25.2 一元二次方程的解法公式法（课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程公式法，通过回顾配方法解具体方程导入，搭建从已有知识到求根公式推导的学习支架，帮助学生理解前后知识脉络。 其亮点在于推导过程注重推理能力，通过配方法逐步推导求根公式，结合根的判别式分类讨论及变式练习，培养逻辑思维与模型意识。学生能系统掌握解法，教师可借助清晰流程和典型例题提升教学效率。

25.2 一元二次方程的解法 第二十五章 一元二次方程 公式法 1.会用一元二次方程根的判别式判断根的情况． 2.能根据根的情况，确定方程中字母系数的取值范围． 学习目标 学习准备 回顾 解方程： 移项得 x2+3x=18 4x²+12x-72=0 解: 二次项系数化为1得 x2+3x-18=0 配方得 x2+3x+ =18+ (x+ )2= 直接开平方得 x+ = ∴ x1=3,x2=-6 想一想 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). 能否也用配方法得出它的解呢？ 讲授新课 求根公式的推导 一 合作探究 用配方法解一般形式一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). 方程两边都除以 a，得 解：移项，得 配方，得 即 问题：对于方程①接下来能用直接开平方解吗？ ∵ a≠0，∴ 4a2 > 0. 而 b2－4ac 的符号有以下三种情况： （1）b2－4ac ＞0， 这时 ＞0，由①得 则方程有两个不相等的实数根 ± （2）b2 - 4ac = 0， 这时 = 0，由①可知，方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = - . （3）b2 - 4ac ＜0， 这时 ＜0，由①可知 ＜0，而 x 取任何实数都不能使 ＜0，因此方程无实数根. 两个不相等的实数根 两个相等的实数根 没有实数根 有根 判别式的情况 根的情况 我们把 b2 − 4ac 叫做一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即 Δ= b2 − 4ac. Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 Δ≥0 一元二次方程根的判别式 二 例2 若关于 x 的一元二次方程 kx2−4x+2=0有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围为 ． 解：∵关于 x 的一元二次方程 kx2-4x+2=0有两个不相等的实数根， ∴ k≠0且Δ＞0，即 (-4)2-4×k×2＞0， 解得 k＜2且 k≠0， ∴k的取值范围为 k＜2且 k≠0． 1.一元二次方程 x2−5x＋7＝0 的根的情况是( ) A A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个实数根 解：∵ Δ= (-5)2-4×1×7= -3<0， ∴此方程没有实数根. 随堂练习 2.若关于 x 的一元二次方程 x2－4x＋5＝a 有实数根，则 a 的取值范围是( ) D A． a＜1 B． a＞1 C．a≤1 D． a≥1 解：方程整理，得x2－4x＋5-a =0, ∵关于 x 的一元二次方程有实数根， ∴Δ=16-4×1×(5-a)≥0,解得a≥1 ， ∴a的取值范围为 a≥1 ． Δ≥0 3.关于 x 的方程 m2x2+(2m+1)x+1=0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围为 ． 解：因为a=m 2 ，b=2m+1，c=1，方程有两个不相等的实数根， 又因为二次项系数不为0， 4.（例2变式）若关于 x 的方程 kx2−4x+2=0有实数根，则 k 的取值范围为 ． 解：分两种情况讨论： （1）若方程为一元一次方程，则k=0， 方程化为−4x+2=0. （2）若方程为一元二次方程，则k≠0且Δ≥0， 即 (-4)2-4×k×2≥0且k≠0， 解得 k≤2且 k≠0， 综上所述, k的取值范围为 k≤2． k≤2 解得 5.已知a，b，c为三角形的三边长，且方程b(x2-1)-2ax+ c(x2+1)=0有两个相等的实数根.试判断此三角形的形状. 解：方程整理，得(b+c)x2-2ax-(b-c)=0， ∵方程b(x2-1)-2ax+c(x2+1)=0有两个相等的实数根， ∴Δ=(-2a)2-4(b+c)·[-(b-c)]=0， 即a2+b2=c2， ∴此三角形为直角三角形． 一元二次方程 ax2＋bx＋c=0(a≠0) 根的判别式 Δ＝b2－4ac． 课堂小结 当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 Δ＝0 时，方程有两个相等的实数根； 当 Δ < 0 时，方程无实数根. 25.2 一元二次方程的解法 第二十五章 一元二次方程 第4课时 公式法 廉江市实验学校 807 陈廷枫 内含公式法的两个课时！ 解一元二次方程的方法： 1．直接开平方法； 2．配方法． 知识回顾 2．会利用一元二次方程的求根公式解一元二次方程． 1．理解一元二次方程求根公式的推导过程． 学习目标 请用配方法解下列方程： 课堂导入 方程（1）用配方法比较简单，方程（2）用配方法比较复杂，对于方程（2）有没有更好的方法呢？ 解：(1)x2-4x=-3， x2-4x+22=-3+22, (x-2)2=1, x-2=±1, x1=3, x2=1. 用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0). 知识点1 新知探究 1.化1: 把二次项系数化为1 2.移项: 把常数项移到方程的右边 3.配方: 方程两边都加上一次项系数的一半的平方 4.变形: 方程左边分解因式，右边通分 当 b2-4ac≥0 时， 5. 开方: 方程两边开平方 6.求解: 解一元一次方程 7.定解: 写出原方程的解 用公式法解一元二次方程的前提： 1.必须化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)． 2.b2−4ac≥0． 综上可知，当 b2－4ac≥0 时，方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 的实数根可写为 叫做一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0的求根公式． 用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法． 的形式，这个式子 用公式法解一元二次方程的步骤： 1.整理方程：将方程整理为 ax2+bx+c=0(a≠0) 的形式，找到公式中的 a，b，c，要注意 a，b，c 的符号． 2.计算根的判别式：将 a，b，c 的值代入 Δ=b2-4ac 计算，并判断 Δ 的符号． 知识点2 新知探究 3.求根：当Δ=b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根，即 当Δ=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，即 当Δ=b2-4ac<0时，方程无实数根. 只有判别式非负时,才能代入求根公式. 例 用公式法解方程： 跟踪训练 新知探究 解：(1)a＝1，b＝－4，c＝－7． Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－7)＝44＞0， 故方程有两个不相等的实数根 1.确定系数 2.计算 Δ 3.代入 4.定根 例 用公式法解方程： (1)x2-4x-7=0 注意符号 例 用公式法解方程： 例 用公式法解方程： 注意：确定a，b，c的值时，要先将一元二次方程化为一般形式． (3)5x2-3x=x+1; 解：(4)原方程化为x2－8x＋17＝0． a＝1，b＝－8，c＝17． Δ＝b2－4ac＝(－8)2－4×1×17＝－4<0． 故方程无实数根． 例 用公式法解方程： (4)x2+17=8x 当∆<0时，直接下结论无实根． 1.一元二次方程 3x2=4-2x 的根是 ． 解：原方程化为3x2+2x-4=0， Δ＝ b2-4ac=4-4×3×(-4)=52＞0， 随堂练习 a=3, b=2, c=-4 2.已知 α 是一元二次方程 x2-x-1=0 较大的根，则下列对 α 的值估计正确的是( ) A．2＜α＜3 B． 1.5＜α＜2 C． 1＜α＜1.5 D． 0＜α＜1 B 公式法求解一元二次方程的步骤： 一元二次方程 化成 ax2+bx+c=0(a≠0) 的形式 a=？ b=？ c=？ 求Δ＝b2－4ac Δ≥0？ 无实数根 套公式求解 课堂小结 否 是 A．2x2+4x+1=0 B．2x2-4x+1=0 C．2x2-4x-1=0 D．2x2+4x-1=0 A 对接中考 2.当 a<0 时，方程x|x|+|x|-x-a=0 的解为 ． 谢谢观看！ $