第5章 一次函数 单元检测 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学一次函数单元检测卷，通过“更香”计时（文化传承）、流量套餐（生活实际）、新能源充电（科技前沿）等情境，覆盖函数定义、图像性质、实际应用等核心知识，适配单元复习，培养抽象能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题20分|函数定义、一次函数概念、图像性质|图像辨析函数定义（第1题），平行直线解析式求解（第4题）| |填空题|8题16分|分段函数、点到坐标轴距离、调和点|流量套餐分段计费（第12题），新定义“调和点”综合几何与函数（第17题）| |解答题|7题64分|待定系数法、实际应用、动点与面积|水位上涨函数建模（第21题），新能源充电速度比较（第24题），等腰直角三角形动点综合（第25题）|

第5章一次函数单元检测卷 一、选择题（共20分） 1．下列各图象中，不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，当函数值时，自变量的值为（　　） A．1 B． C．5 D． 3．已知函数为一次函数，则m的取值范围为（     ） A． B． C． D． 4．已知一次函数的图像与直线平行，且过点，那么此一次函数的解析式为（     ） A． B． C． D． 5．若点和点在直线上，则a与b的大小关系是（     ） A． B． C． D．与m的值有关 6．已知函数的图象如图，则的图象可能是（     ） A． B． C． D． 7．“更香”是古代中国特有的计时装置，香线采用特殊工艺制成．小颖买了一款香，通过记录燃烧时间与剩余香的长度得到二者之间的关系式是，则下列说法不正确的是（   ） A．这款香燃烧2小时后，剩余香的长度是 B．在燃烧过程中，剩余香的长度随着燃烧时间均匀减少 C．这款香的初始长度是 D．这款香燃烧1小时，香长度减少 8．一种电子游戏，电子屏幕上的平面直角坐标系内有两个点，已知点的坐标为，点的坐标为，点在一次函数的图像上运动，当出现点与线段构造成为直角三角形时，就会发出警报，则点在一次函数的图像上运动一次会发出警报的次数为（　　） A． B． C． D． 9．已知一次函数与一次函数的交点坐标为，则关于，的二元一次方程组的解为（    ） A． B． C． D． 10．如图，直线轴于点，直线轴于点，直线轴于点，…直线轴于点．函数的图象与直线，，…分别交于点，，，…；函数的图象与直线，，…分别交于点，，…，如果的面积记作，四边形的面积记作，四边形的面积记作…四边形的面积记作，那么的值为（   ） A．4050 B．4051 C．4052 D．4053 二、填空题（共16分） 11．在关系式中，当时，_____． 12．移动公司推出的“动感青春”套餐中流量计费规则如下（每月使用流量为） 不收费 超出的部分按元计费 超出的部分按元计费 则李明月使用流量费用y元与x的函数关系为_________． 13．如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别相交于点，，点在该函数图象上．若点到轴，轴的距离之和为，则点的坐标是______． 14．如图，直线l是一次函数的图象，若点在直线l上，则m的值是______． 15．在平面直角坐标系中，一次函数的图像如图所示，且函数图像经过点，若，则_____，（填“”“”或“”）． 16．某科学小组用两个相同规格的加热器分别对质量相同的甲、乙两种液体加热．实验时，液体温度与加热时间的数据记录如下表（仅记录了前4分钟的数据）： 加热时间 0 1 2 3 4 甲液体温度： 12 20 28 36 44 乙液体温度： 20 26 32 38 44 已知在实验时间内，两种液体均未沸腾，加热器每分钟提供给液体的热量相同，且热量全部被液体吸收，不考虑散热．设与t、与t的关系可近似看作一次函数，________液体的温度先达到88度（填“甲”或“乙”或“甲乙两种”）． 17．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点是平面内任意一点．过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为点和点，若四边形的周长为，则点叫做“调和点”．例如：如图中的是一个“调和点”．若一次函数的图象上存在“调和点”，求的取值范围为____________ 18．如图，已知函数和的图象交于点P，则根据图象可得，关于x，y的二元一次方程组的解是________． 三、解答题（共64分） 19．若是关于的正比例函数，求的值． 20．已知，当时，；当时，． (1)求、的值； (2)当取何值时，的值不大于． 21．一个水库的水位在某段时间内持续上涨，表格中记录了连续内6个时间点的水位高度，其中x表示时间，y表示水位高度． x 0 1 2 3 4 5 y 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5 (1)水位高度y是否为时间x的函数？若是，请求出这个函数解析式； (2)据估计，这种上涨规律还会持续，并且当水位高度达到时，水库报警系统会自动发出警报．请预测再过多久系统会发出警报？ 22．某工厂生产某种产品，每件产品的生产成本为25元，出厂价为50元．在生产过程中，平均每生产一件这种产品有的污水排出．为净化环境，该厂购买了一套污水处理设备，每处理污水所需原材料费为2元，另外每月排污设备耗费4000元．（利润＝总收入－总支出） (1)求该厂每月的利润（元）关于产品件数（件）的函数关系式； (2)若想要每月盈利32000元，则该厂每月需生产并销售这种产品多少件？ 23．如图，已知直线与直线相交于点，交轴于点，交轴于点． (1)求直线的表达式； (2)求的面积； (3)点是直线上的一个动点，且，求点的坐标． 24．为了解某新能源汽车的充电速度，数学兴趣小组的同学经调查研究发现：如图，用快速充电器时，汽车电池电量（单位：%）与充电时间（单位：）的函数图象是折线；用普通充电器时，汽车电池电量（单位：）与充电时间（单位：）的函数图象是线段．根据以上信息，回答下列问题： (1)普通充电器对该汽车每小时的充电量为__________%； (2)当时，求与的函数关系式； (3)若将该汽车电池电量从充至，快速充电器比普通充电器少用__________小时． 25．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴交于、B两点，与直线交于点． (1)求点C的坐标； (2)点M、N是直线上两个动点（M在N左侧），连接、，若的面积为，求线段的长度； (3)在（2）的条件下， P是直线上一动点，连接、，若是以为直角边的等腰直角三角形，求点P的坐标． 参考答案 1．B 【分析】根据函数的定义：对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应即可． 【详解】解：、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数，不符合题意； 、对每一个的值，并不是有唯一确定的值与之对应，故不是的函数，符合题意； 、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数，不符合题意； 、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数，不符合题意． 2．C 【分析】只需将代入解析式，解一元一次方程即可得到自变量的值． 【详解】解：∵ 函数解析式为 ，且 ， ∴ 将 代入解析式， 得， 移项计算得 ， 即自变量的值为5． 3．B 【详解】解：根据形如，其中为常数，的函数是一次函数；可知：． 4．C 【分析】根据两平行的一次函数图像的一次项系数相等，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设此一次函数的解析式为． ∵ 所求一次函数的图像与直线平行． ∴ ． 又∵ 函数图像过点． ∴ 将，，代入解析式得，解得：． ∴ 此一次函数的解析式为． 故选C． 5．A 【分析】根据一次函数一次项系数的符号判断函数增减性，再结合两点横坐标的大小即可比较纵坐标和的大小． 【详解】∵一次项系数， ∴随的增大而减小， ∵点，点，满足， ∴． 6．C 【分析】由一次函数的图象和性质判断即可． 【详解】由函数的图象，可得，， 对于一次函数， 一次项系数， 图象经过第一、三象限 ， 常数项， 图象与轴交于负半轴 一次函数的图象经过一、三、四象限， 只有选项C图象符合题意． 7．D 【分析】本题为一次函数的实际应用问题，根据给出的y与x的函数解析式，结合x（燃烧时间）、y（剩余长度）的实际意义，计算判断各选项正误即可． 【详解】解：对选项A，∵当时，，∴燃烧2小时后剩余长度为，A说法正确； 对选项B，∵是一次函数，x的系数为固定常数，∴y随x均匀变化，即剩余香长度随燃烧时间均匀减少，B说法正确； 对选项C，∵初始燃烧时，代入得，∴香的初始长度为，C说法正确； 对选项D，∵燃烧1小时后，，剩余长度，初始长度为，∴长度减少了，D说法不正确，符合题意． 8．D 【分析】本题考查了一次函数的性质，直角三角形的定义，根据题意画出图形，然后分当时，当时，如图，当或时，三种情况即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵点的坐标为，点的坐标为，点在直线上， ∴当时，，即时，， ∴； 当时，，即时，， ∴； 如图，当或时， ∴有两个点， 综上，有个点使为直角三角形，发出次警报， 故选：． 9．C 【分析】根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断即可． 【详解】解：∵一次函数与一次函数的交点坐标为， ∴关于，的二元一次方程组的解为． 10．B 【分析】本题考查的是一次函数的综合，读懂题意，根据直线解析式求出，的值是解题的关键，同时也要注意下标对应的关系． 根据直线解析式求出，的值，再根据直线与直线互相平行并判断出四边形是梯形，然后根据梯形的面积公式求出的表达式，然后把代入表达式进行计算即可得出解． 【详解】解：根据题意得：，， ∴， ， ∵直线轴于点，直线轴于点， ∴，且与间的距离为1， ∴四边形是梯形， ， 当时，． 故选：B． 11． 【分析】将代入计算即可． 【详解】解：当时，． 12． 【分析】本题主要考查函数，根据计费规则即可求得答案． 【详解】根据题意得：当时， 即 13．， 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式、一元一次方程的解法．首先用待定系数法求出一次函数的解析式，设点的坐标为，根据点到轴，轴的距离之和为，可列方程，再根据的取值范围分情况求出，即可得到点的坐标． 【详解】解：一次函数的图象经过点，， 可得：， 解得：， 一次函数的解析式是， 设点的坐标为， 点到轴，轴的距离之和为， ， 当时， 可得：， 解得：， ， 点的坐标是； 当时， 可得：， 解得：， ， 点的坐标是； 当时， 可得：， 解得：(不符合题意，舍去)； 综上所述，点的坐标是或． 14． 0 【分析】直接根据图象即可得出结果. 【详解】解：由图象可知，直线l过点， 又点在直线l上， ∴. 15． 【分析】根据一次函数的图象得出随的增大而减小，再根据，即可得出答案． 【详解】解：由图像可知，该一次函数图像从左往右呈下降趋势， ∴随的增大而减小， ∵， ∴． 16．甲 【分析】根据表格数据，利用待定系数法分别求出甲、乙温度与加热时间的一次函数解析式，分别令温度为88度，求出对应加热时间，比较时间大小即可判断． 【详解】解：设甲液体温度与加热时间的函数解析式为， 将，代入解析式得： ，解得， ． 设乙液体温度与加热时间的函数解析式为， 将，代入解析式得： ，解得， ． 令，得，解得． 令，得，解得． ， 甲液体的温度先达到88度． 17．或 【分析】先根据调和点的定义和矩形周长公式推导出调和点的坐标满足且、，通过分类讨论，得到调和点在正方形的边(正方形的顶点除外)上，；再对一次函数解析式变形，确定其恒过的定点；接着分别求出直线经过正方形的关键顶点和时的临界值，结合一次函数倾斜度的变化规律分类讨论，判断不同斜率区间内直线与轨迹是否有符合条件的交点，排除无交点的区间和不符合的临界值，最终确定的取值范围． 【详解】解：∵过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为点和点， ∴四边形为矩形， ∵四边形的周长为，，， ∴，即，且，， 在第一象限内，，原方程可化为，在平面直角坐标系中表现为不含端点的线段； 同理，平面直角坐标系中满足的点在正方形上且不与点、、、重合， 问题转化为直线与正方形的边相交(正方形的顶点除外)， 将一次函数变形为， ∴当时，，即一次函数的图象必经过定点． ①当直线经过点时，将，代入解析式得： ，解得， 此时直线解析式为，线段在该直线上，故符合条件． 当时，直线与线段有交点，故符合条件． 综上，时满足条件． ②当直线经过点时，将，代入解析式得： ，解得， 此时直线解析式为， 当时，直线与线段有交点，故符合条件． 当时，直线与正方形的边相交(正方形的顶点除外)无交点，不满足要求． 综上所述，的取值范围为或． 18． 【分析】本题考查了一次函数图象的交点与二元一次方程组的解之间的关系； 根据两直线的交点坐标是对应方程组的解可得答案． 【详解】解：∵函数和的图象交于点， ∴关于x，y的二元一次方程组的解是． 19． 【分析】由正比例函数定义得到，分别解绝对值方程、解一元一次方程、解一元一次不等式得到，代入代数式计算即可得到答案． 【详解】解：是关于的正比例函数， ， 解得或； 解得； 解得 ， ． 【点睛】本题考查代数式求值，涉及正比例函数的定义、解绝对值方程、解一元一次方程、解一元一次不等式等知识，熟记正比例函数定义得到相应方程及不等式求解是解决问题的关键． 20．(1)， (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数与一元一次不等式的综合应用，解题的关键是根据已知条件列出关于k、b的二元一次方程组求解解析式，并将函数值的限制条件转化为一元一次不等式求解． （1）将两组x、y的对应值时时代入，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可求出k、b的值； （2）先由（1）得出完整的一次函数解析式，再根据“y的值不大于”列出一元一次不等式，解不等式得到x的取值范围． 【详解】（1）∵当时，；当时，， 将其代入得：， 解得，． （2）由（1）得一次函数解析式为． 根据“y的值不大于”，列不等式： ∴． 21．(1)是， (2) 【分析】（1）根据函数的概念及待定系数法可进行求解； （2）由题意易得水位还需上涨系统会发出警报，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由表格可知：水位高度y是时间x的函数， 当x的值每增加1，y的值增加3， ∴这个函数解析式； （2）解：由题意得：， ∴； 答：再过系统会发出警报． 22．(1) (2)该厂每月需生产并销售这种产品1500件 【分析】（1）由题意，得求解即可． （2）由题意，得，求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得． 即该厂每月的利润（元）与产品件数（件）的函数关系式为． （2）解：由题意，得． 解得． 答：该厂每月需生产并销售这种产品1500件． 23．(1) (2)3 (3)或 【分析】（1）把点代入直线，可求出点的坐标，再利用待定系数法求出k，b即可； （2）求出点C的坐标，再利用三角形的面积公式解答即可； （3）根据题意可得，设，再利用三角形的面积公式解答即可． 【详解】（1）解：把点代入直线，得， ， 点的坐标为， ∵，都在上， ， 解得， 直线的表达式为． （2）解：直线的表达式为， 当时，， 点的坐标为． ． ， 即的面积为3． （3）解：， ， ， 设， 则， 解得：或 点的坐标为或． 24．(1) (2) (3) 【分析】（1）用减初始电量，再除以充电时间，即可得到答案； （2）当时，由题意可知，，利用待定系数法分别求解即可； （3）利用（1）和（2）所得结果，分别求出快速充电器与普通充电器所需的时间，作差即可得到答案． 【详解】（1）解：普通充电器对该汽车每小时的充电量为， （2）解：当时，设段的函数解析式为， 将，，代入解析式得： ，解得：， ， （3）解：由（2）可知，快速充电器充电至，则， 解得：， 即该汽车电池电量从充至，快速充电器所用时间为， 由（1）可知，普通充电器对该汽车每小时的充电量为， 即该汽车电池电量从充至，普通充电器所用时间为， 快速充电器比普通充电器少用时间为， 25．(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数综合、等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）联立直线与即可求解； （2）设，，根据求出，结合勾股定理求解； （3）当时，，过点作轴，分别过点、作的垂线于、，证明≌，得到，代入即可求解；当时，过点作轴，分别过点、作的垂线于、，证明≌，得到，代入即可求解． 【详解】（1）解：∵直线过， ∴，∴，   联立直线与有， 解得， ∴； （2）解：设直线与轴交点为，则，， 设，， ∴， 即， 解得， ∴ ； （3）解：①当时，， 如图，过点作轴，分别过点、作的垂线于、， 由（2）可得， ∴， 由题意知，，， ∴， 在和中， 则≌； ∴，， ∴，即， 代入得：，   解得， ∴；   ②当时，如图，过点作轴，分别过点、作的垂线于、， 由题意知，，， ∴， 在和中， 则≌； 同理可得，， ∴，即， 代入得：，   解得， 同理可得； 综上所述，或． 学科网（北京）股份有限公司 $