暑假预习：整式四则混合运算、多项式乘多项式与图形面积专项训练-2026年七升八暑假数学（人教版）

**基本信息** 聚焦整式运算与数形结合，通过分层例题与变式题构建从基础运算到几何应用的递进训练，培养运算能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |整式四则混合运算|3例+3变式|含直接计算、化简求值，覆盖不同地区期末考法|从单项式到多项式运算，强化符号意识与运算顺序| |多项式乘多项式与图形面积|3例+3变式|结合长方形、正方形等图形面积表示与求值，渗透模型意识|以多项式乘法为基础，通过图形分割建立代数与几何的联系，发展空间观念|

暑假预习：整式四则混合运算、多项式乘多项式与图形面积专项训练 暑假预习：整式四则混合运算、多项式乘多项式与图形面积专项训练 考点目录 整式四则混合运算 多项式乘多项式与图形面积 考点一 整式四则混合运算 例1．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）计算：． 例2．（25-26八年级上·江西宜春·期末）先化简，再求值：，其中，． 例3．（25-26八年级上·河北保定·期末）计算下列各小题 (1)； (2)． 变式1．（25-26八年级上·福建泉州·期末）先化简，再求值：，其中，． 变式2．（25-26八年级上·重庆沙坪坝·期末）计算： (1)； (2)． 变式3．（25-26八年级上·福建福州·期末）先化简，再求值：，其中，． 考点二 多项式乘多项式与图形面积 例1．（25-26八年级下·河南·期末）“字母表示数”被后人称为从“算术”到“代数”的一次飞跃，用字母表示数可以从特殊到一般地表达数学规律．请观察下列关于正整数的平方拆分的等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； (1)请用此方法拆分______； (2)请你用上面的方法归纳一般结论，用含n（n为正整数）的等式表示，并借助运算证明这个结论是正确的； (3)嘉嘉尝试借助图形的面积验证（2）中的结论．思路是将边长为n的正方形（如图）进行适当分割，请你帮助他完成画图，并在图中标出相应线段的长度． (4) 例2．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）某学校准备假期对闲置土地进行规划改造用于学生劳动课程,如图,已知该土地是长为米,宽为米的长方形,学校准备在该处修一条平行四边形小路,小路的底边宽a米,并计划将阴影部分改造为种植区. (1)用含有a,b的式子分别表示出小路面积和种植区面积； (2)若,,求此时种植区的面积. 例3．（25-26八年级上·新疆吐鲁番·期末）如图，有一块长、宽的长方形地块，现计划在中间修筑一个长、宽的长方形塑像基台（空白部分），其余部分（阴影部分）铺上草坪． (1)用含的代数式表示草坪的面积；（结果需化简） (2)当时，求草坪的面积． 变式1．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，某市一小区为了居民有更好的生活环境，丰富居民的业余生活，决定重新修建一块长为米，宽米的长方形地块，计划在中间留下一个“口”型的图形，其余部分（阴影部分）修建一个文化广场． (1)用含，的式子表示阴影部分的面积并化简； (2)若，，预计修建文化广场每平方米的费用为元，求修建文化广场所需要的费用． 变式2．（25-26八年级上·辽宁朝阳·期末）如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，四个角上各有一个边长为b米的小正方形空地，开发商计划在空地之外的部分（阴影部分）进行绿化． (1)求该小区绿化的面积S（用含a，b的代数式表示，并化简）； (2)若，，绿化成本为40元/平方米，则完成绿化共需要多少钱？ 变式3．（25-26八年级上·贵州黔西南·阶段检测）【知识回顾】我们在学习代数式求值时，遇到过这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值．其解题过程如下： 解：原式． 代数式的值与x的取值无关， ，解得． 【理解应用】（1）已知，，且的值与x的取值无关，求m的值． 【能力提升】（2）用7个如图1所示的小长方形（长为a，宽为b）拼成如图2所示的大长方形，大长方形中两个阴影部分也是长方形．设右上角的长方形的面积为，左下角的长方形的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：整式四则混合运算、多项式乘多项式与图形面积专项训练 暑假预习：整式四则混合运算、多项式乘多项式与图形面积专项训练 考点目录 整式四则混合运算 多项式乘多项式与图形面积 考点一 整式四则混合运算 例1．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）计算：． 【答案】 【分析】先根据多项式除以单项式法则、多项式乘多项式法则计算，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 例2．（25-26八年级上·江西宜春·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ； 【分析】本题考查了整式的混合运算、代数式化简求值，关键是熟练应用运算法则进行计算；根据多项式乘以多项式法则计算并合并同类项，化简完毕后代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 上式 ． 例3．（25-26八年级上·河北保定·期末）计算下列各小题 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算． （1）先计算整式的乘除法，最后合并同类项． （2）先计算多项式乘多项式，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解： （2）解： 变式1．（25-26八年级上·福建泉州·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题考查了整式的混合运算与化简求值，关键是先利用完全平方公式和平方差公式进行括号内的运算，合并同类项，再进行整式的除法，最后代入数值计算． 【详解】解：原式 ； 将，代入，得原式． 变式2．（25-26八年级上·重庆沙坪坝·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，包括完全平方公式、单项式乘多项式、多项式除以单项式以及平方差公式的应用，解题的关键是熟练掌握各类整式的运算法则，准确展开和化简． （1）先利用完全平方公式展开，计算单项式乘多项式，再合并同类项； （2）先进行多项式除以单项式的运算，再利用平方差公式展开，最后合并同类项． 【详解】（1）解： （2）解： 变式3．（25-26八年级上·福建福州·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握对应的运算法则是解题的关键． 直接利用整式的混合运算法则化简，再把已知数据代入得出答案． 【详解】解：原式 将，代入上式得， ． 考点二 多项式乘多项式与图形面积 例1．（25-26八年级下·河南·期末）“字母表示数”被后人称为从“算术”到“代数”的一次飞跃，用字母表示数可以从特殊到一般地表达数学规律．请观察下列关于正整数的平方拆分的等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； (1)请用此方法拆分______； (2)请你用上面的方法归纳一般结论，用含n（n为正整数）的等式表示，并借助运算证明这个结论是正确的； (3)嘉嘉尝试借助图形的面积验证（2）中的结论．思路是将边长为n的正方形（如图）进行适当分割，请你帮助他完成画图，并在图中标出相应线段的长度． (4) 【答案】(1) (2)解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 则含n的等式是． 证明：∵右边，左边， ∴左边右边， ∴成立． (3)解：画图如下： 【分析】（1）依据材料中等式的规律解答即可； （2）根据依据材料中发现等式的规律写出含 n的等式证明成立即可． （3）根据题意画出图形即可． 【详解】（1）第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ∴第2024个等式：； （2）略 （3）略 例2．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）某学校准备假期对闲置土地进行规划改造用于学生劳动课程,如图,已知该土地是长为米,宽为米的长方形,学校准备在该处修一条平行四边形小路,小路的底边宽a米,并计划将阴影部分改造为种植区. (1)用含有a,b的式子分别表示出小路面积和种植区面积； (2)若,,求此时种植区的面积. 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查列代数式，代数式求值； （1）小路的形状是平行四边形，依据平行四边形面积计算公式可计算出，将小路去掉，剩下的阴影部分会重新组成一个长方形，据此可计算出； （2）将,,代入计算即可. 【详解】（1）解：∵小路的底边宽a米, ∴， ∵将小路去掉，剩下的阴影部分会重新组成一个宽为米的长方形， ∴. （2）解：将,,代入得： . 例3．（25-26八年级上·新疆吐鲁番·期末）如图，有一块长、宽的长方形地块，现计划在中间修筑一个长、宽的长方形塑像基台（空白部分），其余部分（阴影部分）铺上草坪． (1)用含的代数式表示草坪的面积；（结果需化简） (2)当时，求草坪的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了长方形面积公式，多项式乘法法则及整式的加减运算． （1）根据长方形面积公式求出长方形地块和塑像的面积，再通过两者面积的关系求出草坪的面积， （2）将a、b的值代入草坪面积的表达式中求出具体数值即可． 【详解】（1）解：由图可知，草坪的面积是： ， 答：草坪面积为； （2）解：当时， ， 答：草坪的面积是． 变式1．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，某市一小区为了居民有更好的生活环境，丰富居民的业余生活，决定重新修建一块长为米，宽米的长方形地块，计划在中间留下一个“口”型的图形，其余部分（阴影部分）修建一个文化广场． (1)用含，的式子表示阴影部分的面积并化简； (2)若，，预计修建文化广场每平方米的费用为元，求修建文化广场所需要的费用． 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查了整式的混合运算在几何面积中的应用，正确表示阴影部分的面积并进行整式的化简计算是解题的关键． （1）用长得方形面积减去中间空白部分正方形即阴影部分的面积，去括号合并同类项即可化简； （2）把，代入（1）中代数式得文化广场面积，用“单价数量总价”即可求得所需要的费用． 【详解】（1）解：根据题意得： ； （2）解：当，时，原式（平方米）， （元）． 答：修建文化广场需要元． 变式2．（25-26八年级上·辽宁朝阳·期末）如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，四个角上各有一个边长为b米的小正方形空地，开发商计划在空地之外的部分（阴影部分）进行绿化． (1)求该小区绿化的面积S（用含a，b的代数式表示，并化简）； (2)若，，绿化成本为40元/平方米，则完成绿化共需要多少钱？ 【答案】(1)平方米 (2)完成绿化共需要15040元 【分析】本题考查多项式乘法与几何图形的面积，代数式求值，正确的列出代数式是解题的关键： （1）用长方形的面积减去四个小正方形的面积，求解即可； （2）把，，代入（1）中代数式，求出总面积，再乘以单价，即可得出结果． 【详解】（1）解： （平方米）； （2）解：当，时，， （元）； 答：完成绿化共需要15040元． 变式3．（25-26八年级上·贵州黔西南·阶段检测）【知识回顾】我们在学习代数式求值时，遇到过这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值．其解题过程如下： 解：原式． 代数式的值与x的取值无关， ，解得． 【理解应用】（1）已知，，且的值与x的取值无关，求m的值． 【能力提升】（2）用7个如图1所示的小长方形（长为a，宽为b）拼成如图2所示的大长方形，大长方形中两个阴影部分也是长方形．设右上角的长方形的面积为，左下角的长方形的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了多项式乘多项式，整式的混合运算，解题关键是掌握整式的相关运算法则． （1）把m看作字母，合并同类项后得，再令的系数为0，即可求出m的值； （2）设，由图可得，，即可得到关于的代数式，根据其值不变，得出，即可求得a与b的关系． 【详解】解：（1），， ． 的值与x的取值无关， ， 解得； （2）设，由图可知，， ． 当的长变化时，的值始终保持不变， 的值与x的取值无关， ， ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $