2.2.2 直线的两点式方程 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 围绕“直线的两点式方程”，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，覆盖从方程直接应用到综合问题解决的知识路径，适配新授课分层教学需求，培养运算能力与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|两点式、截距式方程直接应用|选择题1-4直接考查方程形式，填空题12计算面积，强化概念理解| |进阶层|方程转换、分类讨论、概念辨析|选择题5-8涉及截距绝对值相等、对称问题，多选题9辨析方程适用条件，培养推理能力| |综合层|中点坐标、面积最值综合应用|解答题15-16结合三角形中点、面积优化，体现模型观念与应用意识|

2.2.2 直线的两点式方程 高一升高二暑假预习 人教A版选择性必修第一册——解析版 一、选择题（共8小题） 1.过点(1，2)，(5，3)的直线方程是(　　) A.= B.= C.= D.= 【答案】B 【解析】∵所求直线过点(1，2)，(5，3)， ∴所求直线方程是=. 2.已知直线l的两点式方程为=，则(　　) A.直线l经过点(5，2) B.直线l的斜截式方程为x=y- C.直线l的倾斜角为锐角 D.直线l的点斜式方程为y-2=(x-5) 【答案】C 【解析】由题意，直线l经过点(8，9)，(2，5)，且不经过点(5，2)，故A，D错误； 将两点式方程化为斜截式方程为y=x+，故B错误； 直线l的斜率为>0，所以直线l的倾斜角为锐角，故C正确. 3.若直线+=1过第一、二、三象限，则(　　) A.a>0，b>0 B.a>0，b<0 C.a<0，b>0 D.a<0，b<0 【答案】C 【解析】因为直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且经过第一、二、三象限，故a<0，b>0. 4.在x轴、y轴上的截距分别是-3,4的直线方程是(　　) A.+=1 B.+=1 C.-=1 D.+=1 【答案】A 【解析】由题知a=-3,b=4代入+=1即可. 5.过点A(3,-1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有(　　) A.2条 B.3条 C.4条 D.无数多条 【答案】B 【解析】当截距都为零时满足题意要求,直线方程为y=-x, 当截距不为零时,设直线方程为+=1, ∴ ∴或 即直线方程为+=1或+=1, ∴满足条件的直线共有3条.故选B. 6.已知点P(x，2)在过M(-2，1)和N(3，-4)两点的直线上，则x等于(　　) A.-3 B.-2 C.2 D.3 【答案】A 【解析】过M，N两点的直线的方程为 =，又P(x，2)在此直线上，所以当y=2时，x=-3. 方法二　由已知得，P(x，2)，M(-2，1)，N(3，-4)三点共线，kMN=kMP， 即=，解得x=-3. 7.设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为x-y+1=0，则直线PB的方程为(　　) A.2x+y-7=0 B.2x-2y-3=0 C.x+y-5=0 D.x+y-1=0 【答案】C 【解析】如图，因为点P在直线x-y+1=0上，且横坐标为2，所以点P的坐标为(2，3)， 点A为直线x-y+1=0与x轴的交点，所以A(-1，0)， 又点B在x轴上，且|PA|=|PB|， 则点(2，0)是AB的中点，所以B(5，0)， 所以直线PB的方程为=，即x+y-5=0. 8.一条光线从P(6，4)射出与x轴相交于点Q(2，0)，经x轴反射，则反射光线所在直线的方程为(　　) A.x-y+1=0 B.x+y-5=0 C.x-y-2=0 D.x+y-2=0 【答案】D 【解析】P(6，4)关于x轴的对称点P'(6，-4)，光线从P(6，4)射出与x轴相交于点Q(2，0)，则反射光线所在直线经过点P'，Q， 由两点式方程可知，所求直线方程为=，化简得x+y-2=0. 二、多选题（共3小题） 9.下列命题中不正确的是(　　) A.经过点P0(x0,y0)的直线都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示 B.经过定点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示 C.经过任意两个不同点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可用方程(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)·(x-x1)表示 D.不经过原点的直线都可以用方程+=1表示 【答案】ABD 【解析】A中当直线的斜率不存在时,其方程只能表示为x=x0; B中经过定点A(0,b)的直线x=0无法用y=kx+b表示; D中不经过原点但斜率不存在(或斜率为零)的直线不能用方程+=1表示.只有C正确,故选A,B,D. 10.已知直线l：y=-x，其中l1，l2，l的图象如图所示，直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，在y轴上的截距分别为b1，b2，则下列说法正确的是(　　) A.-1<k2<0 B.k1<k2<-1 C.b1>b2 D.>0 【答案】AC 【解析】由题图可知，k1<-1<k2<0，b2<0<b1. 11.已知直线过点(2，1)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，则该直线的方程为(　　) A.2x+y-5=0 B.x+2y-4=0 C.x-2y=0 D.2x-y-5=0 【答案】BC 【解析】当截距为0时，设直线的方程为y=kx， 因为直线过点(2，1)，所以1=2k， 即k=，则直线的方程为y=x，即x-2y=0； 当截距不为0时，设直线的方程为+=1， 因为直线过点(2，1)，所以+=1，则a=2， 所以直线的方程为+=1，即x+2y-4=0. 综上，直线的方程为x-2y=0或x+2y-4=0. 三、填空题（共3小题） 12.直线-=1与坐标轴围成的图形面积为　　　.  【答案】3 【解析】化为截距式+=1,a=2,b=-3, S=|a|·|b|=×2×3=3. 13.直线l过点(-4,-1),且横截距是纵截距的两倍,则直线l的方程为　　　　.  【答案】x+2y+6=0或x-4y=0 【解析】当横、纵截距都是0时,设直线的方程为y=kx. ∵直线过点(-4,-1), ∴-1=k×(-4),∴k=, 即直线的方程为x-4y=0. 当截距均不为0时,设直线的方程为+=1. ∵直线过点(-4,-1), ∴+=1,解得a=-3, 即直线方程为x+2y+6=0. 综上,所求直线方程为x+2y+6=0或x-4y=0. 14.已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线y=2x和x+ay=0上，且线段AB的中点为P，则直线AB的方程为　　　　　　. 【答案】3x-4y+20=0 【解析】依题意知，a=2，P(0，5). 设A(x0，2x0)，B(-2y0，y0)， 则由中点坐标公式，得 解得 所以A(4，8)，B(-4，2)， 由直线的两点式方程， 得直线AB的方程是=， 即3x-4y+20=0. 四、解答题（共2小题） 15.在△ABC中，已知A(5，-2)，B(7，3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求： (1)顶点C的坐标； (2)直线MN的方程. 【答案】(1)设点C(x，y)，∵AC边的中点M在y轴上，∴=0，∴x=-5. 又BC边的中点N在x轴上，∴=0，∴y=-3， 故点C的坐标是(-5，-3). (2)由(1)知点M的坐标是，点N的坐标是(1，0)， ∴直线MN的方程是=，即5x-2y-5=0. 16.过点P(3，2)的直线l与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点. (1)当P为AB的中点时，求直线l的方程； (2)当△AOB的面积S最小时，求直线l的方程. 【答案】(1)设A(a，0)，B(0，b)， ∵P(3，2)为AB的中点，∴A(6，0)，B(0，4)， ∴由截距式得直线l的方程为+=1， 即2x+3y-12=0. (2)方法一　由题意，设直线的截距式方程为+=1(a，b>0)， ∵直线过P(3，2)，∴+=1， ∴1=+≥2，∴ab≥24， 当且仅当=，即a=6，b=4时，等号成立， ∴△AOB的面积S=ab≥12， ∴△AOB面积的最小值为12，此时直线l的方程为+=1 学科网（北京）股份有限公司 $  2.2.2 直线的两点式方程 高一升高二暑假预习 人教A版选择性必修第一册——原卷版 一、选择题（共8小题） 1.过点(1，2)，(5，3)的直线方程是(　　) A.= B.= C.= D.= 2.已知直线l的两点式方程为=，则(　　) A.直线l经过点(5，2) B.直线l的斜截式方程为x=y- C.直线l的倾斜角为锐角 D.直线l的点斜式方程为y-2=(x-5) 3.若直线+=1过第一、二、三象限，则(　　) A.a>0，b>0 B.a>0，b<0 C.a<0，b>0 D.a<0，b<0 4.在x轴、y轴上的截距分别是-3,4的直线方程是(　　) A.+=1 B.+=1 C.-=1 D.+=1 5.过点A(3,-1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有(　　) A.2条 B.3条 C.4条 D.无数多条 6.已知点P(x，2)在过M(-2，1)和N(3，-4)两点的直线上，则x等于(　　) A.-3 B.-2 C.2 D.3 7.设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为x-y+1=0，则直线PB的方程为(　　) A.2x+y-7=0 B.2x-2y-3=0 C.x+y-5=0 D.x+y-1=0 8.一条光线从P(6，4)射出与x轴相交于点Q(2，0)，经x轴反射，则反射光线所在直线的方程为(　　) A.x-y+1=0 B.x+y-5=0 C.x-y-2=0 D.x+y-2=0 二、多选题（共3小题） 9.下列命题中不正确的是(　　) A.经过点P0(x0,y0)的直线都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示 B.经过定点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示 C.经过任意两个不同点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可用方程(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)·(x-x1)表示 D.不经过原点的直线都可以用方程+=1表示 10.已知直线l：y=-x，其中l1，l2，l的图象如图所示，直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，在y轴上的截距分别为b1，b2，则下列说法正确的是(　　) A.-1<k2<0 B.k1<k2<-1 C.b1>b2 D.>0 11.已知直线过点(2，1)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，则该直线的方程为(　　) A.2x+y-5=0 B.x+2y-4=0 C.x-2y=0 D.2x-y-5=0 三、填空题（共3小题） 12.直线-=1与坐标轴围成的图形面积为　　　.  13.直线l过点(-4,-1),且横截距是纵截距的两倍,则直线l的方程为　　　　.  14.已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线y=2x和x+ay=0上，且线段AB的中点为P，则直线AB的方程为　　　　　　. 四、解答题（共2小题） 15.在△ABC中，已知A(5，-2)，B(7，3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求： (1)顶点C的坐标； (2)直线MN的方程. 16.过点P(3，2)的直线l与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点. (1)当P为AB的中点时，求直线l的方程； (2)当△AOB的面积S最小时，求直线l的方程. 学科网（北京）股份有限公司 $