暑假培优预习：全等三角形中的旋转模型、全等三角形中的垂线模型专项训练-2026年七升八暑假数学（人教版）

**基本信息** 聚焦全等三角形旋转与垂线模型，以“模型提炼-分层应用-变式拓展”构建系统性训练，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |旋转模型|3例+3变式|手拉手模型、分割拼凑法|从共顶点等腰三角形旋转基本模型，到内部/外部/共线位置应用，逐步拓展至动点问题，形成“概念-推理-应用”链条| |垂线模型|3例+3变式|K字模型、一线三直角|以一线三直角结构为核心，通过交点位置、等腰直角三角形组合等情境转化，构建“结构识别-线段关系推导-综合应用”逻辑|

暑假培优预习：全等三角形中的旋转模型、全等三角形中的垂线模型专项训练 暑假培优预习：全等三角形中的旋转模型、全等三角形中的垂线模型专项训练 考点目录 全等三角形中的旋转模型 全等三角形中的垂线模型 例1.(25-26七年级下四川成都期末)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC. 考点一 全等三角形中的旋转棋型 M B B 图1 图2 图3 (I)点D是△ABC内部一点，CD⊥CE且CD=CE. ①如图1，求证：△ACD≌△BCE: ②如图2，当A,D,E三点共线时，连接AE,若AD=5,DE=7,求△ABE的面积： (2)如图3，点M是△ABC外一点，且∠AMC=45°，若△ABM的面积为8，求AM的长. 【答案】(1)①证明：：∠ACB=90°，CD⊥CE, .∠ACB=∠DCE=90° ∴.∠ACD+∠DCB=90°，∠BCE+∠DCB=90°， .∠ACD=∠BCE .AC=BC,CD=CE, ∴.△ACD≌△BCE ②30 (2)4 【分析】(I)①利用直角的性质，通过等量代换求出∠ACD=∠BCE,结合己知条件，利用SAS即可证明 △ACD≌aBCE.②利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质推出∠ADC=∠BEC和相应的度数， AD=BE和相应的长度，以及∠AEB=9O°，根据直角三角形的面积公式即可求出△ABE的面积. (2)利用旋转的性质和已知条件∠AMC=45°，证明M,A,P三点共线、∠MPB=90°以及PB=AM,根据面积法 暑假培优预习：全等三角形中的旋转模型、全等三角形中的垂线模型专项训练 即可求出AM的长度， 【详解】(1)①证明：略. ②解：CD=CE,CE⊥CD, .∴∠CDE=∠CED=45° ∠ADC=180°-45°=135°， 由①△ACD≌△BCE可得∠ADC=∠BEC=I35°，AD=BE=5, ·∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°， ∴△ABE为直角三角形， AD=5,DE=7. ∴AE=AD+DE=5+7=12 BE=5, S.E 1 2×12×5=30 (2)解：将△MCA绕点C逆时针旋转90°使AC和BC重合，得到△BCP,如图所示， M .:MC=CP∠MCP=∠ACB=90°∠CPB=45°MA=PB ∴△MCP为等腰直角三角形， ∠CMP=∠MPC=45°， ∠CMA=45°， .:∠CMP=∠CMA=45°， P在线段MA的延长线上， ∠CPB=45°、 .∠MPB=∠MPC+∠CPB=45°+45°=90°. .BP⊥MP S.BM=8 MA=PB 2 暑假培优预习：全等三角形中的旋转模型、全等三角形中的垂线模型专项训练 2 AM·BP= AM2=8 2 .AM=4 【点睛】本题考查了三角形全等，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键在于判断M,A,P三点 共线，巧妙将AM边上的高PB转化为AM 例2.(25-26八年级上江苏淮安·期中)阅读理解：“分割、拼凑法”是几何证明中常用的方法.苏科版八上数 学第一章《全等三角形》中，有以下两道题，其中将问题1中的图1分割成两个全等三角形，而问题2是“L定 理”的证明，却将图2两个直角三角形拼成了一个等腰三角形图3. 请按照上面的思路，补全问题1、2的解答： 图1 图2 图3 图4 (1)问题1： 已知：如图1，在△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C (2)问题2： 如图2，在8C和△48S中，∠C=∠C=90,B=A,C=AC,E两个直角三角形如图3所示拼在一起. 和 △ABB 求证： 是等腰三角形： (3)问题3：如图4，△ABC中，∠ACB=90°，四边形CDEF是正方形，AE=5,BE=3.求阴影部分的面积和. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 15 (3)2 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正方形的性质及旋转的性质. (1)作中线AD,证明 ABD≌△ACD(SSS) 可得结论： (2)证明点B, C(C),B共线，结合1B=48,即可得到结论： 3 暑假培优预习：全等三角形中的旋转模型、全等三角形中的垂线模型专项训练 (3)△1DE绕点E顺时针旋转90°，则点D与点F重合，得到△AFE,证明S 90° “是直角三角形，利用 SE=S4e+S,er=Sm+S.e=S即可求解， 【详解】(1)证明：如图，作中线AD, A 1 B D C 在△ABD和△ACD中， (AB=AC BD=CD AD=AD' △ABD≌△ACD(SSS) ∠B=∠C: ∠C=∠C=90° (2)证明： :.∠ACB=∠ACB=90° ∠ACB+∠ACB=180° 点B, C(C).B共线， AB=AB 又 △ABB 是等腰三角形： (3)解：如图，把△ADE绕点E顺时针旋转9O°，则点D与点F重合，得到△A'FE, 暑假培优预习：全等三角形中的旋转模型、全等三角形中的垂线模型专项训练 B 由旋转得△ADE≌△A'FE,∠AEA=90° A'E=AE=5,∠AED=∠A'EF, :四边形CDEF是正方形， .∠DEF=90° ∴∠AED+∠BEF=90°， ∴∠A'EF+∠BEF=∠AEB=90° S=.0E+..=.EBE=x5x3=15 2 2 2· 例3.(25-26七年级下河南郑州期中)【综合实践】如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合， 则称此图形为“手拉手全等模型”，因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模 型” 图1 图2 图3 (I)【初步把握】如图1，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB=AC,AD=AE,且∠BAC=∠DAE,则有 △ABD≌；线段BD和CE的数量关系是_： (2)【深入研究】如图2，△ABC和△ADE是都是等腰三角形，即AB=AC,AD=AE,且∠BAC=∠DAE=90°，B, C,D在同一条直线上.请判断线段BD与CE存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由： G)【拓展延伸】如图3.直线1，垂足为点0，b上有一点M在点O右侧且OM=4,点V是上一个动点， 连接MN,在MN下方作等腰直角三角形NMP,MN=MP,∠NMP=9O°，连接OP.请直接写出线段OP的最小 值及此时ON的长度. 暑假培优预习：全等三角形中的旋转模型、全等三角形中的垂线模型专项训练 【答案】(I)△ACE,BD=CE (②)BD=CE;BD⊥CE;理由见解析 (3)4:4 【分析】本题考查四边形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形性质等，解题的关键是掌握全 等三角形判定定理. I)由∠BAC=∠DAE,可得∠BAD=∠CAE,根据SAS可得△ABD≌△ACE,则可得出结论： (2)由∠BAC=∠DAE=90°，得∠BAD=∠CAE,即可证 MBD≌aACE(SMS),有BD=CE,∠ACE=∠ABC,而 △ABC是等腰三角形且∠BAC=90°，知∠ABC=∠ACB=45°，故∠ACE=∠ABC=45°，即可得 ∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°，BD⊥CE, (3)证明∠OMO=45°，当OP有最小，即OP最小，即垂线段最短，当OP⊥y轴时，OP'最小，则可得出答 案 【详解】(I)∠BAC=∠DAE, ∴.∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠BAD=∠CAE, 在△ABD和△ACE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE △ABD≌△ACE(SAS) 故答案为：△ACE:BD=CE: (2)解：BD与CE的数量关系是BD=CE,位置关系是BD⊥CE :∠BAC=∠DAE=90°， ∴.∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠BAD=∠CAE, 在△ABD和△ACE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE’ △ABD≌△ACE(SAS) 6 暑假培优预习：全等三角形中的旋转模型、全等三角形中的垂线模型专项训练 .BD=CE,∠ACE=∠ABC. ,△ABC是等腰三角形且∠BAC=90°， .∠ABC=∠ACB=45° .∠ACE=∠ABC=45°， .∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°， BD⊥CE: (3),△MNP是等腰直角三角形， .∴∠MNP=∠NPM=45o 将△OPM绕M点顺时针旋转90°得△OP'M(N与P'重合)， 连接00'， O M 图3 ∴.△PMO≌aP'MO' .MO=MO',OP=O'P', ∴.∠0'M0=45°， 当OP有最小，即OP最小，当OP⊥y轴时， 由L0'0P=45,∠0'P0=90°， .O'P'=OM=4,ON=OP'=4. .ON=4,OP最小值为4. 变式1.(25-26八年级下黑龙江哈尔滨阶段检测)如图，等腰△ABC中，AB=AC,点D为BC上一点，连接 AD. (1)如图1，若AB=6,AD=4,且∠ADC=60°，求线段CD的长度； 暑假培优预习：全等三角形中的旋转模型、全等三角形中的垂线模型专项训练 B 图1 (②)如图2，过点B作BE⊥AD,交AD的延长线于点E,以AB为斜边作等腰直角三角形ABG,过点G作GF‖BC 交DA的延长线于点F,且BE=AF,求证：∠ADC=45°： G BD 图2 (3)如图3，在(2)问的条件下，过点G作GM⊥AD,垂足为H,交BC于点M,点N为GM延长线上一点，连接 AN,CN ∠ANC=45°MN=6V2AC=1 AN ,若 0,求线段4W的长度。 G B 图3 【答案】①)DC=2+2V6 (2)证明见解析 3)6v5 【分析】(I)过点A作AK⊥BC于K,在Rt△ADK中求出DK,AK,在Rt△ABK中求出BK,由等腰三角形 8 暑假培优预习：全等三角形中的旋转模型、全等三角形中的垂线模型专项训练 三线合一即可求解： (2)由对角互补，得∠GAF=∠GBE,证△GBE≌△GAF得△EGF为等腰直角三角形，得∠F=45°，由GF BC 得∠ADC=45°： (3)连接EG,AM,结合(2)得到△ADM为等腰直角三角形，则∠DMH=∠CMN=45°，再过点N作 W1p,交DC延K线于P,过点V作01W.交DC长线9，完证 △AMN≌△QPN 再证明 △ANC≌△QN ,最后设1M=a,则P0=AM=a,CP=10-a,CM=2+a左Ra4CM ，则 ,在 中，运用勾股定理建 立方程，解方程即可. 【详解】(1)解：如图1，过点A作AK⊥BC于K, D K 图1 ,AB=ACAK⊥BC ..BK=CK, 在Rt△ADK中，∠ADC=60°，∠AKD=90°，AD=4, ∠DAK=30°， DK=4D-2, .AK=AD-DK2=4-2=23 在Rt△ABK中， BK=√AB2-AK2=62-(2V32=26 ∴.CK=BK=2V6 .CD=CK+DK=26+2 (2)证明：如图2，连接EG,在CD上截取CL=BD,连接AL, 0 暑假培优预习：全等三角形中的旋转模型、全等三角形中的垂线模型专项训练 G 是以 为斜边的等腰直角三角形， C E 图2 △ABG AB ∠AGB=90°，AG=BG, BE⊥AD, ∴∠AEB=90° ∠AEB+∠AGB=90°+90°=180°， 四边形AEBG的内角和为360°， .∠EBG+∠EAG=180°， ∠FAG+∠EAG=180°， .∠EBG=∠FAG, 在△GBE和△GAF中， BG=AG ∠EBG=∠FAG BE=AF ∴.△GBE≌△GAF(SAS) ∴.EG=GF,∠BGE=∠AGF, :∠BGE+∠AGE=90°， ∴∠AGF+∠AGE=90°，即∠FGE=90°， :∴△EGF是等腰直角三角形， ∠F=45°， GF∥BC, .∠ADC=∠F=45°， (3)解：连接EG,AM, 由(2)知EG=FG GH⊥EF .EH=FH, 10 暑假培优预习：全等三角形中的旋转模型、全等三角形中的垂线模型专项训练 :∠ADC=∠BDE=45°， ..BE=DE .BE=AF, :DE=AF, 得AH=DH,又GM⊥AD .GM垂直平分AD, .△ADM为等腰直角三角形， .∠DMH=∠CMN=45°. G P Q B D M C 过点N作MN⊥NP,交DC延长线于P,过点N作NO⊥AW,交DC延长线于O ∠AWC=45°，∠MNP=90°， :∠MNP=∠ANQ=∠MNA+∠ANP=∠PNQ+∠ANP .∠MNA=∠PNg, ∠AMN=∠QPN=l3S°，NM=NP, .△AMN≌△QPN. .AN=ON, .∠AWC=45° .∠MNA+∠CWP=90°-45°=45°， 即∠PNg+∠CNP=∠CNQ=45° 11 暑假培优预习：全等三角形中的旋转模型、全等三角形中的垂线模型专项训练 :∠ANC=∠QNC, .NC=NC, .△ANC≌△QNC. AC=CO=10 由△MNP为等腰直角三角形，MN=6v2, MP =2MN =12 设AM=a,则PQ=AM=a,CP=10-a,CM=2+a 在RtACM中，AM2+CM2=AC2. a2+(2+a)}2=102 .41=6a2=-8 (舍去) ,.AM=6 AH HM=32 在Rta4HN中，AW=V3N2+(92}=65 【点睛】本题主要考查了几何变换综合题，结合全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的判定和性质来求 解是本题解题的关键 变式2.(25-26八年级上贵州遵义：月考)在R△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点E为AC上一动点，过点A 作AD⊥BE于D,连接CD D B 图① 图② (1)【观察发现】 如图①，∠DAC与∠DBC的数量关系是-： (2)【尝试探究】 12 暑假培优预习：全等三角形中的旋转模型、全等三角形中的垂线模型专项训练 点E在运动过程中，∠CDB的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求∠CDB的度数： (3)【深入思考】 如图②，若E为AC中点，探索BE与DE的数量关系. 【答案】(I)∠DAC=∠DBC (2)∠CDB的大小不变，∠CDB=45 (3)BE=5DE 【分析】此题考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识. (1)由LACB=∠ADB=90°，得∠DAC+∠AED=90,∠DBC+∠BEC=90°，而∠AED=LBEC,所以 ∠DAC=∠DBC,于是得到问题的答案： (2)作CF⊥CD交BD于点F,则∠ACD=∠BCF=90°-∠ACF,而∠DAC=∠FBC,AC=BC,即可证明 △DAC≌aFBC,得CD=CF,则∠CDB=∠CFD=45°，所以∠CDB的大小不改变，∠CDB=45°： (3)作CG⊥CD交BD于点G,作CH⊥BD于点H,可证明△CHE≌△ADE,得HE=DE,CH=AD,由 △DAC≌aGBC,得AD=BG,则CH=BG,由CG=CD,CH⊥DG,得DH=GH,则CH=DH=GH,所以 BG=DH=GH=2DE,即可推导出BE=5DE. 【详解】(1)∠ACB=90°，AD⊥BE .∠ACB=∠ADB=90°， .∠DAC+∠AED=90°，∠DBC+∠BEC=90° ∠AED=∠BEC, .∠DAC=∠DBC, 故答案为：∠DAC=∠DBC」 (2)∠CDB的大小不改变， 如图①，作CF⊥CD交BD于点F,则∠DCF=90°， 图① .∠ACD=∠BCF=90°-∠ACF, 由(1)得∠DAC=∠FBC, ...AC=BC 13 暑假培优预习：全等三角形中的旋转模型、全等三角形中的垂线模型专项训练 △DAC≌aFBC(ASA) .CD=CF, .∠CDB=∠CFD=45°， .∠CDB的大小不改变，∠CDB=45°. (3)BE=5DE. 理由：如图②，作CG⊥CD交BD于点G,作CH⊥BD于点H,则∠CHE=90, D E G 图② .∠CHE=∠ADE. E为AC中点， .CE=AE, :∠CEH=∠AED △CHE≌△ADE(AAS) .HE=DE,CH=AD 由(2)得△DAC≌aGBC, .AD=BG, ...CH=BG. CG=CD,CH⊥DG. ...DH=GH, :CH=DH=GH=IDG .BG=DH=GH=2DE, .BE=BG+GH+HE=2DE+2DE+DE=5DE 变式3.(25-26七年级上山东济南月考)在△ABC中，AB=AC,点D是直线BC上一点（不与B、C重合）， E是△ABC外一点，连接AD、AE,己知AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE,DE. g 暑假培优预习：全等三角形中的旋转模型、全等三角形中的垂线模型专项训练 B D B D 图1 图2 (1)如图1，点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠ACE=度： (2)如图2，当点D在线段BC上，试判断∠ADE与∠ACE之间的数量关系，并说明理由： (3)当点D在线段CB的延长线上时，(2)中的结论是否成立？若不成立，请写出新的结论并说明理由. 【答案】(1)45 (2) 解：∠ADE=∠ACE,理由如下： AB=AC,AD=AE, ∴·∠ABC=∠ACB,∠ADE=∠AED :∠DAE=∠BAC 又：∠A8c-80-∠B4C),∠ADE-0s0-∠D1E), .∠ABC=∠ADE. .:∠BAC=∠DAE. .∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC 即：∠BAD=∠CAE, AB=AC ∠BAD=∠CAE 在 和 中， BAD△CA AD=AE ∴.△BAD≌△CAE(SAS), .∴∠ABC=∠ACE ·∠ADE=LACE: (3) 解：(2)中的结论不成立，当点D在CB的延长线上时，∠ADE+∠ACE=180°.理由如下： 如图所示： 15 暑假培优预习：全等三角形中的旋转模型、全等三角形中的垂线模型专项训练 B D E :∠DAE=∠BAC .∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE, 即：∠DAB=∠EAC, AB=AC ∠BAD=∠CAE 在 和 中， △BAD ACAE AD=AE .△BAD≌△CAE(SAS), ,·∠ABD=∠ACE AB=AC,AD=AE, .∴∠ABC=∠ACB,∠ADE=∠AED ∠DAE=∠BAC 又∠A8c=2080-∠B4C).∠4DE=080-∠DE). ∠ABC=∠ADE, :∠ABD+∠ABC=180° .∠ADE+∠ACE=180° 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型一旋转模型，掌握该模型的相关结论是解题关键. (1)证△BAD≌△CAE即可求解： (2)证△BAD≌△CAE即可求解： (3)证△BAD≌△CAE即可求解. 【详解】(1)解：∠DAE=∠BAC, .∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC, 即：∠CAE=∠BAD, AB=AC,AD=AE, .△BAD≌△CAE ·.∠ADE=∠ACE ∠BAC=90°，AB=AC. 16 暑假培优预习：全等三角形中的旋转模型、全等三角形中的垂线模型专项训练 .∠ACE=∠ABD=45° 故答案为：45 (2)略 (3)略 17 暑假培优预习：全等三角形中的旋转模型、全等三角形中的垂线模型专项训练 考点二 全等三角形中的垂线棋型 例1.(25-26七年级下·江西九江期末)等腰直角三角形既是特殊的直角三角形，又是特殊的等腰三角形；基于 其边角特征判定全等三角形的过程中提炼了常见的两个全等结构（如图1与图2），一些复杂的问题可以转化成这 样的全等结构进行解决。 E 图1 图2 图3 图4 【理解探究】 (1)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC.点C正好落在直线I上，直线I与直线AB的交点不在边AB 上，分别作BF⊥I于点F,AE⊥I于点E,则线段BF、EF、AE之间的数量关系为 (2)如图2，在R△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC.点C正好落在直线I上，直线I与直线AB的交点在边AB上， 分别作BF⊥I于点F,AE⊥1于点E,请问(1)中结论是否成立？如成立，请你给出证明：若不成立，请说明理 由 【转化应用】 (3)如图3，△ABC与△BDF均为等腰直角三角形，∠ACB=∠BFD=90°，且C、F、D在同一直线上，连接AD. m=12,8F=4.求5a@ 已知 (4)在RteACD中，∠ACD=90°，AC=6,CD=8,AD=I0.直线I经过RtAACD的直角顶点C交斜边AD于点E, CE⊥AD,AE:DE=9:I6,动点F在直线I上，动点B在CD所在直线上.若以点B、C、F为顶点的三角形与 △ACE全等（如图4），直接写出所有满足条件的EF的长度值. 【答案】(I)BF+AE=EF (2)解：(1)中结论不成立，应为BF-AE=EF,理由如下： AE⊥1，BF⊥1， .∠AEC=∠BFC=90°， .∠ACE+∠CAE=90°， .∠ACB=90°. ∴.∠ACE+∠BCF=90° ∴.∠CAE-=∠BCF 18 暑假培优预习：全等三角形中的旋转模型、全等三角形中的垂线模型专项训练 ,在△ACE和△CBF中， ∠AEC=∠CFB ∠CAE=∠BCF AC=CB △ACE≌ACBF(AAS) .AE=CF,CE=BF, .BF-AE CE-CF=EF (3)6 42546 (4)所有满足条件的EF的长为5或5或5 【分析】(1)由垂直定义得到∠AEC=∠BFC=90°，由同角的余角相等得到∠CAE=∠BCF,即可证明 △MCB≌aCBF(AAS),得出4E=CF,CE=BF,因此BF+AE=CE+CF=EF (2)同(1)思路求解即可； (3)根据S.o=2CD.BF=12求出CD=6,则CF=CD-DF=2·过点A作AE1BC,交BC的延长线于点B, 同1)思路证明A4CE，≌CBF(AAS,得到HE-CF-2,根据S-CD:AE求解即： 报解AE.DE=9:16得到45-号DE-是，根铝。4CD的积求出G-兰.根照同布的价角相安得到 ∠A=∠DCE B C F △ACE .若以点、、为顶点的三角形与 全等，分点B,F均在点C上方，和点B,F均在点C 下方分别讨论，根据全等三角形的性质求解即可， 【详解】(1)解：AE⊥1，BF⊥1， .∠AEC=∠BFC=90°， .∠ACE+∠CAE=90°， .∠ACB=90°， ∴.∠ACE+∠BCF=180°-∠ACB=90°， ∴.∠CAE=∠BCF. ,在△ACE和△CBF中， 0 暑假培优预习：全等三角形中的旋转模型、全等三角形中的垂线模型专项训练 ∠AEC=∠CFB ∠CAE=∠BCF AC=CB △ACE≌ACBF(AAS) .AE=CF,CE=BF, ∴.BF+AE=CE+CF=EF. (2)略 (3)解：：△ABC与△BDF均为等腰直角三角形，∠ACB=∠BFD=9O°， :.AC=BC,DF=BF=4, S.c=CD-BF=12,BF=4 .CD=6, .CF=CD-DF=6-4=2」 过点A作AE⊥DC,交DC的延长线于点E,则∠AEC=90°， F E F T B 图3 ∠BFD=90°， .∠BFC=180°-∠BFD=90°. ∴.∠AEC=∠BFC ∠AEC=90°， :.∠ACE+∠CAE=90°， ∠ACB=90°， ∴.∠ACE+∠BCF=180°-∠ACB=90°， .∠CAE=∠BCF ,在△ACE和△CBF中， ∠AEC=∠CFB ∠CAE=∠BCF AC=CB 20 暑假培优预习：全等三角形中的旋转模型、全等三角形中的垂线模型专项训练 △ACE≌ACBF(AAS) .AE=CF=2 :54m=)CDAE=)x6x2=6 1 2 (4)解：：AE:DE=9:16,AE+DE=AD=10, 4-0e号 5· :∠ACD=90°，CE⊥AD, m4ccD4DcE,即时x6x8=1ocE, 1 2 2 :CE24 5… .CE⊥AD. .∠CEA=90°， .∠A+∠ACE=90°、 :'∠DCE+∠ACE=∠ACD=90°， .∠A=∠DCE 若以点B、C、F为顶点的三角形与△ACE全等，分以下情况讨论： ①若点B,F均在点C上方， ∠BCF=∠DCE=∠A, ∴，存在ACBF≌△ACE或△CFB≌△ACE, 若△CBF≌△ACE,如图， F D E 则CF=AB=18 5, :.EF=CF+CE=18+24_42 555· 21 暑假培优预习：全等三角形中的旋转模型、全等三角形中的垂线模型专项训练 若△CFB≌△ACE,如图 C D E 则CF=AC=6. EF=CF+CE=6+24=54 55· ②若点B,F均在点C下方， .∠BCF=∠A, ∴.存在△CBF≌△ACE或△CFB≌△ACE, 若aCBF≌aACE,如图， F B D E 则CF=AE=18 , :EF=CE-CF=24_186 555· 若△CFB≌aACE,如图 E F 则CF=AC=6, 22 暑假培优预习：全等三角形中的旋转模型、全等三角形中的垂线模型专项训练 EF=CF-CE=6-24-6 55· 42.54.6 综上所述，所有满足条件的EF的长为5或5或5· 例2.(2425八年级上重庆期中)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点E为AC上一动点，过点A作 AD⊥BE于D,连接CD D D B 图① 图② 备用图 (1)如图①，点E在运动过程中，求∠CDB的度数： (2)如图②，若E为AC中点，探究BE与DE的数量关系，写出证明过程： (3)在点E运动过程中，是否存在△ACD是等腰三角形，若存在，请直接写出∠CBD的值；若不存在，请说明理由， 【答案】(1)45°： (2) BE=5DE,理由如下： D E B 图2 如图2，作CG⊥CD交BD于点G,作CH⊥BD于点H,则∠CHE=90°， .∠CHE=∠ADE=90°， :E为AC中点， ∴AE=CE :∠AED=∠CEH, ,∴.△ADE≌aCHE(AAS) ∴.DE=HE,AD=CH 由(1)得，△ADC≌△BGC, .AD=BG 23 暑假培优预习：全等三角形中的旋转模型、全等三角形中的垂线模型专项训练 .CH BG. CG=CD,CH⊥DG :DH=GH, ∠CDB=45°，∠CHE=90° .CH=DH, .BG=DH=GH=2DE .BE=BG+GH+HE=2DE+2DE+DE=5DE :BE =5DE (3)存在，∠CBD=22.5° 【分析】(I)作CF⊥CD交BD于点F,用全等判定方法ASA证明aDAC≌aFBC,得到DC=FC,即可得出 ∠CDB的度数； (2)作CG⊥CD交BD于点G,作CH⊥BD于点H,先用全等判定方法AAS证明△ADE≌aCHE,得 DE HE,AD=CH △ADC≌△BGC AD=BG △CDH CH=DH ，再由 ,得 ，再判定等腰直角 得 ，最后等量代换即 可推导出BE=5DE: (3)过点C作CG⊥CD交BD于G,先说明△ACD是钝角三角形，则当△ACD是等腰三角形时，只存在一种情况： AD=CD △ADC≌△BGC ,结合(1)中的结论 ,即可解答. 【详解】(1)解：如图1，作CF⊥CD交BD于点F,则∠DCF=90°， B 图1 ∴.∠DCF=90°=∠ACB ∠ACD=LBCF, :∠ACB=90°，AD⊥BE .∠ACB=∠ADB=90°， ∠DBC+LBEC=∠DAC+∠AED=90°， .∠BEC=∠AED 24 暑假培优预习：全等三角形中的旋转模型、全等三角形中的垂线模型专项训练 ∴.∠DBC=∠DAC, 又AC=BC, .△DAC≌△FBC(ASA) :.DC=FC, ∠CDB=∠CFD=45°」 (2)略 (3)在点E运动过程中，存在△ACD是等腰三角形， :∠ADC=∠ADB+∠CDB,∠ADB=90° .LADC>90°， ∴△ACD是钝角三角形， 当△ACD是等腰三角形时，只存在一种情况：AD=CD, 如图3，过点C作CG⊥CD交BD于G, C D G B 图3 由(1)得，△ADC≌△BGC, ∴.AD=BG,CD=CG ..BG=CG LCBD=∠BCG」 ∠CGD=∠CBD+LBCG=45°， .∠CBD=22.5° 【点睛】本题是三角形的综合题，重点考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识， 熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质，学会运用类比的方法解决同一类型的问题是 解题的关键，综合性较强，适合有能力解决难题的学生， 例3.(2526八年级上重庆江津·月考)通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 25 暑假培优预习：全等三角形中的旋转模型、全等三角形中的垂线模型专项训练 (1)如图，∠ACE=90°，AC=CE,过点A作AB⊥BC于点B,过点E作ED⊥BC交BC的延长线于点D.由 ∠ACB+∠DCE=∠DCE+∠E=90°，得∠CAB=LE.又∠ABC=∠CDE=90°，AC=CE,可以推理得到 △ABC≌△CDE,进而得到AB=一，BC=一.（请完成填空）我们把这个数学模型称为“K字”模型 或“一线三等角”模型. E ■ B C D 【模型应用】 (2)①如图，∠ACE=∠BCD=90°，AC=CE,BC=CD,连接AB、DE,且DE⊥CG于点G,AB与直线 CG交于点F,求证：点F是AB的中点； E A G D B ②如图，若点M为轴上一动点，点N为轴上一动点，点P的坐标为5，是否存在以M、N、P为顶点且 以PM为斜边的三角形为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标：若不存在，请说明理由. P O 【答案】(I)CD,DE: (2)证明：如图1，过点A作AM⊥FG交FG于点M,过点B作BN⊥FG交FG于点N, 26 暑假培优预习：全等三角形中的旋转模型、全等三角形中的垂线模型专项训练 V▣ G 图2 :ED⊥CG∠ACE=90° ∴.∠ACF+∠ECG=∠ECG+∠E=90°， .∠ACF=∠E, 在△ACM和△CEG中， ∠ACM=∠E ∠AMC=∠CGE AC=CE ∴.△ACM≌ACEG(AAS) :.AM=CG; 同理可得：△BCN≌aCDG, ..BN=CG .AM BN, 在△AMF和△BNF中， 「∠AFM=∠BFN ∠AMF=∠BNF AM=BN .△AMF≌△BNF(AAS) :.AF BF, 点F是AB的中点. (3)存在，（4,0)或6.0) 【分析】本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形 性质、直角三角形的性质等知识： 27 暑假培优预习：全等三角形中的旋转模型、全等三角形中的垂线模型专项训练 (1)由全等三角形的性质可得出答案： (2)过点A作AM⊥FG交FG于点M,过点B作BN⊥FG交FG于点N,证明△ACM≌ACEG(AAS),得出 AM=CG △BCN≌ACDG BN=CG △AMF≌△BNF(AAS) ；同理可得： 得出 ,证明 ,由全等三角形的性质可得出 AF=BF: (3)分两种情况，由全等三角形的性质可得出答案. 【详解】(1)解：由题意可知△ABC≌aCDE, ∴AB=CD,BC=DE, 故答案为：CD,DE; (2)略 (3)解：如图，当点V在x轴正半轴上时，由【模型呈现】可知△MEN≌aNDP, .EM=DN=5,DP=EN, .DP=5-1=4, .EN=4, M(-4,0): Ay E D 5 4 3 -4-3-2-10 12345x 当点N在x轴负半轴上时，同理可得M(-6,0)」 28 暑假培优预习：全等三角形中的旋转模型、全等三角形中的垂线模型专项训练 M士 65-4-3-2-19L 1234 综上所述，点M的坐标为-4,0)或-6,0) 变式1.(25-26八年级上·重庆开州·月考)如图，等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE如图放置，∠BAC=∠DAE=90°， AD=AE,AB=AC E H D 图1 图2 图3 (I)如图1，连接BE,CD,求证：BE=CD: (2)如图2，当点B,E,D在同一直线上时，连接BE,CE,取BD的中点R,连接AF,求证：CE=2AF: B咖图3，连接BmC5,过点4作4G1BC于点Q,G的延长线交B0于点开若GH-,4G-,直接写 出△ADB的面积. 【答案】(1) 证明：，∠BAC=∠DAE=90°， .∠DAC=LBAE=90°-∠CAE, .AD=AE,AB=AC, .△ADC≌△AEB」 .BE=CD: (2) 证明：延长AF至点G,使FG=AF,连接BG, 29 暑假培优预习：全等三角形中的旋转模型、全等三角形中的垂线模型专项训练 由(1)知：△ADC≌△AEB. .∠DAC=∠BAE, ,F为BD的中点， .BF=DF, :∠AFD=∠GFB, △AFD≌△GFB, ∴∠G=∠DAF,BG=AD AE=AD,∠DAE=∠BAC=90° .AE=BG,∠CAE=∠CAB-∠BAE=90°-∠BAE, ·∠ABG=180°-∠FAB-∠G =180°-∠DAF-∠FAB =180°-（∠DAF+∠FAE+∠BAE) =180°-（∠DAE+∠BAE) =90°-∠BAE, .∠ABG=∠CAE, 又，AC=AB, .△AEC≌△BGA, ..EC=AG=2AF: (3)6 【分析】(1)证明△ADC≌△AEB,即可证出结论： (2)延长AF至点G,使AF=FG,连接BG,证明△ADF≌aGBF,进一步证明△AEC≌△BGA,得到EC=AG 即可： (3)过点D作DM⊥AH于点M,过点B作BN⊥AH于点N,分别证明△AGE≌aDMA,△AGC≌aBNA,得到 DM=AG=BN,利用△ADB的面积等于△ADH的面积加上△ABH的面积，计算即可. 30 暑假培优预习：全等三角形中的旋转模型、全等三角形中的垂线模型专项训练 【详解】(1)略 (2)略 (3)过点D作DM⊥AH于点M,过点B作BN L AH于点N, E D ,AG⊥CE .∠AGE=∠DMA=90°， .∠EAD=90°=∠DMA, .∠EAG=∠ADM=90°-∠DAM, 又AE=AD, .△AGE≌△DMA, 3 AG=DM= 同法可得：△AGC≌△BNA, BN=AG=3 .AH GH-AG=4. S△ADB=SADH+SAHB 1 -AH-DM+2AH-BN 31 3 -×4×二+ -×4× 222 2 =6 【点睛】本题考查全等三角形的综合应用，等腰三角形的判定，涉及手拉手模型，倍长中线法构造全等三角形， 一线三直角全等模型，对学生的思维要求较高，难度较大，属于压轴题，掌握构造全等三角形的辅助线的作法， 31 暑假培优预习：全等三角形中的旋转模型、全等三角形中的垂线模型专项训练 是解题的关键， 变式2.(25-26八年级上安徽合肥阶段检测)如图，在△ABC中，AC=BC,直线I经过顶点C,过A,B两点 分别作I的垂线AE,BF,E,F为垂足，且AE=CF.求证： (①)AC⊥BC: (2)AE+BF=EF. 【答案】(I)证明：AE⊥1，BF11, ∴∠AEC=∠BFC=90° AC=BC, 在Rt△ACE和Rt△CBF中，AE=CF, :RI△ACE≌Ri△CBF(HL) .∠EAC=∠BCF .∠EAC+∠ACE=90°， .∠ACE+∠BCF=90°， 即∠ACB=180°-90°=90 .AC⊥BC (2) 证明：Rt△ACE≌Rt△CBF, ∴CE=BF 又：AE=CF,CF+CE=EF, ∴.AE+BF=EF 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型：垂线模型，熟悉模型的构成及相关结论是解题关键. I)证Rt△ACE≌Rt△CBF即可求证： (2)由(1)可得CE=BF,据此即可求证. 【详解】(1)略 (2)略 32 暑假培优预习：全等三角形中的旋转模型、全等三角形中的垂线模型专项训练 变式3.(25-26八年级上辽宁大连期中)通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： D 2 A E 图1 图2 (L)如图1，点A在直线1上，∠BAD=90°，AB=AD,过点B作BC⊥I于点C,过点D作DE⊥I交于点E.得 ∠1=∠D ∠BCA=∠AED=90 △ABC≌△DAE(AAS) AC= BC= ,可以推理得到 进而得到结论： 我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型； (2)如图2，∠∠BAD=∠MAN=90°，AB=AD,AM=AN,BM⊥I于点C,DE⊥I于点E,ND与直线I交于点P,求 证：NP=DP 【答案】(I)DE,AE (2) 证明：如图2，作NF⊥1于点F, B PE 于点， 于点E, 图2 BM⊥I CDE⊥I ∴∠ACM=∠NFA=∠NFP=∠DEP=90°， 由I)得AC=DE, 同理(1)得AC=NF, .NF DE, 在△PFN和△PED中， 33 暑假培优预习：全等三角形中的旋转模型、全等三角形中的垂线模型专项训练 ∠MFP=∠DEF ∠FPN=∠EPD MF=DE .△PFN≌aPED(AAS), .NP=DP 【分析】本题考查一线三直角全等问题， (1)由∠CBA=∠AED=∠BAD=90°，得∠1+∠2=∠2+∠D=90°，则∠1=∠D,而AB=DA,即可证明 △ABC2△DAE,得AC=DE,BC=AE,于是得到问题的答案： (2)作NF⊥I于点F,因为BM⊥I于点C,DE⊥I于点E,所以∠ACM=∠NFA=∠NFP=∠DEP=90°，由 (1)得AC=DE,因为∠MAN=90°，所以∠CAM+∠FAN=∠FNA+∠FAN=90°，则∠CAM=∠FNA,而 AM=NA,即可证明△CAM≌aFNA,得AC=NF,所以NF=DE,再证明△PFN≌aPED,则NP=DP. 【详解】(1))解：BC⊥I于点C,DE1I于点E, .∠CBA=∠AED=90°， ∠BAD=90°， .∠1+∠2=∠8+∠D=90°， ∠1=∠D, 在△ABC和△DAE中， ∠1=∠D ∠BCA=∠AED AB=DA ∴.△ABC≌△DAE(AAS), .AC=DE,BC=AE, 故答案为：DE,AE. (2)略 34暑假培优预习：全等三角形中的旋转模型、全等三角形中的垂线模型专项训练 暑假培优预习：全等三角形中的旋转模型、全等三角形中的垂线模型专项训练 考点目录 全等三角形中的旋转模型 全等三角形中的垂线模型 考点一 全等三角形中的旋转模型 例1．（25-26七年级下·四川成都·期末）在中，，． (1)点是内部一点，且． ①如图1，求证：； ②如图2，当，，三点共线时，连接，若，，求的面积； (2)如图3，点是外一点，且，若的面积为8，求的长． 例2．（25-26八年级上·江苏淮安·期中）阅读理解：“分割、拼凑法”是几何证明中常用的方法．苏科版八上数学第一章《全等三角形》中，有以下两道题，其中将问题1中的图1分割成两个全等三角形，而问题2是“HL定理”的证明，却将图2两个直角三角形拼成了一个等腰三角形图3． 