25.1 一元二次方程的概念 课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

这是一份初中数学人教版九年级上册的同步教学课件，聚焦第二十五章“一元二次方程”的25.1节，以问题情境、活动探究为学习支架，系统讲解一元二次方程的概念、一般形式及根的定义，包含例题解析和课堂练习。 资料特色突出核心素养培养，通过雕像比例计算、矩形铁皮制作方盒等真实情境构建模型，引导学生观察归纳方程特征发展抽象能力，结合辨析练习和生活建模任务提升推理意识与应用意识，为教师提供生动教学案例，助力学生理解知识来源与实用价值。九年级学生面临升学考试，需重点掌握基础概念及应用，该资料注重情境与概念结合，帮助学生夯实基础提升解决实际问题能力。

数学人教版九年级上册 01 掌握一元二次方程的定义，能准确判断一个式子是否为一元二次方程. 02 能熟练把一个一元二次方程化为一般式，并能从复杂实际情境中提取等量关系，列出一元二次方程. 03 通过构建、观察方程，归纳一元二次方程特征，培养学生观察发现与归纳总结能力. 04 感受一元二次方程来源于生活、服务于实际问题，体会方程的实用价值. 方程是现实问题中含有未知数的等量关系的数学表达. 在设计人体雕像时，使雕像的腰部以上与腰以下的身长比，等于腰部以下与全身的身长比，可以增加视觉美感.如果某人体雕像全身长为5m，按照上述比例，雕像腰部以下为多长? AC∶BC = BC∶5 BC2 =5AC A C B x m 列方程得　x2 =5(5－x) 整理得 x2 + 5x － 25 = 0 (5 - x) m 等量关系 设雕像腰部以下长度为 x m，则 AC=(5－x) m. 未知数的最高次数是2，如何求解？ 一元一次方程 整式运算、因式分解 分式方程 二次函数 基础概念 解法 根与系数的关系 运算能力 模型观念 研究一元二次方程的一般思路与方法： 建模、类比、分类讨论、数形结合 一元二次不等式 实际应用 前置 后置 一元二次方程 只含有一个未知数x，x的最高次数是2.像这样的方程有丰富的背景、广泛的应用，可以帮助我们解决很多实际问题.看如下一些问题. x2 + 5x － 25 = 0 图形面积测算 商品调价利润核算 场地规划设计 章引言中的方程 活动一：探究一元二次方程的概念 1 如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm.在它的四角各切去一个同样大小的正方形铁皮，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒. 如果要制作的无盖方盒的底面积为 3600 cm2，那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮？ 100cm 50cm 　　设各角切去的正方形铁皮的边长为 x cm，则盒底的长为(100－2x)cm，宽为(50－2x)cm．根据方盒的底面积为3 600 cm2，可列得方程 (100－2x)(50－2x)＝3 600． 　　整理并化简，得 x2－75x＋350＝0． 由方程可以得出各角所切正方形铁皮的边长. 方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ (50-2x)cm x (100-2x)cm 未知数的个数：1 最高次数：2 活动一：探究一元二次方程的概念 2 要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式(每两支球队之间比赛1场).根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛? 全部比赛共 4×7=28场 活动一：探究一元二次方程的概念 方程x2－x－56=0中未知数的个数和最高次数各是多少? 未知数的个数：1 最高次数：2 活动一：探究一元二次方程的概念 3 方程x2 ＋ 5x － 25 = 0、x2－75x＋350＝0、x2－x－56=0有什么共同点? ①都是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2. 一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程. 一元二次方程 ①“整式”应理解为未化简时，方程两边均是整式； ②“只含有一个未知数，未知数的最高次数为 2”是对方程整理合并后而言的． 活动一：探究一元二次方程的概念 活动一：探究一元二次方程的概念 含有两个未知数 不是整式方程 化简为 4x2-1=4x2+12x+9即 12x+10=0，化简后未知数的最高次数不是2. 判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是则进一步化简整理再做判断. 二次项系数 一次项系数 a x2 ＋ b x ＋ c＝0(a≠0) 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下 一般形式： 活动二：探究一元二次方程的一般形式 二次项 一次项 常数项 ①a≠0；②系数和项均包含前面的符号. 为什么一元二次方程的一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a≠0？b，c 可以为 0 吗？ 4 当 a = 0 时， bx＋c = 0 不是一元二次方程 当 a≠0，b = 0 时， ax2＋c = 0 当 a≠0，c = 0 时， ax2＋bx = 0 三种形式 当 a≠0，b = c = 0 时， ax2 = 0 只要满足 a≠0 即可，b，c 可以为任意实数. 没有二次项 活动二：探究一元二次方程的一般形式 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根. 一元二次方程的解 活动三：探究一元二次方程的解(根) 下列哪些数是方程 x²+x－12=0 的根？ －4 ，－3 ，－2 ，－1 ，0 ，1 ，2 ，3 ，4 当x＝－4时，左边＝16+(－4)－12＝0，则左边=右边，所以－4是方程 x²+x－12=0 的根. 同理可证其他结论. 例题1 将方程3x(x－1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项. 去括号，得 3x2－3x=5x+10 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2－8x–10=0. 它的二次项系数为 3，一次项系数为 –8，常数项为 –10． 确定一元二次方程的各项及其系数的注意事项： (1)先把方程化为一般形式．如果二次项系数小于 0，一般把方程两边同乘－1，将其二次项系数转化为大于0的数． (2)指出一元二次方程各项的系数时，注意带上前面的符号，不要漏掉． (3)特例：若没有出现一次项 bx，则 b＝0；若没有出现常数项，则 c＝0． 例题2 已知 a 是方程 x2 + 2x - 2 = 0 的一个实数根，求 2a2 + 4a + 2022 的值. 由题意得a2+2a-2=0， 即a2+2a=2 ∴2a2+4a+2022=2(a2+2a)+2022 =2×2+2022 =2026. 求代数式的值，先把已知解代入方程，然后注意观察，有时需用到整体思想——将所求代数式中的某一部分看作一个整体，再将这个整体的值代入求解. 例题3 1.把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： (1) 5x2－1=4x； (2) 4x2=81； (3) 4x (x+2)=25； (4) (3x－2)(x+1)=5x－2. 解： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 5x2－1=4x 5x2－4x－1=0 5 －4 －1 4x2=81 4x2－81=0 4 0 －81 4x (x+2)=25 4x2+8x－25=0 4 8 －25 (3x－2)(x+1)=5x－2 3x2－4x=0 3 －4 0 2.根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： (1)4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长； (2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长； 解：(1)设正方形的边长为x，根据题意，可列得方程4x2=25，化成一般形式为4x2－25=0； (2)设矩形的长为x，根据题意，可列得方程x(x－2)=100，化成一般形式为x2－2x－100=0； 2.根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： (3)把长为1m的木条分成两段，使较短一段的长与木条全长的积，等于较长一段长的平方，求较短一段的长. 解：(3)设较短一段的长为x m，根据题意，可列得方程 x×1=(1－x)2，化成一般形式为 x2－3x+1=0. 一元二次方程生活建模小探究 自主寻找两个身边可以用一元二次方程描述的生活情境，针对每个情境，写出完整等量关系式，设未知数列出对应方程； 将所列方程整理成一元二次方程一般形式，标注每个方程的二次项系数、一次项系数、常数项； 简要写下自己辨析该方程是一元二次方程的三条判断依据. 情境贴近日常，如桌面裁剪、绿植种植、商品调价等场景； 书写步骤完整，列式规范，移项化简过程清晰； 区分一元一次与一元二次方程差异，写明判断逻辑. 任务 要求 1 2 3 1 2 3 $