重庆市第一中学校2025-2026学年七年级上学期开学暨培优班选拔考试数学试题

绝密★2025年9月7日17：00前 【考试时间：2025年9月7日14：30一17：00】 2025年初2028届初一上期开学定时作业 数学试题卷 (全卷共三个大题，满分150分，考试时间150分钟) 注意事项： 1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3.作图（包括做辅助线）请一律用黑色2B铅笔； 4.考试结束，由监考人员将试题和答题卡一并收回 一、填空题豇：（本大题8个小题，每小题5分，共40分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对 应的横线上 1.|-2025+(-1)20281的倒数是 2.一个不透明立方体的6个面上分别写有数字1,2,3,4,5,6，任意两对面上所写的两个数 字之和为7，将这样的几个立方体按照相接触两个面上的数字之和为8，摆放成一个几何体， 这个几何体从三个不同方向看到的形状如图所示，图中所标注的是部分面上所见的数字，则 ★所代表的数是 6 2 从正面看 从左面看 从上面看 2题图 4题图 3.从2至8的7个整数中随机取3个不同的数，则这两个数互质的概率是 4.如图，点D为线段AB上一点，BD=3AD=7.5,点C为线段AB的中点.若点M为直线上 点，且BME3.5,则MC的长为 5.重庆一中初一4名同学小渝、小重、小一、中中分入1、2、3、4班，各班一人。已知：①1 班学生两句话全为真话；②4班学生两句话全为假话；③2班、3班学生均为一句真话、一句 假话。小渝：我在3班，中中在2班。小重：中中在4班，我在1班。小一：小重在1班， 我在3班。中中：我在2班，小一是1班的。则小一所在的班级是 6.已知正整数数列，规定首项a1=2,对任意正整数n,满足4+1-4=2什4，记S=41+a2+a3十..+ a,若Sm=840,则正整数的值为 7.为刺激顾客到实体店消费，某商场决定在星期六开展促销活动.活动方案如下：在商场收银 台旁放置一个不透明的箱子，箱子里有红、黄、绿三种颜色的球各一个（除颜色外大小、形 状、质地等完全相同)，顾客购买的商品达到一定金额可获得一次摸球机会，摸中红、黄、绿 三种颜色的球可分别返还现金40元、30元、10元.商场分三个时段统计摸球次数和返现金 额，汇总统计结果为：第二时段摸到红球次数为第一时段的3倍，摸到黄球次数为第一时段 的2倍，摸到绿球次数为第一时段的4倍；第三时段摸到红球次数与第一时段相同，摸到黄 球次数为第一时段的4倍，摸到绿球次数为第一时段的2倍，三个时段返现总金额为1640元， 第三时段返现金额比第一时段多280元，则第二时段返现金额为 元 8. 一个a×b×c的长方体是由一些单位正立方体所拼成的，其中心bc≤20.若从其中一个顶点看过 去，可看到三个相交于这个顶点的完整的面，且恰可以看见369个单位正立方体。则总共有 个单位正立方体没有被看见 二、填空题Ⅱ：（本大题5个小题，每小题6分，共30分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对 应的横线上 9.“闯黄灯'已成为引发路口交通事故的主因之一、如图所示的十字路口，该路段交通信号灯红 灯亮之前，会有3s亮黄灯的时间.某时刻，当行人以1.2s的速度刚匀速走完18长的人行 横道时，东西方向的交通信号灯变为绿灯，甲车向西运动且车头恰好到达停止线A处；此时 南北方向的交通信号灯变为红灯，乙车向北运动且车尾恰好到达停止线B处若两车始终紧靠 道路中心线保持匀速行驶，且v=9小，两部轿车的尺寸均为：长度L=4.8,宽度d2.2m.停 止线到前方道路中心线的距离均为13.8.黄灯刚亮时，乙车车头到停止线B的距离为 ;甲车车速 (填范围)，甲乙两车不相撞 中 B 山一消将中心线 三工甲 A O 9题图 11题图 10.某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A,B,C,D四家经销商销售，当一家经销商 将分配到的台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应 关系如表： n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 A 36 54 B 28 51 69 82 90 93 18 36 54 63 72 81 D 12 32 52 72 92 112 如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5 台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商 分配2台设备（填“A”B“C 或D”);如果企业将7台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么7台设备都售 出后，企业可获得的总利润的最大值为 万元 11.如图，已知O为直线AC上一点，以O为端点作射线OB,∠AOB=120°，将射线OA绕点O 逆时针旋转，旋转速度为5°/s,旋转后OA对应射线为OA,旋转时间为t秒，当OA与OC重 合时运动停止，射线OD为∠AOB的角平分线，射线OE为∠COA的四等分线，即 ∠C0E=4∠C0A,当|∠C0E-∠B0D=40°时，1的值为 或 12.在式子x-y+m-n(其中x>y>0>m>n)中，任选两个字母，在两侧加绝对值后再去掉绝 对值并化简（不改变字母的位置），称为第一轮“绝对操作？.例如，选择，进行第一轮“绝 对操作”，得到x-y+m-n=x-y+m-n,再对第一轮“绝对操作”后得到的式子进行同样的 操作，称为第二轮“绝对操作”，例如，选择y,n进行第二轮“绝对操作”，得到 x-y+m-n=x-y-m+n,...,按此方法，进行k(k≥)轮绝对操作”.对原式子进行第一 轮“绝对操作”后，则有 种不同的结果；若对原式子进行四轮“绝对操作”，且每轮操 作中绝对值里只含两个字母，则有 种不同的结果 13. 一个四位自然数n=aba,各个数位上的数字均不为零，它的十位数字等于个位数字与千位数 字之差，则称这个四位数n为“明礼崇德数”.将明礼崇德数”的千位数字去掉得到一个三位 数cd,再将这个三位数与原“明礼崇德数”n的千位数字的2倍求和，记作F(n).若 s=1010x+200+p,t=1000x+200y+10z+9(1≤y≤4,1≤x,z,P,9≤9，且x,y, z,p,q均为整数)都是“明礼崇德数”，其中F(s)能被11整除，则x= 在此 条件下，F(s)+F(t)能被7整除，则满足条件的1值的平均数为 三、解答题：（本大题5个小题，第14题、第15题各14分，第16题16分，第17题、第18题 各18分，共80分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包 括辅助线)，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上， 14.春风和煦，鸟语花香，小李和小王从学校出发前往与学校相距3000米的开心农场.小李骑 自行车匀速向农场驶去，小李出发7分钟后，小王沿着相同的路线匀速步行至农场.当小李 到达农场休息了2分钟后，发现相机掉落在学校，就从原路以另一速度匀速返回学校拿相 机，返回学校所用的时间是去农场所用时间的子，李到相机后（拿相机的时间忽路不计）立 马以变速后的速度再次匀速向农场驶去，结果和小王同时到达农场.若两人与学校的距离y (单位：米)与小李出发的时间x(单位：分钟)的关系如图所示.请根据图中信息解决下 列问题： (1)求小李和小王第一次相遇时，两人与农场的距离： (2)小李出发多少分钟时，两人的距离为1200米？ y(米) 3000--- ○ 37x(分钟) 15.11月商场推出饼干和糖果两种礼盒套装，1盒糖果的售价比1盒饼干的售价贵50元，购买2 盒饼干的费用，比购买1盒糖果的费用多320元. (1)12月，商场从厂家进购了500盒饼干和600盒糖果，每盒饼干的进价比每盒糖果的进价 便宜50元，但商场保管不当导致】的糖果变质无法销售，12月每盒饼干售价比11月上 10 速40元，每盒糖果售价在1月基健上降低了分·将这一批拼干不和糖果售完后，总利润 率为68.4%，求每盒糖果的进价为多少元？ (2)1月厂家在12月商场进价的基础上进行优惠促销活动.规定商场一次性进购饼干、糖果 的优惠方案分别如表1、表2.同时工厂为提高销售人员的积极性，规定：每位销售人员 的工资总额=基本工资+奖励工资.