请按照上面的思路，补全问题1、2的解答： (1)问题1： 已知：如图1，在中，．求证：． (2)问题2： 如图2，在和中，，；把两个直角三角形如图3所示拼在一起．求证：是等腰三角形； (3)问题3：如图4，中，，四边形是正方形，．求阴影部分的面积和． 例3．（25-26七年级下·河南郑州·期中）【综合实践】如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”． (1)【初步把握】如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有 ；线段和的数量关系是 ； (2)【深入研究】如图2，和是都是等腰三角形，即，，且，B，C，D在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图3，直线，垂足为点O，上有一点M在点O右侧且，点N是上一个动点，连接，在下方作等腰直角三角形，，，连接．请直接写出线段的最小值及此时的长度． 变式1．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，等腰中，，点D为上一点，连接． (1)如图1，若，，且，求线段的长度；    (2)如图2，过点B作，交的延长线于点E，以为斜边作等腰直角三角形，过点G作交的延长线于点F，且，求证：；    (3)如图3，在（2）问的条件下，过点G作，垂足为H，交于点M，点N为延长线上一点，连接，若，，，求线段的长度．    变式2．（25-26八年级上·贵州遵义·月考）在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．    (1)【观察发现】 如图①，与的数量关系是 ； (2)【尝试探究】 点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数； (3)【深入思考】 如图②，若E为中点，探索与的数量关系． 变式3．（25-26七年级上·山东济南·月考）在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），E是外一点，连接，已知，，连接 (1)如图1，点D在线段上，如果，则______度： (2)如图2，当点D在线段上，试判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)当点D在线段的延长线上时，（2）中的结论是否成立？若不成立，请写出新的结论并说明理由． 考点二 全等三角形中的垂线模型 例1．（25-26七年级下·江西九江·期末）等腰直角三角形既是特殊的直角三角形，又是特殊的等腰三角形；基于其边角特征判定全等三角形的过程中提炼了常见的两个全等结构（如图与图），一些复杂的问题可以转化成这样的全等结构进行解决． 【理解探究】 (1)如图，在中，，．点正好落在直线上，直线与直线的交点不在边上，分别作于点，于点，则线段、、之间的数量关系为________． (2)如图，在中，，．点正好落在直线上，直线与直线的交点在边上，分别作于点，于点．请问（1）中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【转化应用】 (3)如图，与均为等腰直角三角形，，且、、在同一直线上，连接．已知，．求． (4)在中，，，，．直线经过的直角顶点交斜边于点，，，动点在直线上，动点在所在直线上．若以点、、为顶点的三角形与全等（如图），直接写出所有满足条件的的长度值． 例2．（24-25八年级上·重庆·期中）在中，，，点E为上一动点，过点A作于D，连接． (1)如图①，点E在运动过程中，求的度数； (2)如图②，若E为中点，探究与的数量关系，写出证明过程； (3)在点E运动过程中，是否存在是等腰三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 例3．（25-26八年级上·重庆江津·月考）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图，，，过点作于点，过点作交的延长线于点．由，得．又，，可以推理得到，进而得到＝______，＝______．（请完成填空）我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】 （2）①如图，，，，连接、，且于点，与直线交于点，求证：点是的中点； ②如图，若点为轴上一动点，点为轴上一动点，点的坐标为，是否存在以、、为顶点且以为斜边的三角形为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式1．（25-26八年级上·重庆开州·月考）如图，等腰和等腰如图放置，，，． (1)如图1，连接，求证：； (2)如图2，当点B，E，D在同一直线上时，连接，取的中点F，连接，求证：； (3)如图3，连接，过点A作于点G，的延长线交于点H，若，，直接写出的面积． 变式2．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在中，，直线经过顶点，过，两点分别作的垂线，，，为垂足，且．求证： (1)； (2)． 变式3．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，点A在直线l上，，过点B作于点C，过点D作交于点E．得．又，可以推理得到．进而得到结论：_____，_____．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型； (2)如图2，∠于点C，于点E，与直线交于点，求证：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $