2.5.2 圆与圆的位置关系 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦“圆与圆的位置关系”，通过日食现象将天体运动抽象为圆，引导学生观察位置变化，类比直线与圆的位置关系，构建几何法与代数法的判断框架，形成从具体到抽象的学习支架。 资料以探究活动为主线，结合典例解析与分层练习，总结位置关系判定步骤与解题方法，通过温馨提示和判断正误辨析易错点，培养学生用数学思维推理关系、用数学语言表达过程的能力，提升数学眼光与应用意识，适合自主探究与课堂教学。

2.5.2 圆与圆的位置关系 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 ★学习目标　1.结合教材实例了解圆与圆的位置关系. 2.会解决圆与圆的位置关系相关的问题. 3.会解决圆与圆相切、相交弦长等相关的问题，能解决简单轨迹问题. 一、两圆位置关系的判定 探究1　日食是一种天文现象，在民间称此现象为天狗食日.日食只在月球与太阳呈现合的状态时发生.日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食. 我们将月亮与太阳抽象为圆，观察这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的？ 探究2　类比运用直线和圆的方程，研究直线与圆的位置关系的方法，如何利用两圆的半径和圆心距的关系判断圆与圆的位置关系？ 探究3　类比直线与圆的位置关系的判断，是否可以用代数法判断呢？又如何利用代数法判断两圆的位置关系呢？ ★梳理教材 1.种类：圆与圆的位置关系有五种，分别为 、 、 、 、 . 2.判断方法 （1）几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆心连线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r2 的关系 （2）代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0（＋－4F1＞0）， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0（＋－4F2＞0）， 联立方程得 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2 1 0 两圆的公共点个数 两圆的位置关系 ★温馨提示　（1）利用代数法判断两圆位置关系时，当方程组无解或只有一解时，无法判断两圆的位置关系. （2）在判断两圆的位置关系时，优先使用几何法. （3）当两圆外离时有四条公切线，当两圆外切时有三条公切线，当两圆相交时有两条公切线，当两圆内切时只有一条公切线，当两圆内含时无公切线. （4）该圆C1，C2的半径分别为r1，r2，当r1＝r2时，两圆不会出现内切或内含的情况，若两圆的圆心距d＝0且r1＝r2，则两圆重合. ★判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.（ 　） （2）如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.（ 　） （3）从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.（ 　） （4）过圆O：x2＋y2＝r2外一点P（x0，y0）作圆的两条切线，切点为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.（ 　） 【典例1】　已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0（a＞0），圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0（a＞0）.试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：（1）相切；（2）相交；（3）外离；（4）内含. ★解题感悟 判断两圆位置关系的方法 （1）几何法：判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围的步骤： ①化成圆的标准方程，写出圆心和半径； ②计算两圆圆心的距离d； ③通过d，r1＋r2，｜r1－r2｜的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合. （2）代数法：判断两圆相交并求交点坐标时，必须求方程组的解，这样用方程组解的个数判断两圆的位置关系可起到一举两得的效果. 【练习1】　（1）已知圆C1：（x－2）2＋（y－3）2＝1和圆C2：（x－3）2＋（y－4）2＝16，则圆C1与圆C2的位置关系为（ 　） A.内含 B.外切 C.相交 D.外离 （2）圆O1：x2＋y2－6x－8y＋24＝0与圆O2：x2＋y2＝r2（r＞0）只有一个公共点，则r＝（ 　） A.4 B.5 C.6 D.4或6 二、两圆相切的问题 【典例2】　（1）以（3，－4）为圆心，且与圆x2＋y2＝64内切的圆的方程为 . （2）求与圆C：x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M（3，－）的圆的方程. ★解题感悟 解决两圆相切问题的两个步骤 （1）定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只说相切，则必须分两圆内切还是外切两种情况讨论. （2）转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值（内切时）或两圆半径之和（外切时）. 【练习2】　已知圆O1：x2＋y2－8x－8y＋48＝0，圆O2过点A（0，－4），若圆O2与圆O1相切于点B（2，2），求圆O2的方程. 三、两圆相交问题 探究4　将☉C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与☉C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的方程相减，得到什么式子？两圆相交时，该式子有什么几何意义？ 探究5　两圆相交时，式子x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ（x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2）＝0（λ≠－1）有什么意义？ 【典例3】　已知圆C满足：圆心在直线x＋y＝0上，且过圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的交点A，B. （1）求弦AB所在的直线方程和圆C的方程； （2）若过点M（－4，1）的直线l被圆C截得的弦长为6，求直线l的方程. 【变式探究】　在本典例条件下，求圆C1和圆C2的公共弦长. ★解题感悟 处理两圆相交的有关问题的方法 （1）求两圆的公共弦所在的直线方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在的直线方程，但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数. （2）求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解. 【练习3】　求圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在的直线l被圆C3：（x－1）2＋（y－1）2＝截得的弦长. ★课堂达标 1.圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：（x－1）2＋y2＝1的位置关系是（ 　） A.相离 B.外切 C.相交 D.内切 2.已知两圆C1：x2＋y2－4x＋2y－1＝0与C2：x2＋y2＋4x－4y－17＝0，则它们的公共弦所在直线的方程为 . 3.若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和圆x2＋y2－2by＋b2＝1外离，则a，b满足的条件是　 　. 4.圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－6x＋2y＋6＝0的公切线有 条. 解析版 ★学习目标　1.结合教材实例了解圆与圆的位置关系. 2.会解决圆与圆的位置关系相关的问题. 3.会解决圆与圆相切、相交弦长等相关的问题，能解决简单轨迹问题. 一、两圆位置关系的判定 探究1　日食是一种天文现象，在民间称此现象为天狗食日.日食只在月球与太阳呈现合的状态时发生.日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食. 我们将月亮与太阳抽象为圆，观察这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的？ 提示：两圆的位置关系为相离、外切、相交、内切、内含. 探究2　类比运用直线和圆的方程，研究直线与圆的位置关系的方法，如何利用两圆的半径和圆心距的关系判断圆与圆的位置关系？ 提示：比较两圆的圆心距与两圆半径和与差的关系来判断. 探究3　类比直线与圆的位置关系的判断，是否可以用代数法判断呢？又如何利用代数法判断两圆的位置关系呢？ 提示：代数法：圆 O1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0， 圆 O2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0， 两圆的方程联立得方程组，根据解的个数来判断. ★梳理教材 1.种类：圆与圆的位置关系有五种，分别为　外离　、　外切　、　相交　、　内切　、　内含　. 2.判断方法 （1）几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆心连线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r2 的关系 　d＞r1　 　＋r2　 　d＝r1　 　＋r2　 　｜r1－r2｜　 　＜d＜r1　 　＋r2　 　d＝　 　｜r1－r2｜　 　0＜d＜　 　｜r1－r2｜　 （2）代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0（＋－4F1＞0）， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0（＋－4F2＞0）， 联立方程得 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2 1 0 两圆的公共点个数 　2　 　1　 　0　 两圆的位置关系 　相交　 　内切或外切　 　外离或内含　 ★温馨提示　（1）利用代数法判断两圆位置关系时，当方程组无解或只有一解时，无法判断两圆的位置关系. （2）在判断两圆的位置关系时，优先使用几何法. （3）当两圆外离时有四条公切线，当两圆外切时有三条公切线，当两圆相交时有两条公切线，当两圆内切时只有一条公切线，当两圆内含时无公切线. （4）该圆C1，C2的半径分别为r1，r2，当r1＝r2时，两圆不会出现内切或内含的情况，若两圆的圆心距d＝0且r1＝r2，则两圆重合. ★判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.（　✕　） （2）如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.（　✕　） （3）从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.（　✕　） （4）过圆O：x2＋y2＝r2外一点P（x0，y0）作圆的两条切线，切点为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.（　√　） 【典例1】　已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0（a＞0），圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0（a＞0）.试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：（1）相切；（2）相交；（3）外离；（4）内含. 解：圆C1，C2的方程，经配方后可得 C1：（x－a）2＋（y－1）2＝16， C2：（x－2a）2＋（y－1）2＝1， ∴圆心C1（a，1），半径r1＝4，圆心C2（2a，1），半径r2＝1. ∴｜C1C2｜＝＝a. （1）当｜C1C2｜＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切； 当｜C1C2｜＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切. （2）当3＜｜C1C2｜＜5，即3＜a＜5时，两圆相交. （3）当｜C1C2｜＞5，即a＞5时，两圆外离. （4）当｜C1C2｜＜3，即0＜a＜3时，两圆内含. ★解题感悟 判断两圆位置关系的方法 （1）几何法：判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围的步骤： ①化成圆的标准方程，写出圆心和半径； ②计算两圆圆心的距离d； ③通过d，r1＋r2，｜r1－r2｜的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合. （2）代数法：判断两圆相交并求交点坐标时，必须求方程组的解，这样用方程组解的个数判断两圆的位置关系可起到一举两得的效果. 【练习1】　（1）已知圆C1：（x－2）2＋（y－3）2＝1和圆C2：（x－3）2＋（y－4）2＝16，则圆C1与圆C2的位置关系为（　A　） A.内含 B.外切 C.相交 D.外离 （2）圆O1：x2＋y2－6x－8y＋24＝0与圆O2：x2＋y2＝r2（r＞0）只有一个公共点，则r＝（　D　） A.4 B.5 C.6 D.4或6 解析：（1）由题意可知，圆C1：（x－2）2＋（y－3）2＝1的圆心为C1（2，3），半径r＝1， 圆C2：（x－3）2＋（y－4）2＝16的圆心为C2（3，4），半径R＝4， 两圆心距离为＝＜R－r＝3， 所以圆C1与圆C2的位置关系为内含.故选A. （2）由题设O1：（x－3）2＋（y－4）2＝1，则圆心O1（3，4）且半径r1＝1；O2：x2＋y2＝r2（r＞0），则圆心O2（0，0）且半径r2＝r. 连接O1O2，所以｜O1O2｜＝5，又两圆只有一个公共点，故两圆外切或内切. 当两圆外切时，r1＋r2＝1＋r＝5，则r＝4； 当两圆内切时，｜r1－r2｜＝｜1－r｜＝5， 则r＝6（负值舍去）. 所以r＝4或r＝6.故选D. 二、两圆相切的问题 【典例2】　（1）以（3，－4）为圆心，且与圆x2＋y2＝64内切的圆的方程为　（x－3）2＋（y＋4）2＝9或（x－3）2＋（y＋4）2＝169　. 解析：设所求圆的半径为r， 则＝｜8－r｜， 解得r＝3或r＝13，故所求圆的方程为（x－3）2＋（y＋4）2＝9或（x－3）2＋（y＋4）2＝169. （2）求与圆C：x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M（3，－）的圆的方程. 解：已知圆C的方程可化为（x－1）2＋y2＝1， 则圆心为C（1，0），半径为1. 设所求圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0）. 由题意，可得 解得或 所以所求圆的方程为（x－4）2＋y2＝4或x2＋（y＋4）2＝36. ★解题感悟 解决两圆相切问题的两个步骤 （1）定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只说相切，则必须分两圆内切还是外切两种情况讨论. （2）转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值（内切时）或两圆半径之和（外切时）. 【练习2】　已知圆O1：x2＋y2－8x－8y＋48＝0，圆O2过点A（0，－4），若圆O2与圆O1相切于点B（2，2），求圆O2的方程. 解：因为圆O1的方程可以化为（x－4）2＋（y－4）2＝16， 所以圆心O1（4，4）， 因为圆O2与圆O1相切于点B（2，2）， 所以圆O2的圆心在直线y＝x上，不妨设为（a，a）， 因为圆O2过点A（0，－4），所以圆O2与圆O1外切， 又圆O2过点B（2，2）， 所以a2＋（a＋4）2＝2（a－2）2， 解得a＝0， 所以圆O2的方程为x2＋y2＝16. 三、两圆相交问题 探究4　将☉C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与☉C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的方程相减，得到什么式子？两圆相交时，该式子有什么几何意义？ 提示：两方程相减得（D1－D2）x＋（E1－E2）y＋F1－F2＝0（*）， 它代表两圆的公共弦所在的直线方程. 理由：设A（x1，y1），B（x2，y2）为两圆交点，则A，B坐标满足（*），上述等式表示一条过A，B的直线，即公共弦方程. 探究5　两圆相交时，式子x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ（x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2）＝0（λ≠－1）有什么意义？ 提示：代表过两圆公共点的圆. 【典例3】　已知圆C满足：圆心在直线x＋y＝0上，且过圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的交点A，B. （1）求弦AB所在的直线方程和圆C的方程； （2）若过点M（－4，1）的直线l被圆C截得的弦长为6，求直线l的方程. 解：（1）已知圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，两式相减得4x－8y＋16＝0，即x－2y＋4＝0，所以弦AB所在的直线方程为x－2y＋4＝0. 联立解得或不妨令A（－4，0），B（0，2）.又圆心C在直线x＋y＝0上，设C（a，－a），那么它到两交点A，B的距离相等，故有（a＋4）2＋（－a）2＝（－a）2＋（2＋a）2，可得a＝－3，即圆心为（－3，3），半径r＝，故圆C的方程为（x＋3）2＋（y－3）2＝10. （2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－1＝k（x＋4），即kx－y＋1＋4k＝0，因为直线l被圆C截得的弦长为6，设圆心C到直线l的距离为d，则9＝r2－d2，所以d2＝1，即＝1，可得k＝，所以直线l的方程为3x－4y＋16＝0； 当斜率不存在时，直线l的方程为x＋4＝0.此时直线l被圆C截得的弦长为6，符合题意. 故所求直线l的方程为x＋4＝0或3x－4y＋16＝0. 【变式探究】　在本典例条件下，求圆C1和圆C2的公共弦长. 解：由典例3解析过程可知，A（－4，0），B（0，2），则圆C1和圆C2的公共弦长｜AB｜＝＝2. ★解题感悟 处理两圆相交的有关问题的方法 （1）求两圆的公共弦所在的直线方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在的直线方程，但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数. （2）求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解. 【练习3】　求圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在的直线l被圆C3：（x－1）2＋（y－1）2＝截得的弦长. 解：由题意，将两圆方程相减， 可得圆C1和圆C2的公共弦所在的直线l的方程为x＋y－1＝0. 又圆C3的圆心坐标为（1，1）， 其到直线l的距离d＝＝， 所以所求弦长为2×＝. ★课堂达标 1.圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：（x－1）2＋y2＝1的位置关系是（　D　） A.相离 B.外切 C.相交 D.内切 解析：∵圆C1的圆心为C1（0，0），半径r1＝2，圆C2的圆心为C2（1，0），半径r2＝1， ∴｜C1C2｜＝1＝｜r1－r2｜，∴两圆内切. 2.已知两圆C1：x2＋y2－4x＋2y－1＝0与C2：x2＋y2＋4x－4y－17＝0，则它们的公共弦所在直线的方程为　4x－3y－8＝0　. 解析：由题意，得C1：x2＋y2－4x＋2y－1＝0与C2：x2＋y2＋4x－4y－17＝0相交，所以两圆的方程作差得8x－6y－16＝0，即公共弦所在直线的方程为4x－3y－8＝0. 3.若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和圆x2＋y2－2by＋b2＝1外离，则a，b满足的条件是　a2＋b2＞3＋2　. 解析：由题意可得，两圆的圆心坐标和半径分别为（a，0），和（0，b），1.因为两圆外离，所以＞＋1，即a2＋b2＞3＋2. 4.圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－6x＋2y＋6＝0的公切线有　3　条. 解析：∵圆C1的圆心为C1（－1，－1），半径为r1＝2， 圆C2的圆心为C2（3，－1），半径为r2＝2. 圆心距为｜C1C2｜＝3＋1＝4＝r1＋r2， ∴圆C1与圆C2外切，公切线有3条. 页 学科网（北京）股份有限公司 $