当该销售人员本月成交总销售额在20万元以内，只 有基本工资3000元：当该销售人员本月成交总销售额超过20万元时，超过部分的销售 额按相应比例作为奖励工资，奖励工资发放比例如表3所示.1月商场通过工厂销售员 甲分两次购进饼干和糖果，第一次全部购进饼干，第二次全部购进糖果，两次共购进2000 盒（购进饼干的数量大于购进糖果的数量）.已知工厂销售员甲1月只与该商场完成这两 次交易并且领到的工资总额为12580元.若1月商场两种礼盒售价保持与12月相同，商 场将这两种礼盒全部售出，求商场可获利多少元？（销售员甲的销售总额=商场从厂家 的进货总成本) 一次性进购饼干的数量（盒） 优惠方案 未超过500 不享受优惠方案 超过500但未超过1000的部分 按九折优惠 超过1000的部分 按八折优惠 表1 一次性进购糖果的数量（盒） 优惠方案 未超过500 所购礼盒全部按九折优惠 超过500 所购礼盒全部按八折优惠 表2 月成交 不超过20万 超过20万元但不超 超过25万元但不超 30万元以 销售额 元的部分 过25万元的部分 过30万元的部分 上的部分 奖励工 0% 2% 5% 8% 资比例 表3 16.已知关于x的多项式(a+16)x-2x2-+9是二次多项式.如图1.在数轴上有A、B、C三个 点，且A、B、C三点所表示的数分别是a,b,-21.有两条动线段PQ和MN(点Q与点A 重合，点N与点B重合，且点P在点Q的左边，点M在点N的左边).PQ=4,MW=8, 线段MN从点B开始沿数轴向左运动，同时线段PQ从点A开始沿数轴向右运动，当点Q运 动到点B时，线段PQ立即以相同的速度返回，当点P运动到点C时，线段PQ、MN同时停 止运动，设运动时间为t秒（整个运动过程中，线段PQ和MN保持长度不变). (1)直接依次写出α，b的值：a= ,b= (2)如图2，若线段MN以每秒1个单位的速度从点B开始沿数轴向左匀速运动，同时线段 PQ以每秒3个单位的速度从点A开始沿数轴向右匀速运动，当C、Q、M中任意一点 为其他两点构成线段的中点时，求时间t: (3)如图3，若线段MN以每秒1个单位的速度从点B开始沿数轴向左运动，同时线段PQ 以每秒3个单位的速度从点A开始沿数轴向右运动，当两条线段有重合部分时，线段 PQ的速度变为原来的4倍，线段MN的速度变为原来的2倍，当重合部分消失后速度 恢复，请直接写出当线段PQ和MN重合部分长度为1时所对应的t的值. 0 B 图1 M N CA 0 B 图2 PO M N CA 0 B 图3 17.请仔细阅读下面的材料，并完成相应任务 分式与糖水浓度 在生活中，有这样司空见惯的现象： 现象1：一杯糖水，向其中加入一点水，糖水变淡：向其中加入一点糖，糖水变甜。 用数学知识解释：设原来的糖水总质量是a克，其中含有b克糖(a>b>0),则糖水的浓 魔为 ①如果加入克水，糖水的浓度变为，因为糖水变淡，可以得到不等式； ②如果加入n克糖，糖水的浓度变为 ，因为糖水变甜，可以得到不等式 现象2：两杯浓度相同的糖水混合，糖水甜度不变. 在两个杯子中分别盛有4克，a2克糖水，分别含糖b克，b2克.它们浓度相同，则 么=血=k,将两杯糖水混合后，浓度可以表示为 （用含有41,42，b,b2的式子表 41a2 示)请你用数学知识说明混合后糖水的浓度与原小杯糖水的浓度相同. (①)任务1：直接写出现象1中“”处的内容； (2)任务2：证明现象1中②的不等式： (3)任务3：直接写出现象2中“”处的内容，并用数学知识说明“混合后糖水的浓度与 原小杯糖水的浓度相同”的道理； ④任务4：证明：若a,b,c是AABC三边的长，则1<a十b十C<2. b+c a+c a+b 18.先自学下列材料，再解题.在不等式的研究中，有以下两个重要基本不等式： 若a20.b20,则20 若a≥0，b≥0，c≥0，则a+b+c≥ahc② 3 不等式①、②反映了两个（或三个）非负数的算术平均数不小于它们的几何平均 数.这两个基本不等式在不等式证明中有着广泛的应用.现举例如下： 若ah>0,试证明不等式：(a+b+2b≥a+b}r. 3 证明：，ab>0 :(a+b}°+2ab_(a+bj}+ab+ab (a+b)2.ab-ab 3 3 即(a+b)+2ab a+b)2a2b. 现请你利用上述不等式①、②证明下列不等式： (1)当ab≥0时，试证明：a+b2+10ab (a+b)}2a2b2 12 (2)当a、b为任意实数时，试证明：a+b+ab (a+b)}2a2b2 3 4