暑假预习：添加条件使三角形全等、结合尺规作图的全等问题专项训练-2026年七升八暑假人教版数学八年级数学上册

**基本信息** 聚焦三角形全等判定条件补充与尺规作图原理应用，通过分层例题与变式训练，系统强化几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |添加条件使三角形全等|3例+3变式|给定部分条件选填补充条件，覆盖SSS/SAS/ASA/AAS判定|从已知条件出发，依据全等判定定理逆向推导所需条件，构建“已知-判定-补充”逻辑链| |结合尺规作图的全等问题|3例+2变式|尺规作图步骤原理分析与全等证明结合，涉及基本作图与推理应用|通过尺规作图操作构造全等条件，体现“作图-全等-性质应用”的几何转化思想|

暑假预习：添加条件使三角形全等、结合尺规作图的全等问题专项训练 暑假预习：添加条件使三角形全等、结合尺规作图的全等问题专项训练 考点目录 添加条件使三角形全等 结合尺规作图的全等问题 考点一 添加条件使三角形全等 例1．（25-26七年级下·广东佛山·期中）已知：如图，点E，F在上，，． 请从①；②；③这三个选项中，选择一个作为条件，使得，并说明理由． 解：选择条件是_________．理由是： 例2．（2026·陕西榆林·三模）如图，在和中，点在边上，点在边上，若，，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得． (1)你选择的补充条件是__________（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出的证明过程． 例3．（2026·陕西咸阳·三模）如图，在和中，，点、、、在同一直线上，． (1)请你添加一个条件，使得，则这个条件可以是______；（只写一个） (2)根据你所添加的条件，求证：≌． 变式1．（25-26七年级下·山东青岛·阶段检测）数学课上，老师提出了一个问题：如图，已知，，请补充一个条件，使得．三位同学展示了自己补充的条件： (1)请补全三位同学展示的答案； 甲补充条件，全等的判定依据是 ； 乙补充条件，全等的判定依据是 ； 丙补充条件 ，全等的判定依据是； (2)AF与DC什么数量关系，写出完整证明过程 变式2．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图，在和中，，． (1)请添加一个条件________，使； (2)若，且，，求的度数． 变式3．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）如图，，有如下条件： ①，②，③，④． (1)在以上条件中选择一个条件_____（只填写一个序号），求证：； (2)在（1）的条件下，若，求的度数； (3)在（1）的条件下，若，求． 考点二 结合尺规作图的全等问题 例1．（25-26七年级下·山西太原·期中）已知点在直线外，小淇在思考如何过点作出与直线平行的直线时想到了如下作法： 在直线上任取一点，以点为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点； 以点为圆心，以的长为半径作弧； 以点为圆心，以的长为半径作弧，交前弧于点； 作直线，则； 并通过连接后，解释了其中的道理． (1)小淇的作法道理为 ． (2)请用另外一种作法过点作直线的平行线．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 例2．（24-25八年级上·广东汕头·阶段检测）（1）过的顶点A作高线和角平分线，若与的夹角为，且，求的度数； （2）如图1，已知，，请用尺规作图，在图2画出，使，，并证明． 例3．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，延长，在射线的延长线上截取． 任务1：实践与操作： ①如图1，请用无刻度直尺与圆规作与全等（不写作法，保留作图痕迹）． ②你作的与全等的依据是 　　 、、、． 任务2：猜想与证明：如图2，，平分，平分． ①试猜想 　　 ． ②请你求出的度数． 变式1．（24-25八年级上·广东汕头·阶段检测）（1）如图1，是的平分线，点是上一点，点是上一点，在上求作一点，使得，请保留清晰的作图痕迹． （2）如图2，在中，，，、分别是和的角平分线，与相交于点，请探究线段、、之间的关系，请证明你的结论． 变式2．（25-26九年级下·山东临沂·阶段检测）如图，在中，，，在线段延长线上取一点，以为直角边，点为直角顶点，在射线上方作等腰，过点作，垂足为点． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)连接，并延长交的延长线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：添加条件使三角形全等、结合尺规作图的全等问题专项训练 暑假预习：添加条件使三角形全等、结合尺规作图的全等问题专项训练 考点目录 添加条件使三角形全等 结合尺规作图的全等问题 考点一 添加条件使三角形全等 例1．（25-26七年级下·广东佛山·期中）已知：如图，点E，F在上，，． 请从①；②；③这三个选项中，选择一个作为条件，使得，并说明理由． 解：选择条件是_________．理由是： 【答案】 ②， 理由：∵， ∴， 在和中 ∴； ③； ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中 ∴. 若选①，满足的是边边角，不能判定两个三角形全等. 【分析】根据全等三角形的判定方法结合平行线的性质逐一判断证明即可. 【详解】略. 例2．（2026·陕西榆林·三模）如图，在和中，点在边上，点在边上，若，，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得． (1)你选择的补充条件是__________（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出的证明过程． 【答案】(1)①（或②） (2)选①，证明如下： 在和中， ， ∴． 选②，证明如下： 在和中， ， ∴． 【分析】（1）根据三角形全等的判定定理进行求解即可； （2）若选择①，则根据“”判定三角形全等；若选择②，则根据“”判定三角形全等． 【详解】（1）略 （2）略 例3．（2026·陕西咸阳·三模）如图，在和中，，点、、、在同一直线上，． (1)请你添加一个条件，使得，则这个条件可以是______；（只写一个） (2)根据你所添加的条件，求证：≌． 【答案】(1)或或 (2)证明：∵， ∴，即． 在和中， ， ∴≌． 或证明：∵， ∴，即． 在和中， ∴≌． 或证明：∵， ∴，即． 在和中， ∴≌． 【分析】（1）根据三角形全等的判定定理添加条件即可； （2）在和中，，，由可得出，由三角形全等的判定定理知，添加条件或或，满足SAS，AAS，ASA从而得证． 【详解】（1）略 （2）略 变式1．（25-26七年级下·山东青岛·阶段检测）数学课上，老师提出了一个问题：如图，已知，，请补充一个条件，使得．三位同学展示了自己补充的条件： (1)请补全三位同学展示的答案； 甲补充条件，全等的判定依据是 ； 乙补充条件，全等的判定依据是 ； 丙补充条件 ，全等的判定依据是； (2)AF与DC什么数量关系，写出完整证明过程 【答案】(1)；； (2)，证明见解析 【分析】（1）根据已知，，甲补充条件，全等的判定依据是；乙补充的条件是，可知全等的判定依据是，根据丙全等的判定依据是，可知丙补充条件是； （2）甲补充，结合，，得；乙补充，结合已知得；丙补充，结合已知得． 【详解】（1）解：∵，， ∴甲补充条件，全等的判定依据是； 乙补充条件，全等的判定依据是； 丙补充条件，全等的判定依据是AAS； （2）解∶ 证明如下：甲：∵， ∴； ∴； 乙：∵，，， ∴； ∴， ∴； ∴； 丙：∵，，， ∴； ∴， ∴； ∴． 变式2．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图，在和中，，． (1)请添加一个条件________，使； (2)若，且，，求的度数． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) 【分析】（1）添加一个条件为，再证明出，最后利用即可证明； （2）由全等三角形的性质可得，再结合三角形外角的定义及性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：添加一个条件为， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴ （2）解：∵， ∴， ∵ ∴． 变式3．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）如图，，有如下条件： ①，②，③，④． (1)在以上条件中选择一个条件_____（只填写一个序号），求证：； (2)在（1）的条件下，若，求的度数； (3)在（1）的条件下，若，求． 【答案】(1)②或③或④；证明见解析 (2) (3)6 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的几种证明方法是解题的关键． （1）先证明，再由全等三角形的几种判定证明即可； （2）先根据全等三角形的性质得到，再由三角形内角和定理求解即可； （3）先根据全等三角形的性质得到，再由线段间的数量关系求解即可． 【详解】（1）解：选择②或③或④ ∵， ∴， ∴， 选择②， ∵，， ∴； 选择③， ∵，， ∴； 选择④， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：②或③或④； （2）解：∵， ∴ ∵， ∴． （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 考点二 结合尺规作图的全等问题 例1．（25-26七年级下·山西太原·期中）已知点在直线外，小淇在思考如何过点作出与直线平行的直线时想到了如下作法： 在直线上任取一点，以点为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点； 以点为圆心，以的长为半径作弧； 以点为圆心，以的长为半径作弧，交前弧于点； 作直线，则； 并通过连接后，解释了其中的道理． (1)小淇的作法道理为 ． (2)请用另外一种作法过点作直线的平行线．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)内错角相等，两直线平行 (2)图见解析 【分析】（1）得出，进而得出，即知内错角相等，两直线平行； （2）尺规作图作同位角或内错角相等． 【详解】（1）解：连接，， 由作图可知：，，， 在和中： ， 所以， 可得， 根据内错角相等，两直线平行， 可得， 即小淇的作法道理为：内错角相等，两直线平行． （2）解：如图所示，所作直线即为所求平行线： 或 例2．（24-25八年级上·广东汕头·阶段检测）（1）过的顶点A作高线和角平分线，若与的夹角为，且，求的度数； （2）如图1，已知，，请用尺规作图，在图2画出，使，，并证明． 【答案】（1）或；（2）见详解 【分析】（1）题考查了三角形内角和定理、直角三角形性质以及角平分线性质，要注意分类讨论． （2）题考查尺规作图以及全等三角形的判定与性质，通过尺规作图构造全等三角形，再利用全等三角形性质得出对应角相等． 【详解】解：（1）当在内时， 是高线，，在中， ， 又， ， 是角平分线， ， ； 当在内时， 是高线，，在中， ， 又， ， 是角平分线， ， ； （2） 如图，以为圆心，长为半径画弧，交的一边为；再以为圆心，长为半径画弧，交的另一边为，连接；即为所求作的三角形． 在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，角平分线的性质，尺规作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确应用三角形内角和定理和直角三角形的性质． 例3．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，延长，在射线的延长线上截取． 任务1：实践与操作： ①如图1，请用无刻度直尺与圆规作与全等（不写作法，保留作图痕迹）． ②你作的与全等的依据是 　　 、、、． 任务2：猜想与证明：如图2，，平分，平分． ①试猜想 　　 ． ②请你求出的度数． 【答案】任务1：①见解析 ；②； 任务2：①90； ②． 【分析】本题考查应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 任务一：根据作出三角形即可； 任务二：①猜想：； ②利用平行线的性质以及角平分线的定义证明即可． 【详解】解：任务一： ①如图1中，即为所求； ②依据是：， 故答案为：； 任务2： ①猜想：． 故答案为：90； ②， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ． 变式1．（24-25八年级上·广东汕头·阶段检测）（1）如图1，是的平分线，点是上一点，点是上一点，在上求作一点，使得，请保留清晰的作图痕迹． （2）如图2，在中，，，、分别是和的角平分线，与相交于点，请探究线段、、之间的关系，请证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析． 【分析】本题考查角平分线定义，全等三角形判定及性质，尺规作图等． （1）当时，可以证明出，即以点为圆心，以长为半径画弧交于一点，则此点为所要求的点，可以作出图形； （2）在上截取，证明，继而再证明，即可得到本题答案． 【详解】解：（1）当时， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴以点为圆心，以长为半径画弧交于一点，则此点为所要求的点，如下图所示： （2），理由如下： 在上截取， 在和中， ， ， ， ，、分别是和的角平分线，与相交于点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 变式2．（25-26九年级下·山东临沂·阶段检测）如图，在中，，，在线段延长线上取一点，以为直角边，点为直角顶点，在射线上方作等腰，过点作，垂足为点． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)连接，并延长交的延长线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了作图复杂作图，解决本题的关键是利用全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质．（1）根据题意补全图形即可； （2）根据已知条件证明，即可得； （3）根据（2）证明为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，即可得到． 【详解】（1）解：如图即为补全的图形； （2）证明： ，， ， ， 又， ， ， 又， ． ． （3）线段与的数量关系是．理由如下： ， ， 又， ， ， 即为等腰直角三角形， ∴ ∴为等腰直角三角形， ， ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $