2.3.3 点到直线的距离公式 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册（北京专用）

**基本信息** 以点到直线的距离公式为核心，通过基础计算、灵活应用、综合拓展三层设计，实现从概念理解到问题解决的递进，适配新授课知识巩固需求，培养运算能力与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|公式直接应用|单选1、填空10直接代入公式计算，巩固概念记忆与基本运算| |进阶层|公式灵活应用|单选2对称点、单选3距离最值问题，培养推理能力与空间观念| |综合层|综合知识应用|解答题13正方形边长计算、15三角形面积求解，体现模型意识与应用能力|

2.3.3点到直线的距离公式同步练（北京专用） 教材知识梳理 点到直线的距离 (1)概念：过一点向直线作垂线，则该点与_____之间的距离，就是该点到直线的距离． (2)公式：点到直线的距离_________． 【答案】 垂足 同步练（最新北京同步考题） 一、单选题 1．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）点到直线的距离为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据点到直线的距离公式计算即可. 【详解】直线方程变形得， 所以点到直线的距离为. 故选：A. 2．（24-25高二上·北京·期末）点关于直线的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】使用待定系数法结合直线对称的几何关系求解即可. 【详解】设对称点的坐标为则解得： 故选：B. 3．（25-26高二·北京·课堂例题）已知直线过定点M，点在直线上，则的最小值是（    ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】先求定点，再根据点到直线距离求解点到直线上动点距离最小值即可. 【详解】由得，所以直线l过定点， 依题意可知的最小值就是点M到直线的距离， 由点到直线的距离公式可得． 故选:B. 4．（2026·北京顺义·二模）已知直线过点，其倾斜角为，设原点到直线的距离为.当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，设直线的方程为，再结合点到直线的距离公式列不等式求解即可. 【详解】由题意，直线过点，且原点到直线的距离， 则直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 则，由，则，解得或， 又，则的取值范围是. 5．（25-26高二上·北京东城·阶段检测）过点且与直线平行的直线与轴、轴分别交于、两点，则下列结论错误的是（    ） A．直线的方程为 B． C．原点到直线的距离为 D．线段的中点在直线上 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出直线的方程及点坐标，再结合点到直线距离公式逐项判断. 【详解】依题意，设直线的方程为， 由直线过点，得，解得，直线， 由时，得点，由时，得点. 对于A，直线的方程为，A正确； 对于B，因，则，B正确； 对于C，原点到直线的距离为，C正确； 对于D，线段的中点不在直线上，D错误. 故选：D 6．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知，两点到直线l：的距离相等，则a的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】法一：由点线距离公式列方程求参数值；法二：两点到直线的距离相等，则直线与两定点所在直线平行，或直线过以两定点为端点的线段的中点，列方程求参数值. 【详解】法一：因为点，到直线l：的距离相等， 所以，即， 化简得，解得或； 法二：若，由，，得直线AB的斜率为，又直线l的斜率为，故； 若在两侧，线段AB的中点，代入直线l：，得，则． 经检验，或均符合题意. 故选：C 7．（25-26高二上·北京·阶段检测）点到直线的最大距离是（    ） A． B．2 C． D．不存在 【答案】D 【分析】求出直线l所过的定点，利用两点间距离公式并结合判断是否存在最值，即可求解答案. 【详解】直线即， 令，解得， 即直线过定点，设为B， 当直线与l垂直时，点到直线的距离最大， 即为， 此时的斜率为，则l的斜率为2，故，方程无解， 即直线l和不可能垂直，则点到直线l的距离小于，不存在最大值， 故选：D 二、填空题 8．（25-26高一下·北京顺义·阶段检测）在直线上求一点，使它到直线的距离等于原点到l的距离，则此点的坐标为______. 【答案】或 【分析】设直线上的点为，再根据点到直线的距离公式求解即可. 【详解】设直线上的点为， 点直线的距离为， 原点到l的距离为， 所以，解得或， 所以此点的坐标为或. 故答案为：或. 9．（25-26高二上·北京·期中）到直线的距离不超过，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】直接利用点到直线的距离公式得到不等式，解得即可. 【详解】因为到直线的距离不超过， 所以，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为： 10．（25-26高二上·北京朝阳·期中）点到直线的距离为__________. 【答案】/ 【分析】根据点到直线的距离公式，计算即可. 【详解】点到直线的距离. 故答案为：. 11．（25-26高二上·北京·期中）如图，已知网格中每个小正方形的边长都是1，则点C到直线的距离为_____________． 【答案】/. 【分析】如图建立平面直角坐标系，表示出三点坐标，求出直线的方程，再利用点到直线的距离公式可求得答案. 【详解】如图，建立平面直角坐标系，则， 所以直线的方程为，即， 所以点C到直线的距离为 ， 故答案为：. 12．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知点，点是直线上的动点，则的最小值为___________. 【答案】 【分析】利用点到直线的距离公式计算可得. 【详解】解：依题意点到直线的距离， 所以的最小值为； 故答案为： 三、解答题 13．（25-26高二上·北京平谷·期中）已知正方形的中心为点，一条边所在的直线方程是 (1)求正方形的边长； (2)求正方形其他三边所在的直线方程. 【答案】(1) (2)，， 【分析】（1）先求中心到直线的距离，即可得边长； （2）根据平行、垂直关系设直线方程，再结合中心到四边距离相等列式求解即可. 【详解】（1）因为正方形的中心到直线的距离， 所以正方形的边长为. （2）设正方形中与已知直线平行的边所在的直线方程为， 则，即， 解得（舍去）或. 故与已知直线平行的边所在的直线方程为； 设正方形中与已知直线垂直的边所在的直线方程为， 则，即， 解得或， 所以正方形另一组对边所在的直线方程分别为和； 综上所述：正方形其他三边所在的直线方程分别为，，. 14．（25-26高二上·北京西城·期中）已知直线过点. (1)若直线与直线平行，求直线的方程； (2)若点到直线的距离为1，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设直线的方程为，将代入，求得，即可求解； （2）根据题意，分直线的斜率不存在和直线的斜率存在两种情况讨论，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解. 【详解】（1）解：由题意，可设直线的方程为， 将代入得：，解得， 所以直线的方程为. （2）解：①当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时点到直线的距离为1，符合题意； ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 因为点到直线的距离为1，可得，解得. 直线的方程为，即， 综上可得，直线的方程为或. 15．（25-26高二上·北京·期中）已知的三个顶点，，. (1)求边上的中线所在的直线方程； (2)求过点且与直线平行的直线的方程； (3)求的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出边上的中点的坐标，即可求出，再由点斜式计算可得； （2）求出，即可求出所求直线方程； （3）首先求出所在直线方程，再求出点到的距离，以及，即可得解. 【详解】（1）因为，， 所以边上的中点，又，所以， 所以边上的中线所在的直线方程为，即； （2）因为， 所以过点且与直线平行的直线的方程为，即； （3）依题意直线的方程为，即， 所以点到的距离， 又， 所以. 16．（25-26高二上·北京大兴·期中）已知中，，，顶点C是直线l：上的动点. (1)求直线AB的方程； (2)求线段AB的垂直平分线所在的直线方程； (3)的面积是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)为定值， 【分析】 （1）根据直线的斜率与点，从而得直线的方程； （2）根据垂直平分线得直线斜率与中点，从而得垂直平分线所在的直线方程； （3）利用两点距离与点到直线的距离求解的面积即可得结论. 【详解】（1）直线AB的斜率为， 方程为，即. （2）AB中点为，垂直平分线斜率为， 方程为，即. （3）AB的长度为， 点C到AB的距离， 所以面积，为定值. 17．（25-26高二上·北京·期中）在三角形中，边所在直线方程分别为和. (1)求点的坐标； (2)若所在直线方程为，求点到直线的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意联立直线方程即可求点的坐标； （2）根据题意结合点到直线的距离公式求点到直线的距离. 【详解】（1）因为边所在直线方程分别为和， 联立方程，解得， 所以点的坐标为. （2）由（1）可知点的坐标为， 且所在直线方程为，即， 所以点到直线的距离. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3.3点到直线的距离公式同步练（北京专用） 教材知识梳理 点到直线的距离 (1)概念：过一点向直线作垂线，则该点与_____之间的距离，就是该点到直线的距离． (2)公式：点到直线的距离_________． 同步练（最新北京同步考题） 一、单选题 1．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）点到直线的距离为（    ） A． B．3 C． D． 2．（24-25高二上·北京·期末）点关于直线的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二·北京·课堂例题）已知直线过定点M，点在直线上，则的最小值是（    ） A．5 B． C． D． 4．（2026·北京顺义·二模）已知直线过点，其倾斜角为，设原点到直线的距离为.当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·北京东城·阶段检测）过点且与直线平行的直线与轴、轴分别交于、两点，则下列结论错误的是（    ） A．直线的方程为 B． C．原点到直线的距离为 D．线段的中点在直线上 6．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知，两点到直线l：的距离相等，则a的值为（    ） A． B． C．或 D．或 7．（25-26高二上·北京·阶段检测）点到直线的最大距离是（    ） A． B．2 C． D．不存在 二、填空题 8．（25-26高一下·北京顺义·阶段检测）在直线上求一点，使它到直线的距离等于原点到l的距离，则此点的坐标为______. 9．（25-26高二上·北京·期中）到直线的距离不超过，则实数的取值范围是__________. 10．（25-26高二上·北京朝阳·期中）点到直线的距离为__________. 11．（25-26高二上·北京·期中）如图，已知网格中每个小正方形的边长都是1，则点C到直线的距离为_____________． 12．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知点，点是直线上的动点，则的最小值为___________. 三、解答题 13．（25-26高二上·北京平谷·期中）已知正方形的中心为点，一条边所在的直线方程是 (1)求正方形的边长； (2)求正方形其他三边所在的直线方程. 14．（25-26高二上·北京西城·期中）已知直线过点. (1)若直线与直线平行，求直线的方程； (2)若点到直线的距离为1，求直线的方程. 15．（25-26高二上·北京·期中）已知的三个顶点，，. (1)求边上的中线所在的直线方程； (2)求过点且与直线平行的直线的方程； (3)求的面积. 16．（25-26高二上·北京大兴·期中）已知中，，，顶点C是直线l：上的动点. (1)求直线AB的方程； (2)求线段AB的垂直平分线所在的直线方程； (3)的面积是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由. 17．（25-26高二上·北京·期中）在三角形中，边所在直线方程分别为和. (1)求点的坐标； (2)若所在直线方程为，求点到直线的距离. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $