第三章 勾股定理 单元测试 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

**基本信息** 苏科版八年级数学勾股定理单元卷，覆盖定理应用、实际情境与空间问题，梯度设计适配单元复习，培养抽象能力、空间观念与应用意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选|6题|勾股定理逆定理（如判断三角形是否直角）、折叠问题（如直角三角形折叠求边长）|基础巩固，辨析易混点| |填空|10题|实际应用（如树折断高度、旗杆影长）、空间最短路径（如长方体侧面绕线）|情境真实，联系生活| |解答|10题|综合应用（如禁渔巡逻方向、台风影响时间）、几何推理（如四边形中角平分线证明）|分层设问，培养推理能力与模型意识|

第三章 勾股定理 单元测试卷 2026-2027学年苏科版八年级数学上册 双向细目表 考查范围：图形的性质、数与式、函数、数学竞赛 题号 难度 知识点 一、单选题 1 容易 判断三边能否构成直角三角形 2 容易 判断三边能否构成直角三角形 3 适中 勾股定理与折叠问题 4 适中 几何体展开图的认识,求最短路径(勾股定理的应用) 5 困难 判断三边能否构成直角三角形,用勾股定理解三角形 6 困难 全等的性质和HL综合（HL）,利用勾股定理的逆定理求解,用勾股定理解三角形 二、填空题 7 容易 求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 8 容易 勾股定理与无理数,实数与数轴 9 容易 求旗杆高度(勾股定理的应用) 10 容易 判断三边能否构成直角三角形 11 适中 勾股定理与折叠问题,判断三边能否构成直角三角形 12 适中 勾股定理与网格问题,在网格中判断直角三角形 13 适中 勾股定理与折叠问题 14 适中 求最短路径(勾股定理的应用) 15 困难 求最短路径(勾股定理的应用) 16 困难 勾股定理与折叠问题,写出直角坐标系中点的坐标 三、解答题 17 容易 解决航海问题(勾股定理的应用),利用勾股定理的逆定理求解,勾股定理逆定理的实际应用,求一个数的算术平方根 18 适中 面积及等积变换,利用勾股定理的逆定理求解,垂线段最短,用勾股定理解三角形 19 容易 勾股定理与网格问题,用勾股定理解三角形 20 适中 勾股定理与网格问题,在网格中判断直角三角形 21 容易 求最短路径(勾股定理的应用) 22 适中 解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用),用勾股定理解三角形 23 容易 利用勾股定理的逆定理求解 24 适中 全等的性质和HL综合（HL）,等腰三角形的性质和判定,用勾股定理解三角形 25 容易 利用勾股定理的逆定理求解,用勾股定理解三角形 26 适中 勾股定理与折叠问题,全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 学科网（北京）股份有限公司 $第三章勾股定理单元测试2026-2027学年苏科版八年级数学 答题卡 姓名： 班级： 条码粘贴处 (正面朝上贴在此虚线框内) 准考证号 峡考标记 注意事项 1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚 考生禁止填涂 2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 缺考标记！只 3、选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 能由监考老师 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 负责用黑色字 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 迹的签字笔填 6、填涂样例正确[■]错误【-[][×) 选择题（请用2B铅笔填涂） 1 2 心 4 5 6 [A] [A] (A] [A] [A] [A] [B] [B] [B] [B] [B] [B] Ic] [C] [C] [C] [C] [C] [D] [D1 [D] [D] [D] [D] 非选择题 (请在各试题的答题区内作答) 7题、 8题、 012 9题、 10题、 S3 A S2 11题、 M E B D C 12题、 A B C 13题、 B. 14题、 B E G D 15题、 C D ·B 16题、 17题、 北 沦 C 东 Bi 1 18题、 19题、 20题、 21题、 B1 A 2 22题、 A D B 23题、 E D B 24题、 B A E D 25题、 B D 26题、 E D C A B 第三章 勾股定理 单元测试卷 2026-2027学年苏科版八年级数学上册 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（    ） A．5，7，8 B．1，2，3 C． D． 2．下列各组数中，能够作为直角三角形的三边长的一组是（　　） A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．3，4，5 3．如图，将直角边，的直角纸片折叠，使点与点重合，折痕为，则等于（    ） A． B． C． D． 4．如图，长方体的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从顶点开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至顶点停止，则彩条的长度最短为（   ） A． B． C． D． 5．五根小棒，其长度（单位：）分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，，，，．则_____°． A． B． C． D． 二、填空题 7．一棵树在离地面处折断，树的顶端落在离树干底端处，这棵树折断之前的高度是______． 8．如图，在数轴上找出表示3的点，则，过点作直线l垂直，在l上取点，使，以原点为圆心，以为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点，则点表示的实数是________． 