第3章勾股定理学情自测试卷 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦勾股定理单元，通过基础辨析、情境应用及综合探究，全面考查抽象能力、几何直观与推理意识，适配初中数学单元复习学情自测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|勾股数判定、直角三角形性质、面积法应用|结合赵爽弦图、数轴表示无理数，考查几何直观| |填空题|6/18|门框穿越问题、折叠求长度、坐标系中角度计算|联系生活实际，渗透空间观念| |解答题|8/72|四边形面积计算、施工支架调整、景区路径规划|分层设计问题链，融合推理能力与应用意识，如房梁安全判断、监控距离计算

第3章勾股定理学情自测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1．下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．1，2，3 B．，， C．8，15，17 D．0.6，0.8，1 【答案】C 【详解】解：A选项中，，，∴不是勾股数； B选项中，，不是正整数，∴不是勾股数； C选项中，且三个数均为正整数，∴是勾股数； D选项中0.6，0.8，1不全是正整数，∴不是勾股数． 2．线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】利用勾股定理的逆定理进行判断，找出每个选项中的最长边，计算两条较短边的平方和，验证是否等于最长边的平方，若相等则可组成直角三角形． 【详解】解：A、，， ，不能组成直角三角形． 故不符合题意； B、，， ，能组成直角三角形． 故符合题意； C、，， ，不能组成直角三角形． 故不符合题意； D、，， ，不能组成直角三角形． 故不符合题意． 3．如图，以的两边往外作的正方形，其面积分别为，，若，，则边长为（     ） A．64 B．16 C．8 D．4 【答案】C 【分析】利用勾股定理解答即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 在中，， ∴． 4．如图，数轴上点A对应的数是0，点B对应的数是1，，垂足为B，以A为圆心，为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（     ） A．2.2 B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据勾股定理求出的长，再根据同圆的半径相等可知＝，再根据条件：点对应的数是原点，可求出点D表示的数． 【详解】解：∵， ∴＝， ∴， ∵以为圆心，为半径画弧，交数轴于点， ∴， ∴点表示的数是：． 5．如图，池塘边有两点，，点是与方向成直角的方向上一点，测得，．则、两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：，，， ． 6．中国是最早发现并证明勾股定理的国家之一．下列图形的面积关系中，不能用来证明勾股定理的是（     ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】通过计算同一图形的面积，建立等量关系，推导勾股定理． 【详解】解：选项：图形为直角梯形，面积可表示为，也可表示为，则，可得，可以证明勾股定理； 选项：图形为正方形，面积可表示为，也可表示为，则，无法证明勾股定理； 选项：图形为正方形，面积可表示为，也可表示为，则，可得，可以证明勾股定理； 选项：图形为正方形，面积可表示为，也可表示为，则，可以证明勾股定理． 7．如图，公园里有一块草坪，已知米，米，米，米，且，这块草坪的面积是（     ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理得到，最后根据草坪的面积，即可求解． 【详解】解：，米，米， 米， 米，米， ， ， 这块草坪的面积为平方米， 故选：B． 8．一个直角三角形的两条边长分别为3和5，则第三条边的长度可以是（     ） A．15 B．8 C．6 D．4 【答案】D 【分析】未明确已知边是直角边还是斜边，需分类讨论，结合勾股定理计算后匹配选项． 【详解】解：分两种情况讨论. ∵当长为5的边为斜边时，第三边为直角边， ∴第三边长为； ∵当长为5的边为直角边时，第三边为斜边， ∴第三边长为． ∴D选项符合题意． 9．设直角三角形的两条直角边及斜边上的高分别为a、b及h，那么a、b、h的数量关系是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用勾股定理和直角三角形等面积法推导a，b，h的数量关系，即可得到正确答案． 【详解】解：设该直角三角形的斜边长为， 根据勾股定理可得 ， ∵直角三角形的面积可表示为，也可表示为， ∴ ，即， ∴ ， 两边同时平方得， 等式两边同时除以得，即． 故选：C． 10．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，其中大正方形的边长为，，连接，则的长度为（     ）． A． B．6 C．5 D． 【答案】D 【分析】首先利用大正方形的边长，结合勾股定理求出直角三角形的另一条直角边，从而确定小正方形的边长，最后运用勾股定理计算直角三角形中的长度． 【详解】解： 大正方形的边长为，， 直角三角形另一条直角边． ， ， ， ∴在正方形中，， 在直角三角形中，． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．一个门框尺寸如图，一个长宽的薄木板___________穿过此门．（填“能”或填“不能”） 【答案】不能 【分析】连接门框的对角线，利用勾股定理求出的长度为，再通过无理数的估算，比较与的大小，进而判断木板能否通过门框． 【详解】解：连接， 在中，，，， 根据勾股定理：， ， ，，且， ， 长宽的薄木板不能穿过此门． 12．如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是，在中，，以点为圆心，长为半径作弧，与数轴负半轴交于点，则点表示的数为________． 【答案】 【分析】由题意可知，根据勾股定理得到，根据作图可知，即可求出点表示的数． 【详解】解：∵数轴上点表示的数是，点表示的数是， ∴， ∵在中，， ∴， ∵以点为圆心，长为半径作弧，与数轴负半轴交于点， ∴， ∴点表示的数为． 13．如图，在中，，，，则的面积是___________． 【答案】 【分析】根据勾股定理的逆定理判断 为直角三角形，再利用直角三角形面积公式求解即可． 【详解】解：，，， ，， ， 是直角三角形，且 ， ． 14．如图折叠直角三角形纸片，使直角顶点C落在斜边上的点E处，已知，，则的长是________． 【答案】 【分析】根据折叠的性质可得，，进而得出，在中，利用含角的直角三角形的性质求出的长，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可知，，， ， 在中，， ， ∴． 15．已知，，，，，连接，则的度数为______． 【答案】 【分析】先使用勾股定理计算出，再根据勾股定理的逆定理判断出． 【详解】解：在中，， ∵， ∴． 16．如图，等腰直角，等腰直角，，连接相交于点M，则______． 【答案】50 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键．设交于点F，由等腰直角三角形的性质得，，，可证明，求得，，再证明△，得，则，推导出，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设交于点F， ∵和都是等腰直角三角形，，，， ∴，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 故答案为：50． 三、解答题（每题9分，共72分） 17．如图，有一块四边形草地，其中，，，，求这块草地的面积． 【答案】 【分析】连接，根据勾股定理，可求，再求两个直角三角形的面积，相加即可． 【详解】解：连接， 由题可知，和是直角三角形， 根据勾股定理，可得， ，，， ，解得， 则四边形的面积为：（）， 则这块草地的面积为． 18．如图所示，数轴上有正方形，点A、B表示的数分别为和0，在数轴上找到点P，使得． (1)尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； (2)写出P点表示的数为________． 【答案】(1)如图，点即为所求； (2)或. 【分析】（1）连接，以为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点即可； （2）根据两点间的距离即可得出结果. 【详解】（1）略 （2）解：点表示的数为或. 19．如图，在中，，，，试求线段的长． 【答案】 【分析】由勾股定理逆定理得出是以的直角三角形，再利用勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：，，， ，， ， 是以的直角三角形， ， 在中，， ． 20． 如图1， 在三角形中，为边上的高． (1)若， ， ， 求证： ； (2)根据（1）中的结论，小明发现：当满足 时，一定为直角三角形．小明的判断正确吗？为什么？ (3)如图2是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图3所示的图形，已知斜梁于点 D．经测量，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁垂直则为安全房梁．请判断该房梁是否安全，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)正确，理由见解析 (3)这个房梁安全，理由见解析 【分析】（1）根据勾股定理及其逆定理进行求解即可； （2）根据勾股定理得，，得：，结合，化简得，即，即可得出结论； （3）根据勾股定理得，再得到，再进一步即可得出结论． 【详解】（1）解：∵在中，为边上的高， ∴， ∵， ， ， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：正确，理由如下： ， ∴在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 得：， ， ， ∴， ∴，即， 为直角三角形； （3）解：安全，理由如下： ， ，， 在中，根据勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 是直角三角形， ∴这个房梁安全． 21．如图，这是建筑工人搭建的临时施工支架，竖直立柱垂直地面于点A，斜梁为斜边．初始时立柱顶端B离地面的距离，斜梁的长度比水平距离多．