第12讲 锐角的正弦、余弦与正切（暑假预习讲义）新九年级数学新教材沪教版五四制

第12讲 锐角的正弦、余弦与正切 内容导航 01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 正弦的概念辨析 题型2 求角的正弦值 题型3 已知正弦值求边长 题型4 余弦的概念辨析 题型5 求角的余弦值 题型6已知余弦求边长 题型7正切的概念辨析 题型8求角的正切值 题型9已知正切值求边长 题型10特殊三角形的三角函数 题型11特殊角三角函数值的混合运算（重点） 题型12根据特殊角三角函数值求角的度数 题型13利用同角三角函数关系求值（难点） 题型14互余两角三角函数的关系（重点） 题型15三角函数综合（难点） 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 锐角三角函数、正弦、余弦、正切、对边、邻边、斜边、直角三角形、特殊角三角函数值、同角三角函数关系、互余角三角函数关系、三角函数求值 1.理解锐角正弦、余弦、正切的定义，能在直角三角形中准确区分指定锐角的对边、邻边与斜边，正确写出对 应锐角的三个三角函数表达式。 2.掌握锐角三角函数值与角的大小的对应关系，理解直角三角形边长同比例缩放时，锐角三角函数值保持不变 的原理，能完成相关概念辨析。 3.熟记30、45°、60°特殊锐角的正弦、余弦、正切值，能熟练完成特殊角三角函数的混合运算，也能根据函 数值反推对应锐角度数。 4.掌握同角三角函数的基本关系、互余两角的三角函数关系，能运用两类关系完成三角函数式的化简与求值。 5.能运用锐角三角函数的定义，解决直角三角形中“已知边长求三角函数值”已知三角函数值求边长”的基础题 型，建立数形结合的解题思维。 学习重点：1．锐角正弦、余弦、正切的定义与对应表达式 2． 特殊角的三角函数值及混合运算 3．互余两角的三角函数关系及其应用 4．利用三角函数定义求解直角三角形的边长与函数值 学习难点：1.锐角对边、邻边的相对性，不同锐角对应边的准确识别 2.同角三角函数基本关系的灵活变形与求值应用 3.三角函数与勾股定理结合的综合类求值问题 4.互余关系、同角关系与三角函数定义的综合运用 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01锐角的正弦与余弦 1.直角三角形中一个锐角的对边与斜边之比叫作这个锐角的正弦。 在 中， 的对边分别用 a , b , c 表示。而在Rt 中，若 ，直角边 B C和 A C 分别称为 的对边和邻边，而直角边 A C 和 B C 分别称为 的对边和邻边． 在Rt 中， ，锐角 的正弦记作 ，其值为 ． 如果一个锐角的大小确定了，那么这个角的正弦值也就确定了；反过来，如果一个锐角的正弦值确定了，那么这个锐角的大小也就确定了． 当角 在 到 的范围内增大时， 的值增大，给定 可唯一确定 ，给定 值也可唯一确定 值。 2.直角三角形中一个锐角的邻边与斜边之比叫作这个锐角的余弦。 在Rt 中， ，锐角 的余弦记作 ，其值为 ． 如果一个锐角的大小确定了，那么这个角的邻边与斜边的比值也就确定了；反过来，如果直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比值确定了，那么这个锐角的大小也就确定了． 如果把一个锐角的三边的长都扩大为原来的2倍，那么锐角A的正弦值（    ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的 C．没有变化 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查锐角三角函数，解答本题的关键是明确锐角三角函数的定义，知道变化前后的两个三角形相似． 根据一个锐角的三边的长都扩大为原来的2倍，可知扩大后的三角形与原三角形相似，可以判断锐角A的正弦值是否变化． 【详解】解：一个锐角的三边的长都扩大为原来的2倍， 设新三角形为， ， ， 锐角的正弦值没有变化， 故选：C． 已知为锐角，且，那么的余弦值为_______． 【答案】/ 【分析】此题考查了锐角三角函数的定义．由题意设，则，再根据勾股定理求出斜边，即可求出的余弦值． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴设，则， ∴， ∴的余弦值为， 故答案为：． 知识点02锐角的正切 直角三角形中一个锐角的对边与邻边之比叫作这个锐角的正切． 在Rt 中， ，锐角 的正切记作 ，其值为 一般地，如果一个锐角的大小确定了，那么这个锐角的正弦、余弦与正切值也是唯一确定的；反之，如果一个锐角的正弦、余弦或正切值确定了，那么这个锐角的大小也是唯一确定的． 对任意锐角，恒有 ． 在直角三角形中，两个互余锐角满足 ． 如果将一个锐角的三边的长都扩大为原来的5倍，那么锐角的正切值（   ） A．没有变化 B．不能确定 C．扩大为原来的5倍 D．缩小为原来的 【答案】A 【分析】本题主要考查正切的定义，熟练掌握正切的定义是解题的关键；根据角的大小与角两边的长度无关，然后问题可求解． 【详解】解：将一个锐角的三边的长都扩大为原来的5倍，根据角的大小与角两边的长度无关可知：变化后的锐角的大小没有变化，所以正切值也没有变化； 故选A． 在中，于，且，则________． 【答案】 【分析】此题主要考查的求角的正切值．证明，则． 【详解】解：如图，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 知识点03求给定锐角的正弦、余弦与正切值 1.特殊锐角 三角函数值 角： 角： 角： 由特殊角三角函数值可反推对应锐角度数． 对任意锐角 ，满足 ． 2.计算器求三角函数相关值 （1）除 外的锐角，需使用带 功能键的计算器计算近似值，也可由函数值反求角度． （2）计算前需将计算器角度单位切换为＂度（D）＂模式． （3）不同品牌、型号计算器按键操作步骤存在差异． 若数轴上：的值用一个点表示，则这个点的位置可能落在（　　）段 A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键． 把特殊角的三角函数值代入进行计算即可解答． 【详解】解：，， ， ， 若数轴上：的值用一个点表示，则这个点的位置可能落在段②． 故选：． 计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了求特殊角的余切值，根据三角函数定义，是 的倒数，而为，然后即可得出答案． 【详解】解：， 故答案为： ． 题型1 正弦的概念辨析 【例1】在锐角中，如果各边长都扩大为原来的2倍，那么的正弦值（    ） A．不变 B．扩大2倍 C．扩大4倍 D．缩小为原来的一半 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，明确锐角三角函数值是角的固有属性，与边长无关是解题关键． 【详解】解：∵在锐角中，各边长扩大为原来的2倍后，所得三角形与原三角形三边对应成比例， ∴所得三角形与原三角形相似， ∴的大小不变． 又∵锐角的正弦值由角的大小决定，与边的长度无关， ∴的正弦值不变． 故选：A． 【例2】若，则锐角__________锐角（填、或）． 【答案】 【分析】本题考查了正弦的定义，根据在锐角范围内，正弦的函数值随着角度的增大而增大即可得出答案，熟练掌握相关知识点是解此题的关键． 【详解】解：∵在锐角范围内，正弦的函数值随着角度的增大而增大， ∴若，则锐角锐角， 故答案为：． 【技巧归纳】 锐角正弦定义为对边与斜边的比值，即sinA= ，其值仅由角度大小决定，与三角形边长缩放无关. 锐角范围内，正弦值随角度增大而增大，可据此比较两角大小. 易错点:易误将边长变化等同于正弦值变化;增减性仅适用于锐角范围. 【变式1-1】如图，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正弦函数的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据正弦函数的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 【变式1-2】如图，在中，，于点D，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形中正弦、余弦及正切的定义．根据题意在直角三角形内结合各选项表示出不同的正弦、余弦及正切角的表示方式，通过比较选择正确表示选项即可． 【详解】解：A项：在中，， 在中，， 以上均不符合选项，故A错误； B项：在中，， 在中，， 以上均不符合选项，故B错误； C项：在中，， 在中，， 其中符合选项，故C正确； D项：在中，， 在中，， 以上均不符合选项，故D错误， 故选：C． 【变式1-3】比较大小：   （1）________；（2）________． 【答案】 【分析】（1）如图所示，在中，，证明越大，的值越小即可得到答案； （2）先证明，再根据（1）的结论求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，在中，设， ∴， 当减小时，的值减小，而此时的度数在增大， ∴可知越大，的值越小， ∵， ∴， 故答案为：；    （2）如图所示，在中，设， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由（1）可得， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了锐角三角函数，熟知余弦和正弦的定义是解题的关键． 题型2 求角的正弦值 【例3】在中，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形中锐角正弦的定义，利用定义直接计算即可得到结果． 【详解】解：∵在中，，是的对边，是斜边， 又，，根据锐角正弦的定义：， ． 【例4】如图为人行天桥的示意图，若高长为10米，斜道长为30米，则的值为______． 【答案】 【详解】解：∵高长为10米，斜道长为30米， ∴． 【技巧归纳】 直角三角形中，sinA=先确定所求锐角，找准对边与斜边后代入计算。 实际场景类题目，从示意图提取直角三角形，铅直高度为角的对边，斜道为斜边。 易错点:易混淆对边与邻边;非直角图形需先作高构造直角三角形，结果需化为最简。 【变式2-1】如图，在Rt△ABC中，，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用勾股定理求出的长，再根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴． 【变式2-2】在平面直角坐标系中，已知点和，则__________ 【答案】 【分析】根据点与点的坐标可得，的长度，利用勾股定理求出斜边的长度，再根据锐角三角函数中正弦的定义即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意可知，，， 则， 故在中，． 【变式2-3】如图，在中，．若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用勾股定理得到，再根据正弦的计算求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴ ． 题型3 已知正弦值求边长 【例5】如图，长春市组织的冰雪活动中，中学生小旺沿着倾斜角为的斜坡练习滑雪，从点滑行到点．若米，则小旺下降的高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】根据正弦定义可知，两边同时乘以可得米，所以小旺下降的高度为米． 【详解】解：如下图所示， 在中，，，米， ， ， 米， 小旺下降的高度为米． 【例6】如图，中，，，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，由正弦的定义可得，即得，再根据勾股定理解答即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【技巧归纳】 由sinA=已知一边与正弦值，可求其余边长，常结合勾股定理运算。 斜坡类实际问题，下降高度为倾斜角的对边，等于坡长乘该角正弦值。 易错点:易混淆对边与邻边，误用余弦或正切;比例关系不可直接等同于实际边长。 【变式3-1】如图，在中，若，，，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据正弦求出的长，再利用勾股定理求出的长，然后根据正切的定义解答即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式3-2】拉杆式旅行箱的侧面示意图如图，箱体长，当手臂自然下垂拉旅行箱时，人体感觉较为舒服．若此时拉杆伸长长度，拉杆与水平面夹角为，则拉杆把手处到地面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：， ， ∴． 【变式3-3】如图，在中，，，，则的长为___________． 【答案】5 【分析】本题主要考查了利用正弦函数求线段长，掌握正弦的定义是解题的关键． 根据三角函数正弦函数的定义列方程求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，即，解得：． 故答案为5． 题型4 余弦的概念辨析 【例7】如图，中，，斜边，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦函数的定义，在直角三角形中，一个锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值，在，，根据余弦函数的定义即可求得． 【详解】解：三角形为直角三角形， ， ， ． 【例8】如图是桂新高速某一隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，AD垂直地面，垂足为点D，BC⊥AD，垂足为点C．设∠ABC＝，下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由锐角三角函数的定义即可得出结论． 【详解】解：在中，，， ∴，，， 故选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意． 【技巧归纳】 直角三角形中，cosa=，先确定所求锐角，找准邻边与斜边，再列关系式或计算边长。 复杂图形先定位直角三角形，明确角的对应边。易错点:易与正弦定义混淆，错用对边计算;非标准图形易找错邻边位置 【变式4-1】在中，，、、的对边分别为、、，那么下列等式中错误的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，利用锐角三角函数的定义对边与边的关系进行转化是解题的关键． 根据每个三角函数的定义，将选项中的等式与定义变形后的式子对比即可判断． 【详解】解：在中，，对边分别为、、， ∵， ∴，故A正确，该选项不符合题意； ∵， ∴，故B错误，该选项符合题意； ∵， ∴，故C正确，该选项不符合题意； ∵， ∴，故D正确，该选项不符合题意． 故选：B． 【变式4-2】如图，已知在中，，分别是边上的高，连接，那么和的周长比为_________． 【答案】/ 【分析】根据三角形的高得出，证明，继而证明，根据周长比等比相似比，结合，即可求解． 【详解】∵分别是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴与的周长比， ∵， ∴与的周长比， 故答案为：． 【点睛】本题考查了余弦的定义，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 题型5 求角的余弦值 【例9】如图，在中，，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵在中，，，， ∴． 【例10】如图，在中，为直角，，，则的值为__________． 【答案】/0.6 【分析】根据边长求解余弦值即可． 【详解】解：在中，， 所以． 【技巧归纳】 直角三角形中， 先定位所求锐角，找准对应邻边与斜边，边长不全时先用勾股定理补全再代入计算. 易错点:易与正弦、正切定义混淆，错用对边运算;需注意斜边恒为直角所对的最长边，结果化为最简. 【变式5-1】在中，，如果，，那么的值是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示： ∵ ，，， ∴ 由勾股定理得 ， ∵ ， ∴ ． 【变式5-2】中，，下列结论成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用勾股定理求出斜边AB的长度，再根据锐角三角函数的定义计算各选项的值，即可得到正确结论． 【详解】∵在中，，，， ∴由勾股定理得 ， 根据锐角三角函数定义判断： ，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误． 【变式5-3】已知在中，，那么的余弦值为______． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，余弦的定义；在中，利用勾股定理求，再通过面积法求，最后在中，根据余弦定义求的余弦值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴． 故答案为：． 题型6 已知余弦求边长 【例11】如图，是一块直角三角形的绿化带，，已知，绿化带的斜边长度为米，则绿化带的直角边的长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握，进行解答，即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 【例12】在中，的余弦值是，那么的长是___________． 【答案】16 【分析】本题考查了已知角的余弦值求边长．根据余弦定义，在直角三角形中，锐角的余弦值等于邻边与斜边的比，即 ，再把代入计算，即可作答． 【详解】解：∵的余弦值是，， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：16． 【技巧归纳】 由 ，已知余弦值与一边长，可列比例式求其余边长，常配合勾股定理补全未知边． 易错点：易混淆邻边与对边，错用正弦公式；已知邻边求斜边时易颠倒比例关系，需明确斜边为直角所对的边． 【变式6-1】如图，在中，已知，，，那么的长为（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，正确理解锐角三角函数的定义是解决问题的关键．先根据余弦的定义计算出，然后利用勾股定理计算出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式6-2】在中，，a，b，c分别表示的对边，那么下列结论中错误的是（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据锐角三角函数的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：如图，    ∵， ∴，故A选项错误，符合题意； ∵， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∵， ∴，故C选项正确，不符合题意； ∵， ∴，故D选项正确，不符合题意； 故选：A 【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角的对边与斜边的比叫做该锐角的正弦；锐角的邻边与斜边的比叫做该锐角的余弦；锐角的对边与邻边的比叫做该锐角的正切是解题的关键． 【变式6-3】如图，在直角坐标平面内，点P与原点O的距离，线段OP与x轴正半轴的夹角为，且，则点P的坐标是_________ 【答案】 【分析】本题考查了余弦的定义和勾股定理，熟知余弦的定义是解题的关键． 作轴于点B，如图，先根据余弦的定义求出，再利用勾股定理求出，进而得解． 【详解】解：作轴于点B，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴点的坐标是． 故答案为：． 题型7 正切的概念辨析 【例13】在Rt中，，，，，那么下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角函数的定义，根据直角三角形中三角函数的定义，分别计算和的三角函数值，并验证各选项. 【详解】解：如下图所示， A选项：，，，，故A选项错误； B选项：，，，，故B选项错误； C选项：，，，，故C选项正确； D选项：，，，，故D选项错误． 故选：C. 【例14】如图，在中，，作交边于点D．若，则的值为_____． 【答案】 【分析】先求出，设，求出，在根据余弦的概念求出即可． 【详解】解：， ， ， 设， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角函数，解题的关键是求出的长度． 【技巧归纳】 直角三角形中， ，定义辨析题需准确区分各三角函数的边比对应关系，厘清对边、邻边与斜边的边界． 出现等角条件时，可借助等角的三角函数值相等进行转化求解． 易错点：易颠倒对边与邻边位置，记错正切与余切的倒数关系． 【变式7-1】如图，在中，，，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角函数的定义根据定义逐一判断，即可求解；掌握，，是解题的关键． 【详解】解：A.，结论错误，故不符合题意； B.，结论正确；故符合题意； C.，结论错误，故不符合题意； D.，结论错误，故不符合题意； 故选：B． 【变式7-2】在中，，，，分别是，，的对边，有下列关系式：①；②；③；④，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查锐角的三角函数的定义，解题的关键是根据锐角的三角函数的定义分别表示出、、，从而逐一判断即可得． 【详解】解：如图， ∵， ∴，故①错误； ∵， ∴，故②正确、④错误； ∵， ∴，故③正确， ∴正确的有个． 故选：B．    【变式7-3】如图，在中，，，，是边上一点，，连接，过作的垂线交边于点，连接，则______． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义、相似三角形的性质与判定，掌握相关知识点，结合图形找到合适的相似三角形是解题的关键．通过证明，利用相似三角形的性质得到，再根据正切的定义得到，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ，即， ， ， 在中，， ， ． 故答案为：． 题型8 求角的正切值 【例15】在中，，已知，下列锐角三角比中，值为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的相关计算，勾股定理．结合在中，，，运用勾股定理求斜边，再根据锐角三角函数的定义计算的各个三角函数值，即可作答． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵的对边为，邻边为，斜边为， ∴， 故选：C． 【例16】在中，，、、分别是、、的对边，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了锐角三角函数，直角三角形中，一个锐角的正弦值等于这个锐角所对的直角边的长与斜边长的比值，余弦值等于另一直角边（不是该锐角的对边）的长与斜边长的比值，正切值等于这个锐角所对的直角边的长与另一直角边的长的比值，余切值等于另一直角边（不是该锐角的对边）的长与该锐角所对的直角边的长的比值，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，，、、分别是、、的对边， ∴，，，， 故选：B． 【技巧归纳】 直角三角形中， ，cotA为其倒数。概念辨析题需逐一核对各类三角函数的边比定义， 准确定位对应角的对边与邻边。 易错点：易颠倒对边与邻边位置，混淆正切与余切、正弦的边比关系，需结合图形确认边的对应性。 【变式8-1】在中，，，，则的值为________． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求出直角边的长度，再根据锐角三角函数中正切的定义计算即可． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得， 根据正切的定义，． 【变式8-2】如图为人行天桥的示意图，若高长为米，斜道长为米，则的值为_____． 【答案】 【分析】先由勾股定理求出，再由正切函数定义求解即可． 【详解】解：在中，，，则由勾股定理可得， ． 【变式8-3】图，已知在中，，，点为边延长线上一点，连接．求的正切值． 【答案】 【分析】本题主要考查解直角三角形，运用了三角函数概念，勾股定理和等腰三角形三线合一的性质． 【详解】解：过点A作与交点H． ∵在中，，， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， 则， 故答案为：． 题型9 已知正切值求边长 【例17】在中，已知，，，那么的长是（   ） A．6 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正切，熟练掌握正切的定义是解题关键；利用正切函数的定义，在直角三角形中，利用． 【详解】解：∵在中，已知，， ∴， 又∵， ∴， 故选：A． 【例18】已知中，，，，那么的长为______． 【答案】6 【分析】此题考查利用正切值求线段的长，根据正切函数的定义，等于的对边与邻边的比值，即，由此求出的长． 【详解】在中，，， ∵，， ∴， 解得 ， 故答案为6． 【技巧归纳】 直角三角形中，依据 ，已知正切值与一条直角边，列比例式即可求解另一条直角边. 易错点：易颠倒对边与邻边位置，错置分子分母；需精准对应所求锐角的边，避免与正弦、余弦定义混淆． 【变式9-1】在直角中，，那么下列关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的定义判断解答即可． 本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：画图如下： A. ，故选项错误，不符合题意；     B. ，故选项正确，符合题意；     C. ，故选项错误，不符合题意；     D. ，故选项错误，不符合题意； 故选：B． 【变式9-2】已知锐角，如果，那么_______． 【答案】 【分析】本题考查的是锐角三角函数的应用，根据，画图设，则，再求解，从而可得答案． 【详解】解：如图，，， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， 故答案为： 【变式9-3】在中，和所对的边长分别为．若，解这个直角三角形． 【答案】，，． 【分析】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理，三角函数的定义．先根据三角形内角和定理求出，根据直角三角形性质得出，根据三角函数定义得出，最后根据求出三边长即可． 【详解】解：在中，， ． 又， ， ， ， ． ，即， 解得， 则， ． 题型10 特殊三角形的三角函数 【例19】点关于轴对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算特殊角的三角函数值得到点的坐标，再利用关于轴对称的点的坐标特征求解，即可得到正确选项. 【详解】解：∵， ∴点的坐标为 ∵关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数 ∴点关于轴对称的点的坐标为. 【例20】计算：________． 【答案】/ 【详解】解：． 47．如图，在中，若，则的值为____． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质求出，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【技巧归纳】 需熟记 的正弦、余弦、正切值，代入后结合坐标对称、零指数幂等规则运算． 易措点：易混淆特殊角的三角函数数值；关于坐标轴对称的坐标变换规律易记反；忽略零指数幂底数不为零的前提。 【变式10-1】计算：． 【答案】 【分析】先分别计算绝对值、零指数幂、算术平方根，再算加减法．任意非零数的零指数幂等于1． 【详解】解： ． 【变式10-2】计算：． 【答案】6 【分析】先计算特殊角三角函数值，绝对值，负整数指数幂，零指数幂，再计算乘法，最后计算加减，即可求解． 【详解】解：原式． 题型11 特殊角三角函数值的混合运算 【例21】的值等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【详解】解： ， 故选：C． 【例22】计算：_____． 【答案】/ 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 根据的余弦值直接得出结果． 【详解】解：． 故答案为：． 【技巧归纳】 熟记 的各三角函数值，代入原式后遵循实数运算顺序，先乘除后加减，最终结果化为最简形式． 易错点：易混淆不同特殊角的函数值；运算顺序颠倒；根式与分数运算时通分化简出错． 【变式11-1】计算： __________． 【答案】0 【分析】本题考查了含有特殊角的三角函数解得计算，二次根式的化简，熟练掌握知识点是解题的关键．分别代入每一个特殊角的三角函数值，去绝对值，再进行加减计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：0． 【变式11-2】计算：． 【答案】3 【详解】解： ． 【变式11-3】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了特殊三角函数值的混合运算、零指数幂，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 先代入特殊角的三角函数值，再根据零指数幂的性质化简，最后根据实数的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 题型12 根据特殊角三角函数值求角的度数 【例23】已知α是锐角，，那么锐角α的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握相关数值是解题关键．根据特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：∵ ，且 ，α 是锐角， ∴， 故选：B． 【例24】如果，那么锐角___________度 【答案】30 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键，直接利用特殊角的三角函数值进而求得答案． 【详解】解：∵， ∴锐角， 故答案为：30． 【技巧归纳】 熟记 的各三角函数值，由已知函数值反向匹配对应锐角度数． 易错点：易混淆正弦与余弦的特殊数值；余切与正切的倒数关系易记错，导致角度对应错误；需关注题目限定的锐角范围． 【变式12-1】在中，若，，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值．利用特殊角的三角函数值求出，，再根据三角形内角和定理计算的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故选：A． 【变式12-2】在中，若锐角，满足，则的度数是 ___________． 【答案】/75度 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，三角形的内角和定理，三角函数，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据绝对值的非负性可得，，，从而可得，，，进而可得，，然后利用三角形的内角和定理，进行计算即可解答． 【详解】解：， ，， ，， ，， ， 故答案为：． 【变式12-3】求满足下列条件的锐角α． (1) ； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据特殊角三角函数值，即可得答案； 本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题的关键． 【详解】（1）解： 锐角 （2）解： 题型13 利用同角三角函数关系求值 【例25】如果是锐角，且，那么的值（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同角的三角函数的关系，熟练掌握同角的三角函数的关系是解答本题的关键． 根据题意得，利用求出答案． 【详解】解：， ． 故选：． 【例26】的边长扩大两倍，那么的值（    ） A．变大原来的两倍； B．小为原来的一半； C．不变； D．不能确定． 【答案】C 【分析】根据锐角三角函数的性质可知，角的大小确定后，锐角三角函数值固定不变，即可解答． 【详解】解：根据锐角三角函数的定义可知，的大小确定后，的三角函数值与边长无关，固定不变， ∴的边长扩大两倍，的值不变， 故选：C. 【点睛】此题考查了锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数的性质是解题的关键． 【技巧归纳】 同角锐角三角函数满足 ，已知一个函数值可推导其余值。三角函数值仅由角度大小决定，三角形边长等比例缩放时，各三角函数值保持不变。 易错点：开方运算易忽略锐角范围取错符号；易误将边长缩放等同于函数值变化。 【变式13-1】已知 (为锐角)，则 ___________ 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数，解答本题的关键是掌握三角函数的相关定义．将分子和分母同时除以，化简可得，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， 故， 将代入，原式． 故答案为：． 【变式13-2】下列结论（其中是锐角）：①；②；③当时，；④．其中正确的有________． 【答案】③④ 【分析】本题考查了同角三角函数的关系及锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键． 根据同角三角函数关系及锐角三角函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：①∵，， ∴不一定小于等于1，故①错误； ②若，则， ， ∴ ∴，故②错误； ③当时，， ∴越大，对边越大，且越接近斜边， ∴越大， ∴当时，，故③正确； ④∵，，， ∴，故④正确． 故答案为：③④． 【变式13-3】如图，在中，，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查等腰三角形的三线合一的性质，解直角三角形的应用，勾股定理，三角函数值相等，引出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）作，根据求出，再根据勾股定理求出，利用等腰三角形的三线合一的性质得到； （2）作，根据，得出，根据勾股定理得，即可得出； 【详解】（1）如图，过点作于点， ， ， 在中， ， ， ， 则． （2）如图，过点作于， ， ， ， 题型14 互余两角三角函数的关系 【例27】在中，，，那么等于（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了互余两角三角函数的关系：若，那么或．利用互余两角三角函数的关系直接求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故选：C． 【例28】已知中，，，则________． 【答案】 【分析】本题考查了互余两角的三角函数的关系，一个角的余切值等于这个角的余角的正切值，据此作答即可． 【详解】解：∵， ∴和互余， ∴． 故答案为：． 【技巧归纳】 直角三角形中两锐角互余，满足 ，可直接由一角的函数值得另一角的对应函数值。 易错点：易混淆互余两角的函数名对应关系，错配正切与正弦；转换时易颠倒分子分母，可结合定义辅助验证。 【变式14-1】三角函数、、之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的特点．根据三角函数之间的关系，得出，再根据余弦值随着角度的增大而减小进行判断即可． 【详解】解：∵， 又，余弦值随着角度的增大而减小， ∴，故C正确． 故选：C． 【变式14-2】计算：s___________． 【答案】0 【分析】本题考查锐角三角函数之间的关系．根据平方关系，倒数关系，互余关系，进行求解即可．掌握三角函数之间的关系，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴原式； 故答案为：0． 【变式14-3】（1）计算的结果为______； （2）在RtABC中，∠C是直角，求证：． （3）根据（2）中的结果，计算：． 【答案】（1）1；（2）证明见解析；（3） 【分析】本题主要考查锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题关键． （1）代入特殊角的三角函数值计算，即可得答案； （2）根据正切的定义即可得结论； （3）根据相关角的三角函数之间的关系，代入特殊角的三角函数值，再化简绝对值，计算即可得答案． 【详解】解：（1）． 故答案为： （2）∵在中，是直角， ∴，， ∴． （3） ． 题型15 三角函数综合 【例29】在中，，的对边分别是，那么下列等式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查锐角三角函数，根据直角三角形中三角函数的定义，逐一验证每个等式是否正确即可． 【详解】解：在中，，的对边分别是，如图， ∴， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵ ∴，故选项B错误，符合题意； ∵， ∴，故选项C正确，不符合题意； ∵， ∴，故选项D正确，不符合题意； 故选：B． 【例30】下列说法中，正确的是（   ） A． B．若，则 C．若为锐角，，则 D．在中，锐角的两个邻边都扩大5倍，则也扩大5倍 【答案】C 【分析】本题考查三角函数的定义和性质，需根据三角函数的定义判断各选项的正确性． 【详解】解：A、三角函数的度数不能直接相加，A错误； B、α为锐角时，，所以当时，，B错误； C、，设对边为，邻边为，则斜边为，所以，C正确； D、在中，等于角A的邻边与斜边的比值，当两边都扩大5倍时，另外一条直角边也扩大了5倍，比值不变，所以不变，D错误． 故选：C． 【技巧归纳】 正误判断类题目需紧扣三角函数定义、同角关系及取值范围逐一验证，边的关系式可由定义变形推导。锐角正弦、余弦值恒小于1，三角函数值仅由角度决定，与边长缩放无关。 易错点:易误将角度和的函数值等同于函数值的和;忽略正余弦的取值范围;边长缩放时错认为函数值同步变化。 【变式15-1】如图，一个钟摆的摆长为1.5米，当钟摆向两边摆动时，摆角为，且两边的摆动角度相同，则它摆至最高位置与其摆至最低位置时的高度之差为 ___________________．（用含的式子表示） 【答案】米 【分析】本题考查了垂径定理和锐角三角函数，根据题意将实际问题抽象为几何问题，再利用垂径定理和锐角三角函数解三角形是解此题的关键． 由题可知，秋千摆到最低点时，点为弧的中心 ，由垂径定理知，．再根据锐角三角函数解三角形求得即可． 【详解】解：∵点为弧的中点，为圆心， 由垂径定理知，，， ∵， ∴， ∵， 在中，由三角函数可得， ∴， 故答案为：米． 【变式15-2】下图所示的是的小正方形构成的网格，四点均在格点上，连接和交于点．小观说：“与垂直．”小武说：“．”请判断他们的说法是否正确，并说明理由． 【答案】小观、小武的说法都正确，理由见解析 【分析】通过构造直角三角形，利用三角函数判断角的关系证明垂直，再利用平行线和三角函数证明线段比例． 【详解】解：小观、小武的说法都正确．理由如下： 取点，连接如图所示： 在中， 在中，， ． ， ， ， ．故小观的说法正确． 根据题意可知，， ，即， 在中，， ．故小武的说法正确． 【点睛】本题考查三角函数与平行线的综合应用，掌握利用三角函数判断角的关系证明垂直，结合平行线性质证明线段比例是解题的关键． 【变式15-3】如图，中，，，D是边的中点，连结．    (1)已知，求的长； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了解直角三角形，掌握三角函数的定义是解题的关键． （1）根据题意设，则，利用勾股定理列式计算求得，据此求解即可； （2）作于，求得，利用余弦函数求得，再利用勾股定理和余切函数的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴设，则， ∵，即， 解得， ∴； （2）解：作于，    由（1）得， ∵D是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 1．已知中，，，，那么下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求角的正弦值，求角的余弦值，求角的正切值，用勾股定理解三角形等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 利用勾股定理求出，再根据三角函数的定义判断各选项． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； ，故D错误． 故选：B． 2．在中，，如果，，那么的长是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形，根据余弦定义求解即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， 故选：A 3．的倒数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，倒数的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据的值，然后再求其倒数即可． 【详解】解：∵， ∴的倒数是， 故选：C． 4．若，则是多少度（   ） A． B． C． D．任意度数 【答案】A 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 5．已知，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同角的三角函数的关系，特殊锐角三角函数值以及锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的定义，特殊锐角三角函数值以及锐角三角函数的增减性是正确判断的前提．根据逐项进行判断即可． 【详解】解：A．由于一个锐角的余弦值随着锐角的增大而减小，而，所以 ，因此选项A不符合题意； B．由于一个锐角的正切值随着锐角的增大而增大，而所以，即，因此选项B不符合题意； C．由于，而，即，所以，即，因此选项C不符合题意； D．由于锐角的对边除以斜边，锐角的对边除以锐角的邻边，而锐角的邻边小于斜边，所以，因此选项D符合题意． 故选：D． 6．在直角坐标平面内有一点，那么与x轴正半轴夹角的余弦值是__________． 【答案】/ 【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理等知识点．作轴于点M，构造直角三角形，根据三角函数的定义求解． 【详解】解：如图，作轴于点M，， 根据勾股定理可得， ∴， 故答案为：． 7．已知，在中，，则______． 【答案】8 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据锐角三角函数的定义得，再根据，即可得出的长． 【详解】解：在中，，， ∵， ∴． 故答案为：8． 8．已知，请利用特殊角三角函数值求的值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，根据结合公式计算即可． 【详解】解：由题意得， ， 故答案为：． 9．已知是锐角，且，则______． 【答案】 【分析】本题考查了同角三角函数，解答本题的关键是掌握三角函数的相关定义． 将分子和分母同时除以，化简可得，然后代入求解； 【详解】， ∴原式 故答案为：． 10．在中，若，则__________． 【答案】/105度 【分析】本题考查了绝对值的非负性，非负数的性质，特殊角三角函数值，三角形内角和定理，利用非负数和为零得出，，求出、度数，再由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵ ∴，， ∴，， ，， ． 故答案为：． 11．如图，分别求和的正弦､余弦．    【答案】； 【分析】本题考查求锐角三角函数值，根据锐角三角函数的定义，进行求解即可． 【详解】：如图，    ． 12．计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 13．求下列等式中的锐角： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将看成整体，解得，再利用特殊角的函数值求解即可； （1）先将看成整体，解得，再利用特殊角的函数值求解即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是锐角， ∴， ∴ （2）∵ ∴ ∵是锐角， ∴， ∴． 【点睛】本题考查利用特殊角的三角函数值求解方程，掌握特殊角的函数值是解题的关键． 2/14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 锐角的正弦、余弦与正切 内容导航 01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 正弦的概念辨析 题型2 求角的正弦值 题型3 已知正弦值求边长 题型4 余弦的概念辨析 题型5 求角的余弦值 题型6已知余弦求边长 题型7正切的概念辨析 题型8求角的正切值 题型9已知正切值求边长 题型10特殊三角形的三角函数 题型11特殊角三角函数值的混合运算 题型12根据特殊角三角函数值求角的度数 题型13利用同角三角函数关系求值 题型14互余两角三角函数的关系 题型15三角函数综合 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 锐角三角函数、正弦、余弦、正切、对边、邻边、斜边、直角三角形、特殊角三角函数值、同角三角函数关系、互余角三角函数关系、三角函数求值 1.理解锐角正弦、余弦、正切的定义，能在直角三角形中准确区分指定锐角的对边、邻边与斜边，正确写出对 应锐角的三个三角函数表达式。 2.掌握锐角三角函数值与角的大小的对应关系，理解直角三角形边长同比例缩放时，锐角三角函数值保持不变 的原理，能完成相关概念辨析。 3.熟记30、45°、60°特殊锐角的正弦、余弦、正切值，能熟练完成特殊角三角函数的混合运算，也能根据函 数值反推对应锐角度数。 4.掌握同角三角函数的基本关系、互余两角的三角函数关系，能运用两类关系完成三角函数式的化简与求值。 5.能运用锐角三角函数的定义，解决直角三角形中“已知边长求三角函数值”已知三角函数值求边长”的基础题 型，建立数形结合的解题思维。 学习重点：1．锐角正弦、余弦、正切的定义与对应表达式 2． 特殊角的三角函数值及混合运算 3．互余两角的三角函数关系及其应用 4．利用三角函数定义求解直角三角形的边长与函数值 学习难点：1.锐角对边、邻边的相对性，不同锐角对应边的准确识别 2.同角三角函数基本关系的灵活变形与求值应用 3.三角函数与勾股定理结合的综合类求值问题 4.互余关系、同角关系与三角函数定义的综合运用 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01锐角的正弦与余弦 1.直角三角形中一个锐角的对边与斜边之比叫作这个锐角的正弦。 在 中， 的对边分别用 a , b , c 表示。而在Rt 中，若 ，直角边 B C和 A C 分别称为 的对边和邻边，而直角边 A C 和 B C 分别称为 的对边和邻边． 在Rt 中， ，锐角 的正弦记作 ，其值为 ． 如果一个锐角的大小确定了，那么这个角的正弦值也就确定了；反过来，如果一个锐角的正弦值确定了，那么这个锐角的大小也就确定了． 当角 在 到 的范围内增大时， 的值增大，给定 可唯一确定 ，给定 值也可唯一确定 值。 2.直角三角形中一个锐角的邻边与斜边之比叫作这个锐角的余弦。 在Rt 中， ，锐角 的余弦记作 ，其值为 ． 如果一个锐角的大小确定了，那么这个角的邻边与斜边的比值也就确定了；反过来，如果直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比值确定了，那么这个锐角的大小也就确定了． 如果把一个锐角的三边的长都扩大为原来的2倍，那么锐角A的正弦值（    ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的 C．没有变化 D．不能确定 已知为锐角，且，那么的余弦值为_______． 知识点02锐角的正切 直角三角形中一个锐角的对边与邻边之比叫作这个锐角的正切． 在Rt 中， ，锐角 的正切记作 ，其值为 一般地，如果一个锐角的大小确定了，那么这个锐角的正弦、余弦与正切值也是唯一确定的；反之，如果一个锐角的正弦、余弦或正切值确定了，那么这个锐角的大小也是唯一确定的． 对任意锐角，恒有 ． 在直角三角形中，两个互余锐角满足 ． 如果将一个锐角的三边的长都扩大为原来的5倍，那么锐角的正切值（   ） A．没有变化 B．不能确定 C．扩大为原来的5倍 D．缩小为原来的 在中，于，且，则________． 知识点03求给定锐角的正弦、余弦与正切值 1.特殊锐角 三角函数值 角： 角： 角： 由特殊角三角函数值可反推对应锐角度数． 对任意锐角 ，满足 ． 2.计算器求三角函数相关值 （1）除 外的锐角，需使用带 功能键的计算器计算近似值，也可由函数值反求角度． （2）计算前需将计算器角度单位切换为＂度（D）＂模式． （3）不同品牌、型号计算器按键操作步骤存在差异． 若数轴上：的值用一个点表示，则这个点的位置可能落在（　　）段 A．① B．② C．③ D．④ 计算：______． 题型1 正弦的概念辨析 【例1】在锐角中，如果各边长都扩大为原来的2倍，那么的正弦值（    ） A．不变 B．扩大2倍 C．扩大4倍 D．缩小为原来的一半 【例2】若，则锐角__________锐角（填、或）． 【技巧归纳】 锐角正弦定义为对边与斜边的比值，即sinA= ，其值仅由角度大小决定，与三角形边长缩放无关. 锐角范围内，正弦值随角度增大而增大，可据此比较两角大小. 易错点:易误将边长变化等同于正弦值变化;增减性仅适用于锐角范围. 【变式1-1】如图，已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在中，，于点D，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】比较大小：   （1）________；（2）________． 题型2 求角的正弦值 【例3】在中，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【例4】如图为人行天桥的示意图，若高长为10米，斜道长为30米，则的值为______． 【技巧归纳】 直角三角形中，sinA=先确定所求锐角，找准对边与斜边后代入计算。 实际场景类题目，从示意图提取直角三角形，铅直高度为角的对边，斜道为斜边。 易错点:易混淆对边与邻边;非直角图形需先作高构造直角三角形，结果需化为最简。 【变式2-1】如图，在Rt△ABC中，，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】在平面直角坐标系中，已知点和，则__________ 【变式2-3】如图，在中，．若，，则（     ） A． B． C． D． 题型3 已知正弦值求边长 【例5】如图，长春市组织的冰雪活动中，中学生小旺沿着倾斜角为的斜坡练习滑雪，从点滑行到点．若米，则小旺下降的高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【例6】如图，中，，，则的长为_____． 【技巧归纳】 由sinA=已知一边与正弦值，可求其余边长，常结合勾股定理运算。 斜坡类实际问题，下降高度为倾斜角的对边，等于坡长乘该角正弦值。 易错点:易混淆对边与邻边，误用余弦或正切;比例关系不可直接等同于实际边长。 【变式3-1】如图，在中，若，，，那么等于（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】拉杆式旅行箱的侧面示意图如图，箱体长，当手臂自然下垂拉旅行箱时，人体感觉较为舒服．若此时拉杆伸长长度，拉杆与水平面夹角为，则拉杆把手处到地面的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，在中，，，，则的长为___________． 题型4 余弦的概念辨析 【例7】如图，中，，斜边，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【例8】如图是桂新高速某一隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，AD垂直地面，垂足为点D，BC⊥AD，垂足为点C．设∠ABC＝，下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 直角三角形中，cosa=，先确定所求锐角，找准邻边与斜边，再列关系式或计算边长。 复杂图形先定位直角三角形，明确角的对应边。易错点:易与正弦定义混淆，错用对边计算;非标准图形易找错邻边位置 【变式4-1】在中，，、、的对边分别为、、，那么下列等式中错误的是（） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，已知在中，，分别是边上的高，连接，那么和的周长比为_________． 题型5 求角的余弦值 【例9】如图，在中，，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【例10】如图，在中，为直角，，，则的值为__________． 【技巧归纳】 直角三角形中， 先定位所求锐角，找准对应邻边与斜边，边长不全时先用勾股定理补全再代入计算. 易错点:易与正弦、正切定义混淆，错用对边运算;需注意斜边恒为直角所对的最长边，结果化为最简. 【变式5-1】在中，，如果，，那么的值是（       ） A． B． C． D． 【变式5-2】中，，下列结论成立的是（     ） A． B． C． D． 【变式5-3】已知在中，，那么的余弦值为______． 题型6 已知余弦求边长 【例11】如图，是一块直角三角形的绿化带，，已知，绿化带的斜边长度为米，则绿化带的直角边的长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【例12】在中，的余弦值是，那么的长是___________． 【技巧归纳】 由 ，已知余弦值与一边长，可列比例式求其余边长，常配合勾股定理补全未知边． 易错点：易混淆邻边与对边，错用正弦公式；已知邻边求斜边时易颠倒比例关系，需明确斜边为直角所对的边． 【变式6-1】如图，在中，已知，，，那么的长为（    ） A． B． C．4 D．5 【变式6-2】在中，，a，b，c分别表示的对边，那么下列结论中错误的是（        ） A． B． C． D． 【变式6-3】如图，在直角坐标平面内，点P与原点O的距离，线段OP与x轴正半轴的夹角为，且，则点P的坐标是_________ 题型7 正切的概念辨析 【例13】在Rt中，，，，，那么下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【例14】如图，在中，，作交边于点D．若，则的值为_____． 【技巧归纳】 直角三角形中， ，定义辨析题需准确区分各三角函数的边比对应关系，厘清对边、邻边与斜边的边界． 出现等角条件时，可借助等角的三角函数值相等进行转化求解． 易错点：易颠倒对边与邻边位置，记错正切与余切的倒数关系． 【变式7-1】如图，在中，，，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】在中，，，，分别是，，的对边，有下列关系式：①；②；③；④，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式7-3】如图，在中，，，，是边上一点，，连接，过作的垂线交边于点，连接，则______． 题型8 求角的正切值 【例15】在中，，已知，下列锐角三角比中，值为的是（   ） A． B． C． D． 【例16】在中，，、、分别是、、的对边，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 直角三角形中， ，cotA为其倒数。概念辨析题需逐一核对各类三角函数的边比定义， 准确定位对应角的对边与邻边。 易错点：易颠倒对边与邻边位置，混淆正切与余切、正弦的边比关系，需结合图形确认边的对应性。 【变式8-1】在中，，，，则的值为________． 【变式8-2】如图为人行天桥的示意图，若高长为米，斜道长为米，则的值为_____． 【变式8-3】图，已知在中，，，点为边延长线上一点，连接．求的正切值． 题型9 已知正切值求边长 【例17】在中，已知，，，那么的长是（   ） A．6 B．3 C． D． 【例18】已知中，，，，那么的长为______． 【技巧归纳】 直角三角形中，依据 ，已知正切值与一条直角边，列比例式即可求解另一条直角边. 易错点：易颠倒对边与邻边位置，错置分子分母；需精准对应所求锐角的边，避免与正弦、余弦定义混淆． 【变式9-1】在直角中，，那么下列关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】已知锐角，如果，那么_______． 【变式9-3】在中，和所对的边长分别为．若，解这个直角三角形． 题型10 特殊三角形的三角函数 【例19】点关于轴对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【例20】计算：________． 47．如图，在中，若，则的值为____． 【技巧归纳】 需熟记 的正弦、余弦、正切值，代入后结合坐标对称、零指数幂等规则运算． 易措点：易混淆特殊角的三角函数数值；关于坐标轴对称的坐标变换规律易记反；忽略零指数幂底数不为零的前提。 【变式10-1】计算：． 【变式10-2】计算：． 题型11 特殊角三角函数值的混合运算 【例21】的值等于（    ）． A． B． C． D． 【例22】计算：_____． 【技巧归纳】 熟记 的各三角函数值，代入原式后遵循实数运算顺序，先乘除后加减，最终结果化为最简形式． 易错点：易混淆不同特殊角的函数值；运算顺序颠倒；根式与分数运算时通分化简出错． 【变式11-1】计算： __________． 【变式11-2】计算：． 【变式11-3】计算：． 题型12 根据特殊角三角函数值求角的度数 【例23】已知α是锐角，，那么锐角α的度数是（    ） A． B． C． D． 【例24】如果，那么锐角___________度 【技巧归纳】 熟记 的各三角函数值，由已知函数值反向匹配对应锐角度数． 易错点：易混淆正弦与余弦的特殊数值；余切与正切的倒数关系易记错，导致角度对应错误；需关注题目限定的锐角范围． 【变式12-1】在中，若，，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【变式12-2】在中，若锐角，满足，则的度数是 ___________． 【变式12-3】求满足下列条件的锐角α． (1) ； (2)． 题型13 利用同角三角函数关系求值 【例25】如果是锐角，且，那么的值（　　） A． B． C． D． 【例26】的边长扩大两倍，那么的值（    ） A．变大原来的两倍； B．小为原来的一半； C．不变； D．不能确定． 【技巧归纳】 同角锐角三角函数满足 ，已知一个函数值可推导其余值。三角函数值仅由角度大小决定，三角形边长等比例缩放时，各三角函数值保持不变。 易错点：开方运算易忽略锐角范围取错符号；易误将边长缩放等同于函数值变化。 【变式13-1】已知 (为锐角)，则 ___________ 【变式13-2】下列结论（其中是锐角）：①；②；③当时，；④．其中正确的有________． 【变式13-3】如图，在中，，． (1)求的长； (2)求的值． 题型14 互余两角三角函数的关系 【例27】在中，，，那么等于（ ）． A． B． C． D． 【例28】已知中，，，则________． 【技巧归纳】 直角三角形中两锐角互余，满足 ，可直接由一角的函数值得另一角的对应函数值。 易错点：易混淆互余两角的函数名对应关系，错配正切与正弦；转换时易颠倒分子分母，可结合定义辅助验证。 【变式14-1】三角函数、、之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式14-2】计算：s___________． 【变式14-3】（1）计算的结果为______； （2）在RtABC中，∠C是直角，求证：． （3）根据（2）中的结果，计算：． 题型15 三角函数综合 【例29】在中，，的对边分别是，那么下列等式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【例30】下列说法中，正确的是（   ） A． B．若，则 C．若为锐角，，则 D．在中，锐角的两个邻边都扩大5倍，则也扩大5倍 【技巧归纳】 正误判断类题目需紧扣三角函数定义、同角关系及取值范围逐一验证，边的关系式可由定义变形推导。锐角正弦、余弦值恒小于1，三角函数值仅由角度决定，与边长缩放无关。 易错点:易误将角度和的函数值等同于函数值的和;忽略正余弦的取值范围;边长缩放时错认为函数值同步变化。 【变式15-1】如图，一个钟摆的摆长为1.5米，当钟摆向两边摆动时，摆角为，且两边的摆动角度相同，则它摆至最高位置与其摆至最低位置时的高度之差为 ___________________．（用含的式子表示） 【变式15-2】下图所示的是的小正方形构成的网格，四点均在格点上，连接和交于点．小观说：“与垂直．”小武说：“．”请判断他们的说法是否正确，并说明理由． 【变式15-3】如图，中，，，D是边的中点，连结．    (1)已知，求的长； (2)求的值． 1．已知中，，，，那么下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．在中，，如果，，那么的长是（    ） A．3 B． C． D． 3．的倒数是（　　） A． B． C． D． 4．若，则是多少度（   ） A． B． C． D．任意度数 5．已知，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 6．在直角坐标平面内有一点，那么与x轴正半轴夹角的余弦值是__________． 7．已知，在中，，则______． 8．已知，请利用特殊角三角函数值求的值为___________． 9．已知是锐角，且，则______． 10．在中，若，则__________． 11．如图，分别求和的正弦､余弦．    12．计算：． 13．求下列等式中的锐角： (1) (2) 2/14 学科网（北京）股份有限公司 $