9．一根高的旗杆，下午三时其影长，此时旗杆的顶端与影子的顶端之间的距离是_________． 10．如图，分别以的三边为直径向三角形外作半圆，图中有阴影的三个半圆的面积的关系为，则是______三角形． 11．如图，在中，．将沿射线折叠，使点A与边上的点D重合，E为射线上的一个动点，当的周长最小时，的长为___⁠．      12．如图，每个小正方形的边长都是1，，，是小正方形的顶点，则____________． 13．如图，三角形纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则的长是________． 14．如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深．在水面上紧贴内壁的处有一块面包屑，且．一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的处吃面包屑，则蚂蚁爬行的最短路线的长为_______． 15．如图，一只蚂蚁想从圆柱形水桶外侧的A点爬到内侧的B点寻找食物．已知A点到桶口的距离厘米，B点到桶口的距离厘米，圆弧长15厘米．蚂蚁爬行的最短路程是________厘米． 16．在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，点M是y轴上一点，将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则点M的坐标为_____． 三、解答题 17．禁渔期的规定对渔业资源的保护起了良好作用．如图，在一次禁渔期间，渔政部门发现一艘渔船正在违规捕鱼，于是派出甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的、两地前去劝阻，后同时到达处．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西． (1)求甲巡逻艇的航行方向； (2)成功劝阻后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？ 18．台风是一种自然灾害，它以暴风眼为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风沿东西方向由点A向点B运动．已知点C为一海港，点C与直线上的两点A，B的距离分别为，且，以风眼为圆心周围以内为受影响区域． (1)求的度数． (2)风眼离海港C最近的距离是多少？ (3)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 19．在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，这个定理称为“勾股定理”．即在直角三角形中（如右图），．两条直角边分别为，，斜边为．则．利用勾股定理解答下列问题： (1)在直角三角形中，，，，求的长． (2)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，每个小格的顶点叫做格点． ①在图中，利用勾股定理求线段的长度． ②在图中，画一条格点线段，使． 20．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1． (1)分别求出线段、的长度； (2)在图中画线段、使得的长为，以、、三条线段能否构成直角三角形，并说明理由． 21．如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，点B与点C之间的距离为1，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，求该蚂蚁需要爬行的最短路程． 22．如图在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面的部分为1米，一阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面（即），已知红莲移动的水平距离为3米，则湖水深为多少？ 23．如图，在中，，，以为边向外作，为边上的高，，，求的度数． 24．如图，在四边形中，，E是的中点，连接，，且，． (1)求证：平分； (2)若，，求四边形的周长． 25．如图，在中，D是边上一点，连接，，，，． (1)求的度数； (2)求的长． 26．如图，在长方形中，为上一点，将沿着翻折至，与交于点，且，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第三章 勾股定理 单元测试卷 2026-2027学年苏科版八年级数学上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C D B C C C 1．C 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，判断是否能构成直角三角形，需验证两个较小边的平方和是否等于最长边的平方．根据三角形的三边关系及勾股定理的逆定理逐一判断即可得答案．． 【详解】解：A.，不能构直角三角形； B.，不能构成三角形； C.，能构成直角三角形； D..，不能构成直角三角形； 故选：C． 2．D 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理“三角形三边满足（其中c为最大边），则该三角形为直角三角形”即可求解． 【详解】解：选项A：，， ， 故选项A不符合题意； 选项B：，， ， 故选项B不符合题意； 选项C：，， ， 故选项C不符合题意； 选项D：，， ， 故选项D符合题意． 故选：D． 3．B 【分析】本题考查的是翻折变换的性质及勾股定理，比较简单．设，先根据翻折变换的性质可得到，则，再根据勾股定理即可求解，再利用线段和差计算． 【详解】解：设，则， 是沿直线翻折而成， ， 是直角三角形， ， 即， 解得， ∴ 故选：B． 4．C 【分析】本题考查了勾股定理，长方体侧面展开图，两点之间，线段最短等知识．根据题意画出长方体侧面展开图，作点关于的对称点，连接，交于，连接，则，得到彩条最短长度为．根据勾股定理求出的长即可得答案． 【详解】解：如图， 长方形为长方体侧面展开图，则，， 作点关于的对称点，连接，交于，连接，则，， ∴彩条最短长度为， 在中，． 故选：C． 5．C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握通过验证三角形三边的平方关系判断直角三角形是解题的关键． 将五根小棒分成两组，分别验证每组三边是否满足较短两边的平方和等于最长边的平方，以此判断能否构成直角三角形． 【详解】解：A、分组为、、和、、， ，不满足勾股定理逆定理，不是直角三角形，不符合题意； B、分组为、、和15、20、24，，不满足勾股定理逆定理，不是直角三角形，不符合题意； C、分组为7、24、25 和、、，，满足逆定理，是直角三角形；，满足逆定理，是直角三角形，符合题意； D、分组为、、和、、，，，不满足逆定理，不符合题意． 故选：C． 6．C 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理、全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造直角三角形，结合全等三角形转化角的关系是解题的关键． 过点作，垂足为，，在和中，以为桥利用勾股定理列方程得，即可得，由得，由，可证，可得，由即可得． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， ∴，，， ∴， 设，则， ∴， 解得，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ 故选：C． 7． 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，利用勾股定理求出，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示， 在中，，，， ， ， 树折断之前高， 故答案为：． 8． 【分析】本题主要考查了数轴上点的含义、勾股定理解直角三角形等知识点．根据数轴上的点及勾股定理求解即可． 【详解】解：在直角三角形中， ， ∴， ∴点C所表示的数为． 故答案为：． 9． 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：∵旗杆和地上的影子互相垂直， ∴， ∴， 即此时旗杆的顶端与影子的末端之间的距离是． 故答案为：25． 10．直角 【分析】本题考查勾股定理逆定理，根据圆的面积公式，结合题意求出是解题关键．分别求出，再结合，即可得出，说明是直角三角形． 【详解】解：∵，，， 又∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 故答案为：直角． 11．10 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，折叠的性质．明确周长最小时点的位置是解题的关键． 由，可得是直角三角形，且，如图，连接，由折叠的性质可知，，，，， 则，，由的周长为，可知当三点共线即重合时，的周长最小，设，则，由勾股定理得，，即，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即是直角三角形，且， 如图，连接，    由折叠的性质可知，，，，， ∴，， ∵的周长为， ∴当三点共线即重合时，的和最小，即的周长最小， 设，则， 由勾股定理得，，即，解得，， ∴的长为10， 故答案为：10． 12． 【分析】连接，利用勾股定理求出各边的长度，再根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状，进而求出的度数． 【详解】解：连接，如图． 由题意得，，， ，． 是等腰直角三角形． ． 【点睛】本题考查了勾股定理及等腰直角三角形的判定，解题关键是通过勾股定理求出三角形三边长度，结合勾股定理的逆定理判断三角形形状，进而得出角的度数． 13． 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识．根据折叠的性质可得：，，，，进而证明，然后利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得：，，，， ， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ， 故答案为：． 14．100 【分析】本题考查平面展开−最短路径问题，关键知道两点之间线段最短，从而可找到路径求出解．作出A关于的对称点，连接，与交于点Q，此时最短；为直角的斜边，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示作出A关于的对称点，连接，与交于点Q，蚂蚁沿着的路线爬行时路程最短． 则， 根据题意：，， ∴， ∴， ∴最短路线长为， 故答案为：． 15．39 【分析】本题考查的是最短线路问题的应用，需要用到勾股定理内容，即直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方． 依据题意结合图示可得：图形侧面展开找最短路线，从外侧到内侧，需要上翻，然后两点之间，线段最短，根据勾股定理计算出最短路程．（勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．） 【详解】解：过B作于E点，如图： 则厘米，厘米，（厘米） 在直角三角形中， 因为 所以厘米 所以蚂蚁爬行是最短路程是39厘米． 16．或 【分析】本题考查了平面直角坐标系、勾股定理与折叠问题，运用分类讨论思想是解题的关键． 分两种情况讨论：①点在点A的右侧，②点在点A的左侧，利用勾股定理求出，根据折叠的性质得到，，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值，再结合坐标系即可得到点M的坐标． 