25.2.1配方法 第1课时 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的配方法第1课时，核心涵盖直接开平方法原理及二次项系数为1的配方法步骤。通过情境导入问题“x²=4如何解”，结合平方根意义引出(x+m)²=p的形式，逐步过渡到配方法“凑完全平方”技巧，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以转化思想为核心，通过探究新知中(x+3)²=5的降次过程培养数学思维，分层练习（基础巩固、能力提升）结合中考考法强化运算能力，参考答案解析细致。既帮助学生理解配方法本质，发展推理意识与模型意识，也为教师提供清晰教学路径，提升课堂效率。

人教版（新教材）数学九年级上册 第25章 一元二次方程 25.2.1配方法 第1课时 授课教师： . 班 级： 九年级（ ）班 . 时 间： . 2026/8/16 25.2.1 配方法（第1课时）专项练习 一、核心知识点梳理 1. 直接开平方法：对于形如$$x^2=p(p\geq0)$$或$$(mx+n)^2=p(p\geq0)$$的一元二次方程，可直接利用平方根的定义直接开平方求解。若$$p>0$$，方程有两个不相等的实数根；若$$p=0$$，方程有两个相等的实数根；若$$p<0$$，方程无实数根。 2. 配方法核心原理：通过配方将一元二次方程转化为$$(x+m)^2=n$$的完全平方式形式，再用直接开平方法解方程。本节课重点掌握二次项系数为1的一元二次方程配方技巧，核心是“凑完全平方公式”。 3. 配方关键规律：对于$$x^2+bx$$，在式子末尾加上一次项系数一半的平方，即$$(\frac{b}{2})^2$$，即可凑成完全平方式$$(x+\frac{b}{2})^2$$，同时依据等式性质，等式两边必须同时加减同一个数，保证等式成立。 4. 二次项系数为1的配方法步骤：移项，将常数项移到等号右侧；配方，两边加一次项系数一半的平方；整理成完全平方式；开平方求解；化简得出方程的根。 二、基础巩固练习 1. 用直接开平方法解下列方程，其中无实数根的是（） A. $$x^2-9=0$$ B. $$x^2+4=0$$ C. $$(x-1)^2=0$$ D. $$2x^2=8$$ 2. 将二次式$$x^2-6x$$配方成完全平方式，需要加上的常数是______。 3. 用配方法解方程$$x^2+4x-5=0$$。 4. 用直接开平方法解方程$$(x+3)^2=16$$。 三、能力提升练习 1. 用配方法解方程$$x^2-10x+21=0$$。 2. 若方程$$x^2+mx+9=0$$可以配方成$$(x+n)^2=0$$的形式，则$$m$$的值为______。 3. 用配方法推导求解方程$$x^2-2x-2=0$$的实数根。 4. 已知代数式$$x^2-8x+20$$，通过配方说明该代数式的最小值。 四、参考答案与详细解析 基础巩固解析 1. 答案：B。解析：变形得$$x^2=-4$$，负数没有平方根，因此方程无实数根。其余选项均可开平方求出实数根。 2. 答案：9。解析：一次项系数为-6，一半为-3，平方为9，加上9即可得$$x^2-6x+9=(x-3)^2$$。 3. 解：移项得$$x^2+4x=5$$，两边加$$2^2=4$$，得$$x^2+4x+4=9$$，整理为$$(x+2)^2=9$$，开平方得$$x+2=\pm3$$，解得$$x_1=1，x_2=-5$$。 4. 解：直接开平方得$$x+3=\pm4$$，当$$x+3=4$$时，$$x=1$$；当$$x+3=-4$$时，$$x=-7$$，即$$x_1=1，x_2=-7$$。 能力提升解析 1. 解：移项得$$x^2-10x=-21$$，两边加$$5^2=25$$，得$$(x-5)^2=4$$，开平方得$$x-5=\pm2$$，解得$$x_1=7，x_2=3$$。 2. 答案：$$\pm6$$。解析：$$(x+n)^2=x^2+2nx+n^2$$，由$$n^2=9$$得$$n=\pm3$$，$$m=2n=\pm6$$。 3. 解：移项得$$x^2-2x=2$$，配方加1得$$(x-1)^2=3$$，开平方得$$x-1=\pm\sqrt{3}$$，解得$$x_1=1+\sqrt{3}，x_2=1-\sqrt{3}$$。 4. 解：配方得$$x^2-8x+16+4=(x-4)^2+4$$，因为$$(x-4)^2\geq0$$，所以当$$x=4$$时，代数式取得最小值4。 总字数：1208 情境导入 1. 初步了解利用转化思想降次解一元二次方程的思路. 2. 会利用直接开平方法对形如 ( x + m)² = n (n > 0) 的一元二次方程进行求解.(重、难点) 3.通过探究用直接开平方法解一元二次方程，培养学生勇于探索的良好学习习惯，会用数学的思维思考现实. 学习目标 问题 下面这个一元二次方程怎么解？ x2=4. 解：根据平方根的意义，得 x=±2. 即 x1​=2，x2​=−2. 情境导入 一般地，对于方程 x2=p, (1) 当 p>0 时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根 x1​=，x2​=−​； (2) 当 p=0 时，方程有两个相等的实数根 x1​=x2​=0； (3) 当 p<0 时，因为对任意实数 x，都有 x2≥0，所以方程无实数根. 探究新知 探究 对照上面解方程 x2=4 的过程，你认为应怎样解方程 (x+3)2=5? (x+3) 2=5， ① 得 x+3=， ② 即 x+3=，或x+3=. 于是，方程(x+3) 2=5的两个根为 x1=-3+，x2=-3-. 由方程①得到②，实质上是根据平方根的意义，把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程①转化为我们会解的方程了. 探究新知 1.用直接开平方法解下列方程，其中无实数解 的是(　A　) A. x2＋3＝0 B. －2x2＝0 C. x2－4＝0 D. (x－2)2＝0 A 举一反三 解下列方程： (1) 4x2−3=0； 例1 解：(1) 移项，并将二次项系数化为 1，得 x2=. 由此可得 x=±, 即 x1​=，x2​=﹣. 探究新知 解下列方程： (2) (x+2)2−9=0. 例1 解：(2) 移项，得 (x+2)2=9. 由此可得 x+2=±3, x+2=3，或x+2=﹣3， 即 x1​=1，x2​=﹣5. 探究新知 2. 方程x2＝36的解是(　D　) A. x＝6 B. x＝－6 C. x1＝9，x2＝4 D. x1＝6，x2＝－6 3.若方程(x－4)2＝a有实数解，则a的取值范围 是(　B　) A. a≤0 B. a≥0 C. a＞0 D. 无法确定 D B 举一反三 解下列方程： (1)3x2-15=0； (2)(3x-6)2=0； 跟踪训练 解：(1)移项，得3x2=15. 二次项系数化为1，得x2=5. 开平方，得x=±5， 即x1=，x2=-. (2)整理，得(3x-6)2=0. 开平方，得3x-6=0. 所以x1=x2=2. 探究新知 解下列方程： ((3)2(3y+2)2-32=0； (4)25x2+10=1. 跟踪训练 解：(3)移项，得2(3y+2)2=32. 整理，得(3y+2)2=16. 开平方，得3y+2=±4， 即3y+2=4,或3y+2=-4， 所以y1=，y2=-2. (4)移项，得25x2=-9. 二次项系数化为1， 得x2=﹣ <0, 所以方程无实数根. 探究新知 4. 方程(x－2)2＝16的解是 ⁠. 5. 解下列方程： (1)25(x－3)2－9＝0； x1＝6，x2＝－2　 书写通关 解：方程整理得( )2＝ ⁠. 开平方得 　x－3＝　，或 　x－3＝－　. 解得x1＝ 　　，x2＝ 　　. x－3 　 x－3＝　 x－3＝－　 　 　 举一反三 (2)(2x＋3)2＝7； 解：x1＝，x2＝. 解：x1＝，x2＝. (3)t2＋4t＋4＝4； 解：t1＝0，t2＝－4. (4)(3x－1)2＝(2x＋3)2. 解：x1＝4，x2＝－. 解：t1＝0，t2＝－4. 解：x1＝4，x2＝－. 举一反三 1. 返回 一元二次方程x2－4＝0的解是(　　) A．x1＝x2＝2 B．x1＝2，x2＝－2 C．x1＝x2＝－2 D．x1＝x2＝4 B 考试考法 14 返回 2. 一元二次方程25x2－1＝0的根是(　　) A．x1＝x2＝5 B．x1＝5，x2＝－5 C．x1＝ ，x2＝－ D．x1＝x2＝ C 考试考法 返回 3. 若一元二次方程4x2－9＝0的根分别是a，b，且a＜b，则a的值为________． 考试考法 返回 4. 用直接开平方法解下列方程： (1)9x2－25＝0； 解：移项、合并同类项，得3x2＝27，即x2＝9. 两边直接开平方，得x1＝3，x2＝－3. (2)3x2－1＝26； 考试考法 (3)49x2－7＝1. 返回 考试考法 一元二次方程(x＋6)2＝9可以转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程为x＋6＝3，则另一个一元一次方程为(　　) A．x－6＝3 B．x＋6＝－9 C．x＋6＝9 D．x＋6＝－3 返回 5. D 考试考法 如果关于x的方程(x－3)2＝m＋7可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是(　　) A．m＞3 B．m≥3 C．m＞－7 D．m≥－7 返回 6. D 考试考法 返回 7. 用直接开平方法解一元二次方程 (x－1)2＝9的步骤如下： ①(x－1)2＝36，②x－1＝6，③x＝7. 其中开始出错的步骤是________．(填序号) ② 考试考法 返回 8. [教材P6练习变式]解下列方程： (1)[无锡中考](x－2)2－4＝0； (1)解：移项，得(x－2)2＝4. 两边直接开平方，得x－2＝2或x－2＝－2， 解得x1＝4，x2＝0. (2)2(x＋3)2－10＝0； 考试考法 (3)(2x－1)2＝49； (4)x2－6x＋9＝3. 返回 解：两边直接开平方，得2x－1＝－7或2x－1＝7， 解得x1＝－3，x2＝4. 考试考法 直接开平方法 解一元二次方程 x2=p (1) 当 p>0 时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根 x1​=，x2​=−​. (2) 当 p=0 时，方程有两个相等的实数根 x1​=x2​=0. (3) 当 p<0 时，因为对任意实数 x，都有 x2≥0，所以方程无实数根. 探究新知 谢谢观看 THANKS － 解：移项，得9x2＝25，即x2＝. 两边直接开平方，得x1＝，x2＝－. 解：移项、合并同类项，得49x2＝8， 即x2＝. 两边直接开平方，得x1＝，x2＝－. (2)解：移项，得2(x＋3)2＝10，即(x＋3)2＝5. 两边直接开平方，得x＋3＝或x＋3＝－，解得x1＝－3，x2＝－－3. 解：整理，得(x－3)2＝3. 两边直接开平方，得x－3＝±， 解得x1＝3－，x2＝3＋. $