2.5.1直线与圆的位置关系同步练- 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 直线与圆的位置关系同步练，采用A/B/C三级分层设计，通过基础巩固-能力提升-素养创新路径，覆盖位置关系判断、弦长计算、切线方程等核心知识点，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|基础概念与基本运算|选择/填空结合，含实际应用题（如公园路径设计），巩固位置关系判断与切线方程| |B级|综合应用与动态分析|多参数动态问题（如圆上多点到直线距离），提升运算与逻辑推理能力| |C级|跨情境建模与逻辑证明|三问递进解答题（面积范围与定值证明），体现模型观念与创新意识|

2.5.1　直线与圆的位置关系 A级　必备知识基础练 1.直线l:x-y=1与圆C:x2+y2-4x=0的位置关系是(　　) A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定 2.圆x2+y2-4x+4y+6=0截直线l:x-y-5=0所得的弦长等于(　　) A. B. C.1 D.5 3.已知圆C:x2+y2=4与直线l:3x-4y+=0相切,则实数m=(　　) A.5 B.10 C.25 D.100 4.过点(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则cos α=(　　) A. B. C.- D. 5.如图是某主题公园的部分景观平面示意图,圆形池塘以O为圆心,以45 m为半径,B为公园入口,道路AB为东西方向,道路AC经过点O且向正北方向延伸,OA=10 m, AB=100 m,现计划从B处起修一条新路与道路AC相连,且新路在池塘的外围,假设路宽忽略不计,则新路的最小长度为(　　) A.100 m B.100 m C.150 m D.150 m 6.(多选题)(2026安徽蚌埠高二期末)已知圆C:(x-1)2+(y+1)2=2,下列说法正确的有(　　) A.圆心C的坐标为(-1,1) B.半径r= C.圆C被直线y=x-1截得的弦长为 D.直线3x+4y-3=0与圆C相切 7.若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点P处的切线方程为　　　　　.  8.从圆(x-1)2+(y-1)2=1外一点P(2,3)向这个圆引切线,则切线的方程为　　　　　　　. B级　关键能力提升练 9.(2026山东潍坊高二期中)已知圆C:x2+y2-4y+1=0,直线l:x-y+1=0,则圆上到直线的距离等于的点的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 10.(多选题)(2026山东泰安模拟预测)已知直线l:kx-y-2k+3=0,圆C:x2-2x+y2-8y+13=0,则下列说法正确的有(　　) A.圆心C的坐标为(1,4) B.直线l与圆C始终有两个交点 C.当k=2时,直线l与圆C相交于M,N两点,则△CMN的面积为 D.点C到直线l的距离最大时,k=1 11.若圆(x-a)2+(y-3)2=20上有四个点到直线2x-y+1=0的距离为,则实数a的取值范围是　　　　　.  C级　学科素养创新练 12.已知圆C过点E(1,4)和点F(3,2),且圆心在直线4x-3y=0上. (1)求圆C的方程; (2)已知直线l1与圆C交于点B,D,求△CBD的面积的取值范围; (3)若直线l2过点A(1,0),且与圆C相交于P,Q两点,线段PQ的中点为M,l2与l3:x+2y+2=0的交点为N,求证:|AM|·|AN|为定值. 答案 1.C　圆C:x2+y2-4x=0,即(x-2)2+y2=4,圆心为(2,0),半径为2.圆心到直线的距离为<2.所以直线与圆相交.故选C. 2.A　(方法1)圆的方程可化为(x-2)2+(y+2)2=2,则圆的半径r=,圆心(2,-2)到直线l的距离d=,所以直线l被圆截得的弦长为2=2×.故选A. (方法2)设直线l与圆相交于点A(x1,y1),B(x2,y2).由得2x2-10x+11=0,则x1+x2=5,x1x2=,所以AB=.故选A. 3.D　易知圆C的圆心为原点O,设点O到直线l的距离为d.因为圆C与直线l相切,所以d==2, 解得m=100.故选D. 4.C　x2+y2-4x-1=0可化为(x-2)2+y2=5, 则圆的圆心C(2,0),半径为r=. 设P(0,-2),两条切线分别为PA,PB, 则|PC|==2,在△PAC中,sin, 所以cos α=1-2sin2=1-2×=-.故选C. 5.A　以A为坐标原点,正东方向为x轴正方向建立平面直角坐标系(图略),设修建的新路所在直线方程为kx-y+100k=0(k>0),则当该直线与圆O相切时,新路长度最小,此时=45,解得k=1(负值舍去),此时求得新路长度为100 m. 6.BC　圆C:(x-1)2+(y+1)2=2的圆心为C(1,-1),半径r=,故A错误,B正确;点C(1,-1)到直线x-y-1=0的距离为,所以圆C被直线y=x-1截得弦长为2×,故C正确;点C(1,-1)到直线3x+4y-3=0的距离为,所以直线3x+4y-3=0与圆C相交,故D错误.故选BC. 7.x+2y-5=0　(方法1)易知圆的方程为x2+y2=5, 又点P(1,2)在圆上, ∴该圆在点P处的切线方程为x+2y-5=0. (方法2)由题意可得OP(O为坐标原点)和切线垂直, 故切线的斜率为-=-, 故切线的方程为y-2=-(x-1),即x+2y-5=0. 8.x=2或3x-4y+6=0　分两种情况考虑:当切线方程斜率不存在时,直线x=2满足题意; 当切线方程斜率存在时,设为k,此时切线方程为y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0, ∵直线与圆相切,∴圆心(1,1)到切线的距离等于圆的半径,即=1,解得k=, 此时切线方程为x-y+3-=0,即3x-4y+6=0. 综上,切线方程为x=2或3x-4y+6=0. 9.D　因为圆心到直线的距离d=,圆C的半径r=,所以圆上有4个点到直线的距离为.故选D. 10.ABD　对于A,易知圆x2-2x+y2-8y+13=0的圆心为C(1,4),半径R=2,故A正确.对于B,由kx-y-2k+3=0,得k(x-2)+(3-y)=0,则直线kx-y-2k+3=0过定点(2,3).因为(2-1)2+(3-4)2 =2<4,所以点(2,3)在圆C内,所以直线kx-y-2k+3=0与圆C始终有两个交点,故B正确.对于C,设圆心C到直线2x-y-1=0的距离为d,则d=,弦长|MN|=2=2×,所以△CMN的面积S=|MN|d=,故C不正确.对于D,由题意得,直线过定点P(2,3),故当直线l与CP垂直时,圆心到直线的距离最大.由于kCP==-1,得k=1,故D正确.故选ABD. 11.(-)　因为圆的方程为(x-a)2+(y-3)2=20,所以圆心为(a,3),半径为2. 又圆(x-a)2+(y-3)2=20上有四个点到直线2x-y+1=0的距离为, 所以圆心到直线2x-y+1=0的距离d<, 所以,即|2a-2|<5,解得-<a<. 故实数a的取值范围为(-). 12.(1)解 设圆心C(a,b),由圆心在直线4x-3y=0上及点E(1,4)和点F(3,2)都在圆C上, 得 即解得即C(3,4),则圆C的半径r=|CE|=2, 所以圆C的方程为(x-3)2+(y-4)2=4. (2)解 设圆心C到直线l1的距离为d, 则+d2=r2,得|BD|2=4(4-d2). 因为直线l1与圆C交于两点, 所以0<d<2. 因为S△CBD=|BD|×d=×d=,且0<d<2, 则d2∈(0,4),因此S△CBD∈(0,2], 所以△CBD的面积的取值范围为(0,2]. (3)证明 当l2的斜率不存在时,l2与圆C相切,不合题意; 如图, 直线l2的斜率必定存在,且不为0,设直线l2方程为y=k(x-1)(k≠0),即kx-y-k=0, 由 解得即N(,-). 因为M为PQ的中点,所以直线CM与l2垂直,则直线CM的方程为y-4=-(x-3). 由解得即M(). 因此|AM|·|AN|==6,所以|AM|·|AN|为定值. 5 学科网（北京）股份有限公司 $