立柱位置不动，斜梁长度保持不变，现将立柱顶端竖直向下降低至点D． (1)求初始状态下的水平距离的长． (2)当立柱顶端竖直向下降低至点D时，求斜梁落点C在水平方向向外移动的距离．（结果保留根号） 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）设初始状态下的水平距离为，则斜梁的长为，进而根据勾股定理求解即可； （2）先求出和的长度，进而运用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：设初始状态下的水平距离为，则斜梁的长为． ， 为直角三角形， 解得， 答：初始状态下的水平距离的长为； （2）解：由于斜梁的长度比水平距离多， ∴斜梁的长为， 由题意得，降低后竖直高度为． 在中，， 解得． ∴斜梁底部移动距离为， 答：斜梁落点C向外移动了． 22．如图1，有两棵树，一棵高10米（米），另一棵高2米（米），两树相距6米（米） (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图2，台风过后，高10米的树在点M处折断，大树顶部落在点D处，则树折断处M距离地面多少米？ 【答案】(1)米； (2)米 【分析】（1）根据“两点之间，线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出； （2）由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：两棵树的高度差为（米），两树相距米（米）， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米）， 答：至少飞了米； （2）解：由勾股定理得：， ， 解得：， 答：树折断处距离地面米． 23．【问题提出】 （1）如图1，在中，，于点D，若，，求的长度； 【问题探究】 （2）如图2，已知，，，，求的长度； 【问题解决】 （3）如图3，是某景区的局部示意图，，是两条观景小道，该景区的规划部门计划在的上方找一点F，使得，，并沿修一条骑行小道，经测量，，D为的中点，于点E，，求骑行小道的长度． 【答案】（1）；（2）；（3）700米 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）利用勾股定理求得斜边的长，再利用三角形面积公式求解即可； （2）利用勾股定理求得，根据计算即可求解； （3）利用勾股定理求得，通过，点为的中点，进行等量代换计算求得，据此即可求解． 【详解】解：（1），，， ， ， ； （2），，， ， ， ； （3），，， ， ， ，， ， 点D为的中点， ， ， 米， 骑行小道的长度为700米． 24．如图，某康养基地内有一条东西向的景观公路，基地的监控中心到公路的垂直距离为1200米．一天，监控员发现一辆未登记的外来车辆在公路上匀速行驶．用红外线测距仪测得：此时车辆正在公路处，距处2000米；44秒后，车辆行驶到公路上的处，距处1300米． (1)求外来车辆的平均速度； (2)监控中心到景观公路只有一条长为1500米的小路．监控员发现外来车辆后，立即联系安保人员，当外来车辆到达处时，安保人员同时开车从出发，沿小路进行拦截，若安保人员车速为，能否成功在处拦截外来车辆？请通过计算进行说明． 【答案】(1)外来车辆的平均速度为 (2)能成功在处拦截外来车辆，理由如下： 由题意得， 在中，由勾股定理，得， 由（1）可知， ， 外来车辆到达处所需的时间为． 安保人员的速度为， 安保人员达处所需的时间为， 能成功在处拦截外来车辆． 【分析】（1）过点作于点，由题意得，，，利用勾股定理在中，可得，在中，可得，从而求得，即可得出外来车辆的平均速度； （2）先利用勾股定理在中，可得，结合（1）可得，从而可以算出外来车辆及安保人员达处所需的时间，通过比较即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，则，， 由题意得，， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ， 速度为， 答：外来车辆的平均速度为； （2）略． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $第3章勾股定理学情自测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1.下列各组数中，是勾股数的是() A.1,2,3 B,.V2.35 C.8,15,17 D.0.6,0.8,1 2.线段a,b,c组成的三角形是直角三角形的是() A.a=2,b=3,c=4 B.a=3,b=4,c=5 C.a=4b=5c=6 D.a=2 b=13 c=5 3.如图，以Rt△MBC的两边往外作的正方形，其面积分别为S,及，若S=100 S2=36 5,则BC边长为() S B A.64 B.16 C.8 D.4 4.如图，数轴上点A对应的数是0，点B对应的数是1，BC⊥AB,BC=AB,垂足为B, 以A为圆心，AC为半径画弧，交数轴于点D,则点D表示的数为() 0 A.2.2 B V2 C v3 D.v5 5.如图，池塘边有两点A,B,点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得 4C=60m BC=100m ”.则A、8两点间的距离为() 试卷第1页，共3页 A.20v34m B.10W34m C.80m D.40m 6.中国是最早发现并证明勾股定理的国家之一.下列图形的面积关系中，不能用来证明勾 股定理的是() a b 6 b b B a 6 a L 6 c 7.如图，公园里有一块草坪，己知AB=3米，BC=4米，CD=12米，DA=13米，且 AB⊥BC,这块草坪的面积是() D A.24平方米 B.36平方米 C.48平方米 D.72平方米 8.一个直角三角形的两条边长分别为3和5，则第三条边的长度可以是() A.15 B.8 C.6 D.4 9.设直角三角形的两条直角边及斜边上的高分别为a、b及h,那么a、b、h的数量关系是 () 111 111 A.ab=h B.a2+b=2h2 C.a+= D.ab h 一十一三 10.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正 试卷第2页，共3页 方形，其中大正方形 ABCD 的边长为34，DH=3,连接4G,则4G的长度为(). B A V34 B.6 c.5 D.V29 二、填空题（每题3分，共18分） 11.一个门框尺寸如图，一个长3m宽2.3m的薄木板 穿过此门.（填“能”或 填“不能”) D 2m A ←1m习 12.如图，数轴上点A表示的数是1，点O表示的数是0，在Rt△AOB中，B0=1,以点A 为圆心，AB长为半径作弧，与数轴负半轴交于点C,则点C表示的数为 B A -1 Ci 0 1B,如图，在△4C中，B=2,4C=25.8c=4,则4cC 的面积是 14.如图折叠直角三角形纸片，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，已知CD=1, ∠B=30°，则BE的长是 试卷第3页，共3页 D 15.己知∠BAD=90°，AB=4,AD=3,BC=13,CD=12,连接BD,则∠BDC的度 数为一 D A B 16.如图，等腰直角△A0B,等腰直角△C0D,∠A0B=∠C0D=90°，A0=3,C0=4,连 接AD,BC相交于点M,则AC2+BD2=一 B A M 三、解答题（每题9分，共72分） 17.如图，有一块四边形草地ABCD,其中∠B=∠D=90°，AB=15m,BC=20m, CD=7m,求这块草地的面积. B 18.如图所示，数轴上有正方形ABCD,点A、B表示的数分别为-1和0，在数轴上找到 点P,使得PA=V2 D C 43201245 试卷第4页，共3页 (1)尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； (2)写出P点表示的数为」 19.如图，在△ABD中，AB=13,BC=5,AC=CD=12,试求线段AD的长. 20.如图1，在三角形ABC中，AD为BC边上的高. 横梁 图1 图2 图3 (1)若CD=2,AD=4,BD=8,求证：AB⊥AC: (2)根据(I)中的结论，小明发现：当满足AD=BDCD时，△ABC一定为直角三角形. 小明的判断正确吗？为什么？ (3)如图2是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图3 所示的图形，已知斜梁BD⊥AC于点D.经测量，斜梁AC=5m,BD=2.4m,横梁 BC=4m.若横梁BC与竖梁AB垂直则为安全房梁.请判断该房梁是否安全，并说明理由 21.如图，这是建筑工人搭建的临时施工支架，竖直立柱AB垂直地面于点A,斜梁BC为 斜边.初始时立柱顶端B离地面的距离AB=I6m,斜梁BC的长度比水平距离AC多8m. 立柱位置不动，斜梁长度保持不变，现将立柱顶端竖直向下降低6m至点D. (I)求初始状态下的水平距离AC的长. (2)当立柱顶端竖直向下降低至点D时，求斜梁落点C在水平方向向外移动的距离.（结果 保留根号) 试卷第5页，共3页 22.如图1，有两棵树，一棵高10米(AB=10米)，另一棵高2米(CD=2米)，两树 相距6米(BD=6米) 10米 2米 2米 B D B 6米 6米D(4) (图1) (图2) (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图2，台风过后，高10米的树AB在点M处折断，大树顶部落在点D处，则树AB折 断处M距离地面多少米？ 23.【问题提出】 (1)如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D,若AB=5,AC=12,求AD的 长度； 【问题探究】 (2)如图2，已知∠B=∠ACD=90°，AB=3,BC=2,CD=1,求AD的长度： 【问题解决】 (3)如图3，△ABC是某景区的局部示意图，AD,DE是两条观景小道，该景区的规划 部门计划在AC的上方找一点F,使得EF=EC,∠AFE=90°，并沿AF修一条骑行小道， 经测量，∠B=90°，D为BC的中点，DE⊥AC于点E,AB=700m,求骑行小道AF的长 度 图1 图2 图3 24.如图，某康养基地内有一条东西向的景观公路，基地的监控中心A到公路的垂直距离 为1200米.一天，监控员发现一辆未登记的外来车辆在公路上匀速行驶.用红外线测距仪 测得：此时车辆正在公路B处，距A处2000米；44秒后，车辆行驶到公路上的D处，距 试卷第6页，共3页 A处1300米. 西、B 0 C公路东 (1)求外来车辆的平均速度： (2)监控中心A到景观公路只有一条长为1500米的小路AC.监控员发现外来车辆后，立即 联系安保人员，当外来车辆到达D处时，安保人员同时开车从A出发，沿小路AC进行拦 截，若安保人员车速为30m/s,能否成功在C处拦截外来车辆？请通过计算进行说明， 试卷第7页，共3页