【详解】解：①若点在点A的右侧，如图， ∵点A的坐标是，点B的坐标是， ∴，， ∵， ∴， 由折叠的性质得到，，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴点M的坐标为； ②若点在点A的左侧，如图， 由折叠的性质得到，，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴点M的坐标为； ∴综上所述，点M的坐标为或． 故答案为：或． 17．(1)甲巡逻艇的航行方向为北偏东 (2)6.5海里 【分析】此题主要考查了直角三角形的判定、勾股定理及方向角的理解及运用，难度适中．利用勾股定理的逆定理得出为直角三角形是解题的关键． （1）先用路程等于速度乘以时间计算出，的长，利用勾股定理的逆定理得出为直角三角形，再利用在直角三角形中两锐角互余求解； （2）分别求得甲、乙航行3分钟的路程，然后由勾股定理来求甲乙的距离． 【详解】（1）解：由题意得：， （海里），（海里）， （海里）， ， 是直角三角形， ， ， 甲的航向为北偏东； （2）解：甲巡逻船航行3分钟的路程为：（海里）， 乙巡逻船航行3分钟的路程为：（海里）， 3分钟后，甲乙两巡逻船相距为：（海里）． 18．(1) (2)风眼离海港最近的距离是 (3)台风影响该海港持续的时间为 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用、三角形面积公式的应用，解题的关键是利用勾股定理逆定理判断三角形形状，结合面积公式和勾股定理解决距离及时间问题． （1）通过计算与是否相等，利用勾股定理逆定理判断的度数； （2）过点C作，利用直角三角形面积公式，结合、、的长度求出的长，即风眼离海港C最近的距离； （3）在上找到到C距离为的两点E、，利用勾股定理求出和的长，进而得到的长，再结合台风速度求出影响持续时间． 【详解】（1）因为，所以， 所以是直角三角形，． （2）如图，过点作于点． 因为是直角三角形， 所以， 所以， 所以． 故风眼离海港最近的距离是． （3）如图，为上两点，且． 在中，由勾股定理，得，所以． 同理可得， 所以， 故台风影响该海港持续的时间为． 19．(1)； (2)①；②见详解． 【分析】该题考查了勾股定理． （1）利用勾股定理，求解即可． （2）①利用勾股定理求解即可． ②利用数形结合的思想解决问题即可． 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以， 因为，所以． （2）解：①，所以． ②如图2中，线段即为所求作． 20．(1)； (2) 解：如图，，， ，， ， 以、、三条线段可以组成直角三角形． 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，充分利用网格是解题的关键． （1）利用勾股定理求出、的长即可； （2）根据勾股定理的逆定理，即可作出判断． 【详解】（1）解：； ； （2）略 21．5 【分析】本题考查的是勾股定理最短路径问题，根据题意画出长方体的侧面展开图，根据勾股定理求解是解答此题的关键． 【详解】解：①把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如答图①． 长方体的宽为2，高为4，点与点的距离是1， ． ②把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如答图②． 长方体的宽为2，高为4，点与点的距离是1， ． ③把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如答图③． 长方体的宽为2，高为4，点与点的距离是1， ． ∴蚂蚁爬行的最短路程为5． 22．米． 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出方程是解题关键．直接利用勾股定理得出，进而求出答案． 【详解】解：设为米， ∵在中，，，， ∴由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴湖水深为米． 23． 【分析】证明为直角三角形即可． 【详解】解：，， ． ，，， ． 由勾股定理的逆定理得． 24．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形全等的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． （1）由等腰三角形的性质得出，由证明，得出，即可得出结论； （2）由等腰三角形的性质和全等三角形的性质得出，由平行线的性质得出，求出，由直角三角形的性质得出，由勾股定理得出，即可得出四边形的周长． 【详解】（1）证明：∵，E是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即平分； （2）解：∵，E是的中点， ∴，， 由（1）知， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形的周长． 25．(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理．证明是直角三角形是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，可得答案； （2）用勾股定理解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以是直角三角形，． （2）解：因为，所以． 在中，， 所以， 所以． 26． 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，三角形全等的判定和性质，设与交于点．由折叠的性质可知，根据三角形全等的性质得出．证明，得出，设，则，根据勾股定理得出，求出结果即可． 【详解】解：如图，设与交于点． ∵四边形是长方形， ∴，． 由折叠的性质可知， ∴． 在和中，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴． 根据勾股定理，得， 即， 解得， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $