2.4.2 圆的一般方程 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册（北京专用）

**基本信息** 以圆的一般方程为核心，通过“概念梳理-基础应用-综合探究”三层设计，衔接北京最新考题，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|圆的一般方程概念及要素|教材知识梳理填空，夯实定义与充要条件，体现数学抽象| |中档层|圆心半径计算、方程表示圆的条件|单选（如圆心坐标求解）与填空（如对称圆方程），强化运算能力| |提升层|综合应用与参数问题|解答题（如面积最大圆方程、外接圆求解），培养逻辑推理与模型意识|

2.4.2圆的一般方程同步练（北京专用） 教材知识梳理 1．圆的一般方程 圆的一般方程是______（______0），圆心为______，半径为______． 注意：（1）对于方程， ①当时，方程表示______； ②当时，方程表示一个点______； ③当时，方程______． （2）圆的一般方程有如下特点： ①与项的系数相同且不为零； ②不含xy项； ③，叫做圆的方程的判别式． （3）无论是圆的标准方程还是圆的一般方程，其中都含有三个需要确定的常数a、b、r或D、E、F，因此，必须具备三个独立条件，才能确定一个圆的方程． 【答案】 圆 不表示任何图形 2．圆的定义和圆的方程 定义 平面内到________的距离等于________的点的集合叫做圆 方程 标准方程 一般方程 圆心坐标 半径 充要条件 ________ 【答案】 定点 定长 3．已知方程表示圆，则k的取值范围是( ) A．      B．      C．      D． 【答案】A 【详解】由题可知： 同步练（最新北京同步考题） 一、单选题 1．（25-26高二上·北京朝阳·期末）设圆的圆心为M，半径为r，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】将圆的方程转化为标准方程，得出圆心和半径. 【详解】将转化为， 可得圆心，半径， 故选：. 2．（25-26高二上·北京·期末）已知圆被直线分成弧长相等的两部分，则（    ） A． B． C．2 D．6 【答案】C 【分析】利用圆的一般方程及性质即可求解. 【详解】由圆，得圆的圆心坐标为， 因为圆被直线分成弧长相等的两部分， 所以直线过圆心，代入得，解得. 故选：C. 3．（25-26高二上·北京昌平·阶段检测）已知曲线表示圆，则圆的半径为（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】B 【分析】先根据圆的方程特征求出参数的值，代入方程化为标准形式求半径. 【详解】曲线表示圆， 则，解得或. 当时，，不符合题意舍去. ∴，此时圆的方程可化为. ∴圆的半径为1. 故选：B 4．（24-25高二上·北京·期中）圆的圆心和的范围分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将圆的一般方程变形为标准方程，进而求解. 【详解】由，得， 所以圆心为，由，得， 故选：A 5．（24-25高三上·北京海淀·开学考试）若圆的圆心到轴、轴的距离相等，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出圆心坐标，从而得到答案. 【详解】， 故圆心为，要想圆心到轴、轴的距离相等， 则. 故选：C 6．（24-25高三上·北京昌平·期中）由曲线围成的图形面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分类讨论研究曲线的性质并画出示意图，数形结合判断图形构成求面积. 【详解】当时，曲线为， 当时，曲线为， 当时，曲线为， 当时，曲线为， 同时点均在曲线上，如下图示， 所以围成图形是4个半径均为的半圆，与1个边长为的正方形组成， 故图形面积为. 故选：A 7．（25-26高三上·北京朝阳·期末）在平面直角坐标系中，已知点，动点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，再利用圆上点到定点距离的最值求法可得结果. 【详解】设，易知， 由可得，整理得， 即动点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 又，可得的最大值为到圆心的距离再加上半径， 即. 故选：D 8．（24-25高二上·北京昌平·期末）“”是“坐标原点在圆的外部”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先由“坐标原点在圆的外部”得且，进而可得. 【详解】由坐标原点在圆的外部可得，即且， 故“”是“且”的必要不充分条件， 故选：B 9．（25-26高二上·北京·阶段检测）“关于x，y的方程：表示圆”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据方程表示圆求出参数的取值范围，再由充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若表示圆，则，解得或， 故“关于x，y的方程：表示圆”是“”的必要不充分条件． 故选：A 10．（25-26高三上·北京西城·阶段检测）已知直线经过圆的圆心，则的最小值为（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】将圆的方程变为标准式，可得其圆心，根据直线过圆心，代入可得，代入所求，根据二次函数的性质，即可得答案. 【详解】圆变形可得，圆心为， 因为直线经过圆心， 所以，即， 所以， 所以当时，的最小值为. 故选：A 二、填空题 11．（25-26高二上·北京昌平·阶段检测）圆关于点对称的圆的标准方程为___________ 【答案】 【分析】先将圆的方程化为标准方程得到圆心和半径，再求出圆心关于的对称点即可得到对称的圆的标准方程. 【详解】由，所以， 得圆心为，半径为， 由关于点对称点为， 所以关于对称的圆的标准方程为：， 故答案为：. 12．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知直线l为圆的一条对称轴，且直线l经过点，则l的方程为__________. 【答案】 【分析】分析可知直线l过圆心，利用直线的两点式方程运算求解即可. 【详解】圆，即为， 可知圆心为，半径， 若直线l为圆的一条对称轴，可知直线l过圆心， 且直线l经过点，则直线l的方程为，即. 故答案为：. 13．（25-26高二上·天津·阶段检测）已知点在圆外，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】由题可知方程表示圆的方程，且点在圆外列不等式，即可得实数的取值范围. 【详解】由得：，故 因为点在圆外，所以，所以. 所以实数的取值范围是：. 所以答案为：. 14．（24-25高二上·北京房山·期中）已知点在同一个圆上，则这个圆的方程为______. 【答案】 【分析】设圆的一般方程，利用待定系数法即可求得答案. 【详解】设圆的一般方程为， 将点代入得， 解得，满足，则， 将代入也适合， 故所求圆的方程为. 故答案为： 三、解答题 15．（25-26高二上·北京·期中）已知二次方程. (1)当为何值时，方程表示圆？ (2)当为何值时，方程表示的圆的面积最大，并求出面积最大时圆的标准方程. 【答案】(1) (2)当时，圆的面积最大，此时圆的标准方程为： 【分析】（1）根据圆的一般式方程知,当时方程表示圆； （2）由半径,通过配方可以求出圆的最大半径以及半径最大时圆的方程. 【详解】（1）方程表示圆的条件是, 即,解得, 所以当时，方程表示圆. （2）由( 1 )知当时,方程表示圆,且其半径 . 所以当时，半径有最大值，且,此时圆心坐标为, 故圆的方程为. 16．（25-26高二上·北京西城·期中）在中，已知，边的中点在轴上，边的中线所在直线的方程 (1)求顶点的坐标； (2)求边上的高所在直线方程； (3)求外接圆的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，利用边的中点在轴上，求得，利用边的中线所在直线的方程，求得； （2）求出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程； （3）利用待定系数法求得外接圆的方程． 【详解】（1）设，则的中点坐标为， 又因为边的中点在轴上，所以，解得， 又的中点是，即， 因为边的中线所在直线的方程，解得， 所以点C的坐标为； （2）因为，所以边上的高所在直线的斜率为， 所以边上的高所在直线方程为，即； （3）设外接圆的方程为， 可得，化简得， 解得，所以外接圆的方程为， 化为标准方程为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $2.4.2圆的一般方程同步练（北京专用) 教材知识梳理 1.圆的一般方程 圆的一般方程是 (D+E2-4F0),圆心为，半径为 注意：(1)对于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0, ①当D2+E2-4F>0时，方程表示一： ②当D+E2-4F=0时，方程表示一个点： ③当D+E2-4F<0时，方程 (2)圆的一般方程有如下特点： ①x与y项的系数相同且不为零： ②不含xy项： ③D+E2-4F>0,D+E2-4F叫做圆的方程x2+y+Dx+y+F=0的判别式. (3)无论是圆的标准方程还是圆的一般方程，其中都含有三个需要确定的常数、b、r或 D、E、F,因此，必须具备三个独立条件，才能确定一个圆的方程. 2.圆的定义和圆的方程 定义 平面内到 的距离等于 的点的集合叫做圆 标准方程 般方程 方程 (x-a2+(y-b2=r2(r x2+y2+Dx+Ey+F=0D2+E2- 圆心坐标 a,b 2,-2 半径 1VD2+E2-4F 充要条件 3.已知方程x+y2-2x+2k+3=0表示圆，则k的取值范围是( A.（-00,-1B.(3,+o)C.(-0,-1)U(3,+o)D.(-1,+0) 试卷第1页，共3页 同步练（最新北京同步考题） 一、单选题 1.(25-26高二上北京朝阳期末)设圆x2+y2+4x-2y-4=0的圆心为M,半径为r, 则() A.M2,-1,r=9 B.M-2,1,r=9 C.M2,-1,r=3 D.M-2,1,r=3 2.(25-26高二上北京期末)已知圆x2+y2+ax-2y-1=0被直线x+2y-1=0分成弧 长相等的两部分，则a=() A.-6 B.-2 C.2 D.6 3.(25-26高二上·北京昌平·阶段检测)己知曲线 C:5-2mx2+m2+2y2=4-m,m∈R表示圆，则圆的半径为() A.V5 B.1 c.3 D.3 4.(24-25高二上·北京·期中)圆x2+y2-2x+4y+a=0的圆心和a的范围分别是() A.1,-2;a<5 B.-1,2;a>5 C.2,-4;a≤5 D.-2,4;a≥5 5.(24-25高三上·北京海淀·开学考试)若圆x2+y2-2aX+6y=0的圆心到x轴、y轴的 距离相等，则a=() A.2 B.3 C.±3 D.±6 6.(24-25高三上北京昌平期中)由曲线×+y=x+y周成的图形面积为（） A.π+2 B.π+4 c D. 7.(25-26高三上·北京朝阳·期末)在平面直角坐标系xOy中，已知点A0,1,B2,1,动 点P满足PA·PB=0,则OP的最大值为() A.1 B.2 C.2 D.V2+1 8.(24-25高二上北京昌平.期末)“a>1”是“坐标原点在圆x2+y-ay+a-1=0的外 部”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 试卷第2页，共3页 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 9.(25-26高二上北京阶段检测)“关于x,y的方程：x2+y2+mx+4y+8=0表示 圆”是“m>4”的() A.必要不充分条件 B.充要条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 10.(25-26高三上·北京西城阶段检测)已知直线y=aX+b经过圆x2+y2+2x=0的圆心， 则。7+2b的最小值为(） 1 A.-1 B.- C.0 D.1 4 二、填空题 11.(25-26高二上·北京昌平·阶段检测)圆x2+y2+4x-1=0关于点0,0对称的圆的标准 方程为 12.(25-26高二上·北京·阶段检测)已知直线1为圆C:x2+y2-6x-2y+1=0的一条对 称轴，且直线1经过点P(2,2),则1的方程为 13.(25-26高二上天津阶段检测)已知点A-1,0在圆x2+y2+2x+3y+m=0外，则 实数m的取值范围是 14.(24-25高二上·北京房山期中)已知点A0,0,B0,2,C3,-1,D4,2在同一 个圆上，则这个圆的方程为 三、解答题 15.(25-26高二上·北京·期中)已知二次方程 x+y2-2t+3x+21-4t2y+16t4+9=0 (1)当t为何值时，方程表示圆？ (2)当t为何值时，方程表示的圆的面积最大，并求出面积最大时圆的标准方程. 16.(25-26高二上·北京西城期中)在△ABC中，已知A-3,1B5,-1,边AC的 中点在y轴上，BC边的中线所在直线的方程6x+7y+11=0 (1)求顶点C的坐标： 试卷第3页，共3页 (2)求AB边上的高所在直线方程； (3)求△ABC外接圆的方程. 试卷第4页，共3页