)，. (2). 14．用“五点法”作出下列函数的简图： (1)； (2). 15．已知函数，图象如下： (1)若，求的值； (2)若，讨论方程的解的个数. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十七 讲 正弦函数、余弦函数的图像 【学习目标】借助单位圆能画出正弦函数、余弦函数的图象． 【学习重点】正弦、余弦函数的图象． 【学习难点】正弦函数的作图. 必掌握知识点 一、研究函数的一般思路 研究新基本初等函数流程：定义 → 函数图象 → 函数性质（定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性等） 1.指数、对数函数研究思路：先确定定义域，列表描点画出函数图象，再结合图象分析函数各类性质。 2.画新函数图象基础方法：描点法。 3.三角函数特殊点：三角函数具有周期性，，，角每旋转，函数值重复。因此只需要先研究一个周期内图象，再周期性延拓得到整个定义域上的图象。 二. 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 （1）在正弦函数，的图象中，五个关键点是：．描点后光滑连线，快速画出简图 根据上述分析，如何具体地作出点 对任意角，在单位圆作出角，得到终边上点，纵坐标即为； 将该纵坐标平移到直角坐标系横坐标处，得到点； 取大量这样的点，光滑连接，得到上正弦函数图象，定义域，利用周期性，把上图象左右不断平移，得到全体实数上图象。 （2）在余弦函数，的图象中，五个关键点是：．描点后光滑连线，快速画出简 必考题型全归纳： 题型一：五点法作正弦、余弦函数图像 五点法原理：对于、，令依次取，解出对应的，得到五个关键点，描点后用平滑曲线连接，画出一个周期内图像。 基础五个关键点：。 基础五个关键点：。 1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 （1）正弦函数，的图象中，五个关键点是：，，，________，． （2）余弦函数，的图象中，五个关键点是：，，________，，． 【答案】 2．用“五点法”画函数的图像时，首先应描出五点的横坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由正弦函数的五点作图法，可得描出的五点的横坐标与函数的五点的横坐标相同，即五个点的横坐标分别为. 3．函数，的简图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用五点作图法可得出函数，的简图. 【详解】列表： 观察各图象发现A项符合．故选：A. 4．用“五点法”画函数的图象时，应描出的五个点的横坐标依次是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦函数的图象与性质，分析即可得答案. 【详解】所描出的五个点的横坐标与函数的五个点的横坐标相同，即，． 题型二：三角函数图像变换（平移、上下伸缩、左右伸缩） 上下平移：，向上，向下； 上下伸缩（振幅变换）：，纵向伸缩倍，振幅； 左右平移：，左加右减； 左右伸缩（周期变换）：，横坐标变为原来倍，周期。 易错：左右平移是对x 本身做加减，不是对加减 5．函数，其中，（），（a，），它的图象如图所示，则的解析式为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】将点与的坐标代入函数表达式，建立关于的方程组即可求解. 【详解】点与代入中， 可得，解得，.故选：A． 6．设a是实数，则函数的图象可能是（    ） A．B． C．D． 【答案】A 【分析】，再利用正弦型函数的最值再结合其最小正周期的公式逐项分析即可. 【详解】，显然， 对A，由图知，根据，则，则，则， 则其最小正周期，其最小值应为，则A中图象满足题意； 对B，显然因为不恒为0，则B错误； 对C，由图知，根据A可知，但图中其最小正周期小于，故矛盾，故C错误； 对D，由图知，则，则， 则其最小正周期，但由图易知其最小正周期大于，故矛盾，则D错误； 故选：A. 7.利用图象变换作出函数，的简图． 【答案】，为偶函数，首先作出函数，的图象，再将的图象作出关于y轴对称的图象，即得的部分． 如图所示即为所求图象． 【分析】该函数为偶函数，时图象与在上的图象一致， 时图象为部分沿轴反射所得，关键点为 ，，，， ，，，，，光滑连接各点即可得简图． 题型三：带绝对值的正、余弦函数图像 ：把图像 x 轴下方部分翻折到 x 轴上方；周期变为；值域。 ：把图像 x 轴下方部分翻折到 x 轴上方；周期变为；值域。 ：偶函数，保留图像，把部分沿 y 轴对称复制到，不再是周期函数。 8．函数，的图像与直线有且仅有两个不同的交点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵ 当时，，∴ ， ∴ ，此时. ∵ 当时，，∴ ， ∴ ，此时.画出的大致图像如图所示： 观察图象可得，要想有且仅有两个交点，则. 9．函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦函数的值域及函数图像的平移变换规律，结合特殊点坐标进行判断. 【详解】 由正弦函数的性质可知 ， 所以 ， 即函数 的值域为 ， 这意味着函数的图像应全部位于 轴上方（包含与 轴相切的情况），且最大值为 ， 观察四个选项： A 选项：图像过原点，且有负值，不符； B 选项：图像有负值，不符； D 选项：图像过原点，且有负值，不符； C 选项：图像全部在 轴上方，最大值为 ，且当 时 ，符合函数 的特征. 10．作出函数，的图象； 【答案】 【分析】结合正弦函数的图像，运用分段函数的方式逐个作图. 【详解】易知则的图象如图所示： 题型四：正弦、余弦函数对称性（关于 x 轴、y 轴对称） 判断两个函数图像是否关于 y 轴对称：将替换为，看是否等于另一个函数； 判断两个函数图像是否关于 x 轴对称：将替换为； 是偶函数，图像关于 y 轴对称；是奇函数，图像关于原点对称。 11．有下列四个命题： ①与的图像关于y轴对称； ②与的图像关于x轴对称； ③与图像相同； ④与图像关于y轴对称． 其中所有正确命题的序号为________． 【答案】③④ 【分析】利用正余弦函数的图象与性质可判断结论. 【详解】是偶函数，是奇函数，与的图像不关于y轴对称，①错误； 是偶函数，是保留在轴上方的图像，下方翻折到轴上方， 而是奇函数，与的图像不关于x轴对称，②错误； ，是偶函数等价于；故与图像相同，③正确 是偶函数等价于，与图像关于轴对称，④正确. 故答案为：③④. 题型五：正弦余弦基础性质（周期、振幅、值域、圆频率） 对于， 振幅：；圆频率：；周期； 值域：； 奇偶性：看； 零点：令解三角方程。 12．设为常数，且满足，且的的值只有一个，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C．1或2 D．0或2 【答案】D 【分析】利用五点作图法作出，的函数图象，依题意与在上只有1个交点，结合图象即可求出参数的值. 【详解】因为，列表： 1 0 1 2 1 描点、连线，函数图象如下图所示： 因为，且的值只有一个，所以与在上只有1个交点，结合图象可知或.故选：D 13．函数在上的图象是（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】利用排除法即可求解. 【详解】取，则，排除BCD选项，故只有A选项符合题意. 巩固提升： 1．“五点法”作函数的简图 （1）定点：如表所示． ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ 0 0 0 （2）作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到在一个周期内的图像． （3）扩展：将所得图像，按周期向两侧扩展可得在上的图像． 【答案】 0 2．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图 （1）在正弦函数，的图象中，五个关键点是：，，______，，． （2）在余弦函数，的图象中，五个关键点是：，，______，，． 【答案】 3．正弦函数图像的画法． ①几何法： （ⅰ）利用正弦线画出的图象； （ⅱ）将图象向左、向右平行移动（每次个单位长度）． ②“五点法”： （ⅰ）画出正弦曲线在上的图象的五个关键点，______，，______，，用光滑的曲线连接； （ⅱ）将所得图象向左、向右平行移动（每次个单位长度）． 【答案】 4．方程的根的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】在同一坐标系中，画出和的函数图象求解. 【详解】画出和的函数图象， 因为，， 结合图象可得函数与函数图像的交点个数是5个.故选：A 5．已知函数，在内的解的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】方程，令，则.由得，. 因为，且，，当时，，不满足，所以只能取，则或，在区间内： 有两个解，分别位于和内； 有两个解，分别位于和内.所以方程在内共有4个解. 如图： 6．（多选）函数与有一个交点，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】BD 【分析】根据函数图象的交点个数，即可结合图象求解. 【详解】画出的图象. 如图：直线和与的图象只有一个交点，    故或.故选：BD. 7．当时，函数与的图象所有交点横坐标之和为________． 【答案】 【分析】作出函数和在上的图象，通过图象即可求出交点横坐标． 【详解】作出函数和在上的图象如下图所示： 从图象上可得：函数的图象和的图象在、内各有一个交点： 当时，由得，即，得； 当时，由得，得，得， 所有交点横坐标之和为. 故答案为：. 8．已知函数， (1)用五点法画函数的图象； (2)讨论函数图象与直线（为常数）的交点个数. 【答案】(1) (2)当或时，有0个交点；当或时，有1个交点；当或时，有2个交点；当时，有3个交点. 【分析】（1）根据五点法及正弦函数的五点，列表、描点、连线，画出图象； （2）先根据图象再分情况数形结合得出个数即可. 【详解】（1）由题意，列表： 0 1 0 -1 0 1 2 1 1 根据五点，作图   （2）其图象如图：    观察图象得：当或时，有0个交点； 当或时，有1个交点； 当或时，有2个交点； 当时，有3个交点. 9．画出下列函数在区间上的图象： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)    (2)    (3)    【分析】利用五点法即可作出函数的图象. 【详解】（1）按五个关键点列表： 2 描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示    （2）按五个关键点列表： 2 描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示    （3）按五个关键点列表： 2 描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示    10．用“五点法”作出函数，的大致图象，并写出使得 的的取值范围. 【答案】图像答案见解析，. 【分析】根据五点作图法的方法画图，再计算，的零点，进而根据图象直接求解使的 的取值范围即可. 【详解】解：列出函数图像上的五个关键点，如下表所示． 0 画出函数图象，如图所示： 令，有， 解得：， 令，有， 解得：， 由图可知：当时，有 . 11．用五点描点法作下列函数的图像： （1）； （2）. 【答案】（1）图象见解析； （2）图象见解析. 【分析】根据三角函数的五点法作图的规则，列表、描点、连线，即可求解. 【详解】（1）由题意，利用五点法作出函数的简图： 列表： 0 1 0 -1 0 1 0 1 2 1 描点、连线，可得函数的图象，如图所示， （2）由函数， 列表： 0 -1 0 1 0 1 0 1 2 1 描点、连线，可得函数的图象，如图所示， 12．用“五点法”作出下列函数的简图： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) 找关键的五个点，列表如下： 0 0 1 0 －1 0 0 －1 0 1 0 描点作图，如图所示． (2) 找关键的五个点，列表如下： 0 0 1 0 －1 0 0 1 0 1 0 描点并用光滑的曲线将它们连接起来，通过平移得到的图像，如图所示． (3) 找关键的五个点，列表如下： 0 0 1 0 －1 0 －1 1 －1 －3 －1 描点作图，如图所示． 【分析】（1）利用五点作图法作图； （2）利用五点作图法作图； （3）利用五点作图法作图. 13．作出下列函数的大致图像： (1)，. (2). 【答案】(1) (2) 【分析】分析函数的性质，结合正弦曲线、余弦曲线的“五点法”，可作出函数图象. 【详解】（1）因为的定义域为，关于原点对称， ，故为偶函数， 又，所以函数是以为周期的周期函数. 列表 x 0 0 1 0 作图：先作出的图象，又原函数是偶函数，且周期为，将图象向两边延伸，即可得函数，的图象. （2）按五个关键点列表： 0 1 0 0 1 0 1 2 1 0 描点，并将它们用光滑的曲线连接起来（如图）： 14．用“五点法”作出下列函数的简图： (1)； (2). 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析. 【分析】（1）列表,令，求出函数值，描点连线可得； （2）列表,令，求出函数值，描点连线可得； 【详解】（1）按五个关键点列表： 0 0 1 0 0 描点，并将它们用光滑的曲线连接起来（如图）：    （2）按五个关键点列表： 0 1 0 0 1 0 1 2 1 0 描点，并将它们用光滑的曲线连接起来（如图）：    15．已知函数，图象如下： (1)若，求的值； (2)若，讨论方程的解的个数. 【答案】(1)或或 (2) 当或时，解的个数为0； 当或时，解的个数为1； 当时，解的个数为3. 【分析】（1）根据正余弦函数的图像和性质求解； （2）的解的个数就是函数和的交点个数. 【详解】（1）的函数图象如下： 当时，，解得， 当时，，解得或， 综上，或或； （2）方程的解的个数等价于与的图象的交点个数， 则由（1）中函数图象可得， 当或时，解的个数为0； 当或时，解的个数为1； 当时，解的个数为3. 学科网（北京）股份有限公司 $