2.3.1两直线的交点坐标同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册（北京专用）

**基本信息** 该同步练以“概念梳理-基础应用-综合拓展”分层路径覆盖两直线交点坐标核心知识，通过北京同步考题强化运算能力与推理意识，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|直线交点概念、方程组解与位置关系|教材知识梳理填空+基础计算题（如求交点坐标），培养抽象能力| |综合应用|参数范围、平行垂直关系、面积问题|中档选择填空（如交点象限范围），发展运算能力与几何直观| |拓展提升|多直线分平面、实际情境应用|解答题（如三角形顶点坐标求解），强化模型意识与推理能力|

2.3.1两直线的交点坐标同步练（北京专用） 教材知识梳理 1．两直线的交点 几何元素及关系 代数表示 点A 直线 点A在直线上 _________________________ 直线与的交点是A 【答案】 2． 方程组的解 一组 无数组 无解 直线的公共点 _____________ _____________ _____________ 直线的位置关系 _____________ _____________ _____________ 【答案】 一个 无数个 零个 相交 重合 平行 【详解】设直线的公共点为点，则点既在直线上，又在直线上，所以点的坐标既满足直线的方程，也满足直线的方程，即点的坐标就是方程组的解，因此方程组一个解对应直线一个公共点，直线相交；方程组无数个解对应直线无数个公共点，直线重合；方程组无解对应直线零个公共点，直线平行. 故答案为：一个；无数个；零个；相交；重合；平行. 同步练（最新北京同步考题） 一、单选题 1．（25-26高二上·北京·期中）直线和直线的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】联立直线方程，解方程组可得解. 【详解】联立得， 所以直线和直线的交点坐标是. 故选：B 2．（25-26高二上·北京·期中）下面三条直线，，不能构成三角形，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先由直线与联立求出交点的坐标，再由题中条件，得到过点，或分别与、平行，进而可求出结果. 【详解】由解得，即直线与的交点为， 因为直线，，不能构成三角形， 所以过点，或分别与、平行， 若过点，则，即； 若，则，即； 若，则，所以. 综上，的可能取值为. 故选：C. 3．（24-25高二下·上海·阶段检测）已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过（    ）. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】首先求直线所过定点，再判断选项. 【详解】， ，得，定点在第一象限，则直线一定经过第一象限 故选：A 4．（25-26高二上·北京·阶段检测）过直线与的交点，且一个方向向量的坐标为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出两条直线的交点坐标，再结合方向向量求出直线方程. 【详解】由，解得，即直线与的交点坐标为， 而该直线的斜率为，所以所求直线的方程为，即. 故选：A 5．（25-26高二上·北京丰台·期中）若直线和直线的交点在第二象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】联立两直线方程求出交点，即可根据第二象限的特征求解. 【详解】, 所以交点为,由于在第二象限，所以， 所以的取值范围为， 故选：D 6．（24-25高二上·北京朝阳·阶段检测）若直线l：与直线的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立两直线方程得到交点坐标，然后根据交点位于第一象限得到，解方程得到，最后根据斜率与倾斜角的关系得到倾斜角的范围. 【详解】联立得，所以，解得， 所以直线的倾斜角的范围为. 故选：B. 7．（2026·北京.二模）已知三条直线，，将平面分为六个部分，则满足条件的的值共有（    ） A．个 B．2个 C．个 D．无数个 【答案】C 【分析】考虑三条直线交于一点或与或平行时，满足条件，求出答案. 【详解】当三条直线交于一点时，可将平面分为六个部分， 联立与，解得， 则将代入中，，解得， 当与平行时，满足要求，此时， 当与平行时，满足要求，此时， 综上，满足条件的的值共有3个. 故选：C 8．（25-26高三·北京·强基计划）满足和的实数对的个数为（    ） A．0 B．2 C．4 D．以上答案都不对 【答案】C 【分析】画出两个方程表示的图形，从而可得实数对的个数. 【详解】如图，表示两条平行直线和，表示正方形， 其中． 因此符合题意的实数对有4个． 故选：C. 9．（25-26高二上·北京顺义·期末）若直线与直线的交点为，则实数a的值为（    ） A．-1 B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】由题意可列方程，解方程即可得出答案. 【详解】直线与直线的交点为， 所以. 故选：A. 10．（25-26高二上·北京·期中）过两直线的交点，且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出两直线交点，再由与直线平行得出斜率，由点斜式写出方程即可求解. 【详解】由解得，则直线的交点， 又直线的斜率为，则所求直线方程为，整理得. 故选：C. 11．（25-26高三上·北京丰台·期末）若关于的方程组无解，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】由题意得方程组无解，等价于直线和直线平行，进而求解. 【详解】可得方程组无解，等价于直线和直线平行，则， 解得. 故选：C. 12．（24-25高二上·北京·期中）已知直线与互相垂直，垂足为，则的值是（   ） A．24 B．0 C．20 D． 【答案】C 【分析】利用垂直可求，根据垂足坐标可求，进而可得答案. 【详解】因为直线与互相垂直， 所以，解得； 垂足在直线上，所以， 垂足在直线上，所以， 所以. 故选：C 二、填空题 13．（25-26高二上·北京·期中）经过直线与直线的交点，且垂直于直线的直线方程为______． 【答案】 【分析】联立直线方程求出交点坐标，利用两直线垂直的条件求出斜率，点斜式写出直线方程. 【详解】联立，解得， 因为所求直线与直线垂直，故所求直线的斜率为， 所以所求直线方程，即 故答案为： 14．（24-25高二上·北京大兴·期中）直线和与两坐标轴正半轴围成的四边形的面积为______． 【答案】 【分析】先分别求解出直线与坐标轴的正半轴交点坐标，然后求解出两直线的交点坐标，结合割补法求解出四边形面积. 【详解】令中，得，所以与轴交于， 令中，得，所以与轴交于， 由可得，所以两直线交于， 所以围成的四边形面积为， 故答案为：. 15．（25-26高三上·北京西城·期中）直线l：，直线l交x轴于点A，交y轴于点B，若的面积为4，则满足条件的直线有______条． 【答案】3 【分析】求出直线在两坐标轴上的截距，由三角形的面积公式可求解直线的斜率，即可得出结果． 【详解】解：当时，显然不成立．当，对直线l：， 时，；时，，∴，， ∵，∴，解得或，∴共三条， 故答案为：3． 三、解答题 16．（24-25高二上·北京·期中）已知直线经过两直线与的交点，且垂直于直线. (1)求直线的方程； (2)求直线与两坐标轴围成的三角形的面积S. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求两直线的交点P，再利用直线垂直的关系计算求的方程即可； （2）根据直线方程及三角形面积公式计算即可. 【详解】（1）联立，则， 由题意可知的斜率为，所以直线的斜率为， 故直线的方程为：； （2）由上可知，， 即直线与坐标轴的交点分别为， 故. 17.（25-26高二上·北京大兴·期中）已知顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． (1)求边所在直线方程； (2)求点和点的坐标． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）先利用上的高所在方程求出斜率，再利用点斜式求出方程； （2）先利用是与中线的交点，联立直线与方程求出点坐标，利用是中点，结合在上的高所在直线方程上，求出点坐标． 【详解】（1）上的高所在直线方程为，斜率为， 而与其高所在直线垂直，，解得， ，根据点斜式得，整理得． （2）是与中线的交点，联立直线与方程得，， . 设点，是的中线，为中点，，， 又在直线上，，整理得， 又 在上的高所在直线方程上，联立，解得， ． 18．（25-26高二上·北京·阶段检测）根据下列条件分别写出直线的方程. (1)经过直线与直线的交点，且与直线平行的直线方程； (2)已知点，，求线段的垂直平分线的方程； (3)经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）联立两直线方程可求出交点坐标，再利用平行性质设出所求方程并将交点坐标代入计算即可得； （2）求出直线斜率后，由垂直性质可得所求方程斜率，再求出中点坐标后即可得； （3）分该直线过原点及该直线不过原点进行讨论即可得. 【详解】（1）联立，解得，即， 设该直线方程为，则有，即， 故该直线方程为； （2），则线段的垂直平分线的斜率， 又中点为，则该直线方程为， 即； （3）当该直线过原点时，设为，则有，解得， 则该直线为，即； 当该直线不过原点时，设为， 则有，解得，即该直线为； 综上，该直线方程为或. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $2.3.1两直线的交点坐标同步练（北京专用） 教材知识梳理 1.两直线的交点 几何元素及关系 代数表示 点A A(a,b) 直线1，l2 11:A1X+B1y+C1=012:A2X+B2y+C2=0 点A在直线l1上 Aa+Bb+C=0 直线l1与l2的交点是A A,a+B,b+C,=0 2. 方程组 A1X+B1y+C1=0的解 A2x+B2y+C,=0 一组 无数组 无解 直线l1,l2的公共点 直线l1,12的位置关系 同步练（最新北京同步考题） 一、单选题 1.(25-26高二上·北京·期中)直线2x+3y+8=0和直线x-y-1=0的交点坐标是 () A.-2,-1 B.-1,-2 C.1,2 D.2,1 2.(25-26高二上北京期中)下面三条直线l1:3x+y=4,12:X-y=0, 试卷第1页，共3页 1,:2x-3y=4不能构成三角形，则m的取值范围是（) m' B c.22_ 号 D 33,- 号 3.(24-25高二下·上海·阶段检测)已知直线l的方程是3a-1x-a-2y-1=0,则对 任意的实数a,直线！一定经过(). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.(25-26高二上·北京阶段检测)过直线x+y+1=0与2x-y-4=0的交点，且一个方 向向量的坐标为1，-3的直线方程为() A.3x+y-1=0 B.x+3y-5=0 C.3x+y-3=0 D.x+3y+5=0 5.(25-26高二上·北京丰台·期中)若直线2x-y+m=0和直线3x-y+3=0的交点在第 二象限，则m的取值范围为() A.（-0,3 B.(2,+∞) C.(-0,2)U(3,+o) D.(2,3 6.(24-25高二上·北京朝阳阶段检测)若直线1：y=kx-3与直线2x+3y-6=0的交 点位于第一象限，则直线1的倾斜角的取值范围是() A 63 62 C. 32 32 7.（2026北京.二模)已知三条直线l1:X-2y+2=0,12:x-2=0,13:x+y=0将平面 分为六个部分，则满足条件的k的值共有() A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个 8.(25-26高三·北京·强基计划)满足x-2y川=2和x+|y=4的实数对x,y)的个数为 () A.0 B.2 C.4 D.以上答案都不对 9.(25-26高二上北京顺义：期末)若直线x-ay=0与直线2x+y-1=0的交点为1，y, 试卷第2页，共3页 则实数a的值为() A.-1 B.、1 2 C.1 D.2 10.(25-26高二上北京期中)过两直线x+y-3=0,2x-y=0的交点，且与直线y=3× 1 平行的直线方程为() A.X+3y+5=0 B.x+3y-5=0 C.x-3y+5=0 D.x-3y-5=0 11.(25-26高三上北京丰台期末)若关于x,y的方程组 4x+2y+1=0a∈R无解， 2x+ay+1=0 则a=() B.2 V2 A.2 C.1 D.2 12.(24-25高二上·北京，期中)已知直线mx+4y-2=0与2x-5y+n=0互相垂直，垂 足为P1,p,则m-n+p的值是() A.24 B.0 C.20 D.-4 二、填空题 13.(25-26高二上·北京期中)经过直线3x+4y-2=0与直线x-y+4=0的交点，且垂 直于直线x-2y-1=0的直线方程为一· 14.(24-25高二上·北京大兴，期中)直线x-2y+2=0和2x+y-6=0与两坐标轴正半轴 围成的四边形的面积为· 15.(25-26高三上北京西城期中)直线1：kx-y+1+2k=0,直线1交x轴于点A,交 y轴于点B,若△AOB的面积为4，则满足条件的直线有条. 三、解答题 16.(24-25高二上·北京·期中)已知直线l经过两直线3x+4y-7=0与2x+y+2=0的交 点P,且垂直于直线3x-2y-1=0 (1)求直线的方程： (2)求直线！与两坐标轴围成的三角形的面积S 17.(25-26高二上·北京大兴·期中)已知△ABC顶点A0,2,边AC上中线BD所在直线方 程为X-3y+2=0,边AB上的高所在直线方程为x+y-2=0, 试卷第3页，共3页 (1)求边AB所在直线方程： (2)求点B和点C的坐标. 18.(25-26高二上·北京·阶段检测)根据下列条件分别写出直线的方程 (1)经过直线l1:2x-y+4=0与直线l2:x-y+5=0的交点M,且与直线x-2y-1=0平行 的直线方程； (2)已知点A-2,-1,B4,3,求线段AB的垂直平分线的方程： (3)经过点P-2,3,并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程. 试卷第4页，共3页