29.1 锐角的正弦、余弦与正切（第2课时）2026-2027学年数学沪教版五四制九年级上册

第29章 三角初步 29.1 锐角的正弦、余弦与正切 （第2课时）锐角的正切 年 级：九年级上册 学 科：数学（沪教版） 情境引入 两条直角边的比怎样表示？ 回顾：正弦：对边与斜边之比。 回顾：余弦：邻边与斜边之比。 问题：若只知道两条直角边，能否直接描述锐角？ 新知讲授 锐角的正切 定义：直角三角形中一个锐角的对边与邻边之比叫作这个锐角的正切。 记法：锐角A的正切记作。 边比：。 新知运用 直接用两条直角边求正切 在Rt△ABC中，，，。求、。 答：，。 对∠A：对边BC，邻边AC。 对∠B：对边AC，邻边BC。 分别写出对边与邻边之比。 方法：先确定参考角，再按定义写边比。 注意：求正切不需要用斜边作分母。 新知讲授 换参考角，两条直角边互换角色 以∠A为参考 对边是BC，邻边是AC。 。 比值中不使用斜边AB。 以∠B为参考 对边是AC，邻边是BC。 。 同样只使用两条直角边。 同一直角三角形中，两锐角的正切值互为倒数。 新知讲授 正切值可以大于1吗？ 正数：两条直角边都大于0，故。 三种情况：对边短于、等于或长于邻边，比值分别小于、等于或大于1。 辨别：锐角的正切值不受“小于1”的限制。 新知讲授 锐角与三个比值的确定性 角确定：一个锐角的大小确定，其正弦、余弦与正切值也都确定。 比值确定：一个锐角的正弦、余弦或正切值确定，这个锐角也确定。 边长不唯一：三角形可以按比例放大或缩小，角和边比保持不变。 例题讲解 例 3 如图，在Rt△ABC中，，，。求和的值。 答：。 。 对∠A：对边BC，邻边AC。 。 方法：先确定参考角，再按定义写边比。 注意：17是斜边长，不能直接作正切的分母。 例题讲解 例 3 如图，在Rt△ABC中，，，。求和的值。 答：。 已求得。 对∠B：对边AC，邻边BC。 。 方法：参考角变了，把两条直角边的角色重新列出。 注意：斜边在直角的对面。 例题讲解 例 4 如图，在平面直角坐标系中有一点。求OP与x轴正半轴的夹角α的正切、正弦和余弦值。 答：。 过P作轴，垂足为Q。 由得，。 。 方法：向x轴作垂线，把坐标变成两条直角边。 注意：α在O处，对边是竖直的PQ。 例题讲解 例 4 如图，在平面直角坐标系中有一点。求OP与x轴正半轴的夹角α的正切、正弦和余弦值。 答：，。 过P作轴，垂足为Q。 。 ，。 方法：先确定参考角，再按定义写边比。 注意：斜边在直角的对面。 例题讲解 变式 例 4 点位于第一象限，OM与x轴正半轴的夹角为β。求，并比较β与例4中α的大小。 答：，。 作轴。 。 两个锐角正切值相同，故大小相同。 方法：先取纵坐标与横坐标之比，再比较。 注意：本题只讨论第一象限内的锐角。 新知讲授 同一锐角三个比值之间的联系 正弦与余弦：，。 相除：。 得到关系：。 例题讲解 例 5 如图，在Rt△ABC中，，，。（1）求AB的长；（2）求和的值。 答：（1）。 。 。 方法：已知对边与正弦，先用对边除以正弦。 注意：这里求的是斜边，用正弦关系最直接。 例题讲解 例 5 如图，在Rt△ABC中，，，。（1）求AB的长；（2）求和的值。 答：（2），。 。 。 。 方法：先勾股补直角边，再分别求两个比。 注意：保留根式精确值，中间不取小数。 例题讲解 变式 例 5 在Rt△ABC中，，。求。 答：。 设，。 勾股定理得。 。 方法：设k把正弦边比转为三条边的比例。 注意：分母由斜边变为邻边，不能照抄正弦值。 新知讲授 两个互余锐角的正切乘积 条件：在Rt△ABC中，，A、B互余。 边比相乘：。 结论：。 新知辨析 辨析 正切的分母和取值 （1）正切的分母总是三角形中最长的边。 × 正切的分母是参考锐角的邻边。 （2）锐角A满足，这是可能的。 √ 对边可以是邻边的2倍。 （3）与互为倒数时，二者一定都小于1。 × 若不都等于1，则一个大于1，另一个小于1。 方法：按定义逐项核对分子与分母。 注意：先看前提，再判结论。 课堂练习 练习1 如图，△ABC和△PQR是直角三角形，。 （1） 若，，求、的值。 （2） 若，，求、的值。 解第（1）题 ，。 。 按∠A、∠B分别定位直角边。 方法：先补边，再写比。 注意：每问分别确定参考角。 课堂练习 练习1 如图，△ABC和△PQR是直角三角形，。 （1） 若，，求、的值。 （2） 若，，求、的值。 解第（2）题 ，。 。 对∠R，对边PQ、邻边PR。 方法：先补边，再写比。 注意：每问分别确定参考角。 课堂练习 练习2 如图，在平面直角坐标系中有一点，原点O与点A的连线与x轴正半轴的夹角为α。求、、的值。 答：。 过A作轴，垂足为Q。 ，。 。 方法：先确定参考角，再按定义写边比。 注意：斜边在直角的对面。 课堂练习 练习2 如图，在平面直角坐标系中有一点，原点O与点A的连线与x轴正半轴的夹角为α。求、、的值。 答：，。 过A作轴，垂足为Q。 。 ，。 方法：先确定参考角，再按定义写边比。 注意：分母根号10可有理化，不取小数近似。 课堂练习 练习3 如图，在平面直角坐标系中，原点O与点P的距离，OP与x轴正半轴的夹角为，P在第一象限。求点P的坐标以及、的值。 答：。 过P作轴，垂足为Q。 设。 ，得。 方法：45°与直角确定等腰直角三角形。 注意：P在第一象限，所以两坐标均为正。 课堂练习 练习3 如图，在平面直角坐标系中，原点O与点P的距离，OP与x轴正半轴的夹角为，P在第一象限。求点P的坐标以及、的值。 答：，。 过P作轴，得两直角边均为。 。 。 方法：本题数值由等腰直角三角形直接推得。 注意：斜边在直角的对面。 课堂练习 变式 课堂变式 正切为1意味着什么？ 在Rt△ABC中，，。判断两直角边的关系，并求∠A、∠B。 答：，。 由得。 等边对等角，故。 两锐角之和为，各为。 方法：把正切值1还原成两条直角边相等。 注意：斜边在直角的对面。 新知讲授 三个比值，怎样选择最直接？ 两条直角边已知 所求为正切：直接写边比。 所求为正弦或余弦：先补斜边。 不要增加不必要的未知量。 斜边和一直角边已知 对应正弦或余弦可以直接求。 所求为正切：先补另一直角边。 分清相对参考角的边名。 围绕同一锐角，看已知边与所求边之间是哪一种比。 练习反馈 从坐标题提炼统一步骤 构造：从第一象限内的点向x轴作垂线。 对应：横坐标给水平邻边，纵坐标给竖直对边。 运算：正切直接求比；正弦、余弦先用勾股求斜边。 课堂总结 锐角的正切 定义 对边与邻边之比 边比转化 先固定同一个锐角 互余锐角 对边与邻边互换 两个正切值乘积为1 坐标求比 向x轴作垂线 坐标转化为直角边 特别提醒：正切的分母是邻边；正切值可以大于或等于1。 针对训练 训练1 选择正确的正切表达式 在Rt△ABC中，，，，。下列哪项正确？ A. B. C. D. 答：C。 ∠A的对边BC长，邻边AC长。 。 方法：先确定参考角，再按定义写边比。 注意：比值与三角形的大小无关。 针对训练 训练2 填出互余角的正切 在Rt△ABC中，，，。求AC与。 答：，。 ，得。 ∠A与∠B互余，正切值互为倒数。 方法：先确定参考角，再按定义写边比。 注意：比值与三角形的大小无关。 针对训练 训练3 判断与纠错 （1）意味着对边与邻边之比为。 √ 这是正切定义的直接表达。 （2）意味着也等于。 × 正弦使用斜边作分母，且锐角正弦小于1。 （3）互余的两个锐角A、B满足。 × 应为。 方法：按定义逐项核对分子与分母。 注意：先看前提，再判结论。 方法总结 正切的识别与直接运算 方法1　固定参考角 ① 明确哪条边在角的对面。 ② 分母选邻边，不选斜边。 方法2　互余角转化 ① 互余时，对边与邻边互换。 ② 已知一个正切，取倒数求另一个。 针对训练 训练4 已知斜边时先补边 在Rt△ABC中，，，。求与。 答：，。 。 分别写和。 方法：先确定参考角，再按定义写边比。 注意：比值与三角形的大小无关。 针对训练 训练5 从余弦转到正切 在Rt△ABC中，，。求。 答：。 设，。 勾股定理得。 。 方法：先把余弦还原成邻边与斜边的比例。 注意：比值与三角形的大小无关。 针对训练 训练6 从正切求另外两种比 在Rt△ABC中，，。求与。 答：，。 设，。 勾股定理得。 以斜边为分母分别写出两个比。 方法：正切给两条直角边的比，再勾股求斜边。 注意：比值与三角形的大小无关。 方法总结 三个比值之间的转化 方法1　设k补边 ① 正弦或余弦先确定斜边的比例。 ② 正切先确定两条直角边的比例。 方法2　勾股后求比 ① 缺斜边时平方和开方。 ② 缺直角边时，先用斜边平方减另一边平方，再开方。 针对训练 训练7 用坐标直接求正切 点在第一象限，OP与x轴正半轴的夹角为α。求、、。 答：，，。 作轴，得，。 。 按三个定义写比并约分。 方法：先确定参考角，再按定义写边比。 注意：比值与三角形的大小无关。 针对训练 训练8 由方向求点的坐标 点在第一象限，OP与x轴正半轴夹角为α，。求y和OP。 答：，。 作轴，。 ，得。 。 方法：用纵坐标除以横坐标，先列一元方程。 注意：图中点的纵坐标应视作未知量。 针对训练 训练9 同一条高，两种正切 如图，，，垂足为D。用边比表示与，两式都要求含CD。 答：，。 在Rt△ACD中，∠A对边CD、邻边AD。 在Rt△BCD中，∠B对边CD、邻边BD。 方法：围绕高CD分别选择两个小直角三角形。 注意：两个式子的分母不同，参考角也不同。 方法总结 坐标与复合图 方法1　坐标成三角形 ① 第一象限内，横坐标对应水平邻边。 ② 纵坐标对应竖直对边。 方法2　作高分图 ① 围绕题目指定的锐角选择小三角形。 ② 在所选三角形中重新认对边、邻边。 针对训练 训练10 用两个比值求未知量 锐角A满足，，且。求x。 答：。 解 。 ，得。 方法：先利用同一个锐角的三个比值关系。 注意：相除时除以整个余弦值。 针对训练 训练11 应用：直坡道的高度 一段直坡道AB的水平距离AC为 m，竖直高度为BC，。坡道与水平地面的夹角为α，。求BC和AB。 m 答： m， m。 m。 m。 方法：正切把竖直高度与水平距离联系起来。 注意：水平距离12 m不是坡道斜长。 针对训练 训练12 应用：拉索落地点的位置 竖直杆BC高 m，拉索连接杆顶B与地面点A，地面AC水平。设拉索与地面的夹角为α，。求杆脚C到A的距离及拉索AB的长。 m 答： m， m。 ，得 m。 m。 方法：先由对边除以正切求邻边，再补斜边。 注意：应明确α位于地面点A处。 方法总结 实际问题中的正切 方法1　高度与水平距离 ① 画出水平线和竖直线组成直角。 ② 用正切连接竖直对边与水平邻边。 方法2　列式后检查 ① 看所求是高度、水平距离还是斜长。 ② 斜长最后用勾股定理求，并写单位。 $