2.2.2直线的两点式方程同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册（北京专用）

**基本信息** 以基础巩固、能力提升、综合应用为分层，通过基础题型强化公式应用，中档题培养分类讨论，综合题结合几何情境，构建从单一到综合的知识巩固路径，适配新授课教学。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|两点式/截距式方程形式、截距概念|单选题1、填空题8等基础题型，强化运算能力| |能力提升|截距条件分类讨论、几何量关系|单选题3-5、填空题9等多解问题，培养推理意识| |综合应用|数形结合、几何图形应用|单选题6、解答题15-16等几何情境题，发展数学眼光与模型意识|

2.2.2直线的两点式方程同步练（北京专用） 教材知识梳理 1．直线的两点式方程 名称 两点式方程 已知条件 经过两点（其中） 示意图 方程形式 _______________ 适用条件 斜率存在且不为零 【答案】 2．直线的截距式方程 名称 截距式方程 已知条件 直线l在x，y轴上的截距分别为a，b且， 示意图 方程形式 _______________ 适用条件 斜率存在且不为零，不过原点 【答案】 同步练（最新北京同步考题） 一、单选题 1．（24-25高二·北京·学业考试）过点和的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意利用直线的截距式方程，直接写出经过和两点的直线方程，化简求得结果. 【详解】∵直线经过两点和，而这两个点恰是直线和坐标轴的交点， ∴由直线的截距式方程可得，即， 故选：C. 2．（24-25高二上·北京丰台·期中）设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且，若直线PA的方程为，则直线PB的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定、两点的坐标，利用两点式可求直线PB的方程. 【详解】如图： 因为点在直线上，且横坐标为2，所以点坐标为， 点为直线与轴交点，所以， 又点在轴上，且， 则点是的中点，所以， 所以直线PB的方程为，即. 故选：C. 3．（23-24高二上·北京顺义·期中）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解. 【详解】当直线过原点时，方程为，即， 当直线不过原点时，设直线方程为， 则，解得， 所以直线方程为， 综上所求直线方程为或. 故选：C. 4．（24-25高二上·北京阶段检测）经过点且在两轴上截距相等的直线方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】当直线过原点时，斜率为，由点斜式求得直线的方程，当直线不过原点时，设直线的方程是：，把点代入方程求得值,即可得直线方程. 【详解】当直线过原点时，斜率为， 由点斜式求得直线的方程是， 即； 当直线不过原点时， 设直线的方程是：， 把点代入方程得， 直线的方程是． 综上，所求直线的方程为或. 故选：D. 5．（25-26高二上·北京顺义·期中）已知直线l经过点，且在两坐标轴上的截距之和为零，则直线l的方程为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据已知，讨论截距是否为0，分别设直线为、，结合所过的点求参数，即可得直线方程. 【详解】当截距为0时，令直线为，则，故， 当截距不为0时，令直线为，则，故， 所以，所求直线为或. 故选：D 6．（25-26高二上·北京·期中）两条直线和在同一直角坐标系中的图象可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的截距式方程，可得直线的横、纵截距分别为，，直线的横、纵截距分别为，，逐项根据截距的正负判断即可． 【详解】由截距式方程可得直线的横、纵截距分别为，，直线的横、纵截距分别为，， 选项A，由的图象可得，即，则，可得直线的截距均为正数，故正确； 选项B，由的图象可得，即，则，可得直线的截距均为正数，由图象不对应，故错误； 选项C，由的图象可得，即，则，可得直线的横截距为负数，纵截距为正数，由图象不对应，故错误； 选项D，由的图象可得，即，则，可得直线的横截距为正数，纵截距为负数，由图象不对应，故错误． 7．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知直线经过点但不经过原点，且在轴上的截距是在轴上的截距的3倍，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，设直线的方程为，将点代入，求得，即可求解. 【详解】因为直线经过点但不经过原点，且在轴上的截距是在轴上的截距的3倍， 所以，设直线的方程为，可得，解得， 所以，即. 故选：C. 二、填空题 8．（25-26高二上·北京朝阳·期末）直线在x轴上的截距为______． 【答案】 【分析】根据在x轴上的截距的概念，列出方程，求出结果即可. 【详解】当时，得，解得，即在x轴上的截距为. 故答案为：. 9．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知直线过点． （1）若在两坐标轴上截距相等，则的方程为___________ （2）设与两坐标轴的正半轴交点分别为，则为坐标原点）面积的最小值为___________． 【答案】 或． 4 【分析】先分两种情况讨论，当直线过原点，代入求出参数的值，当直线不过原点时，设出直线截距式，代点即可求解；利用三角形面积公式、基本不等式，求得面积的最小值． 【详解】当直线经过原点时，直线的斜率为，所以直线的方程为，即； 当直线不过原点时，设直线的方程为，代入点可得， 所以所求直线方程为，即． 综上可得，所求直线方程为：或． （2）依题意，设点，（，），直线的方程为， 又点在直线上，于是有， 利用基本不等式，即，当且仅当，时等号成立， ，即的面积的最小值为4． 故答案为：或；4. 10．（24-25高三上·北京海淀·阶段检测）已知直线及与函数图像的交点分别为A，B，则直线方程为______． 【答案】 【分析】求出直线与的交点坐标，再求直线方程可得出答案. 【详解】由，得，，得， 所以直线AB的方程为，即. 故答案为：. 11．（23-24高二上·北京顺义·期中）平面直角坐标系中，已知直线过点，与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则直线的方程为________． 【答案】 【分析】根据题意假设直线的截距式方程，从而得到关于的方程组，解之即可得解. 【详解】依题意，直线的两个截距都不为0，故设直线为， 则，解得， 所以直线为，即. 故答案为：. 12．（23-24高二上·北京·阶段检测）直线与坐标轴围成的图形面积为_________. 【答案】3 【分析】结合截距式的含义直接求解即可. 【详解】直线,故x轴上的截距为2，y轴上的截距为-3， 所以面积为. 故答案为：3 13．（25-26高二上·北京房山·阶段检测）过点且在轴上截距为3的直线方程为__________. 【答案】 【分析】由题意直线过点，由截距式化简即可得解. 【详解】由题意直线过点，故所求直线方程为，即. 故答案为：. 14．（25-26高二上·北京开学考试）设直线l的方程为，若直线l在两坐标轴上的截距互为相反数，则a=________ 【答案】1或 【分析】分别求出直线在两坐标轴上的截距，由题意可列出方程，求解，即得答案. 【详解】由题意知直线l的方程为， 当时，直线为，不符题意，故， 令，则；令，则； 由直线l在两坐标轴上的截距互为相反数，则， 解得或， 时，直线为，直线l在两坐标轴上的截距均为0，符合题意； 时，直线为，直线l在轴上的截距分别为，符合题意； 故答案为：1或. 三、解答题 15．（25-26高二上·北京房山·期末）在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，. (1)设线段的中点为，求中线所在直线的方程. (2)求边上的高所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出线段的中点为的坐标，再利用两点式求出中线所在直线的方程； （2）先求出的斜率，可得边上的高所在直线的斜率，再利用点斜式求出边上的高所在直线的方程． 【详解】（1）解：三个顶点坐标分别为，，， 线段的中点，则中线所在直线的方程为， 即； （2）解：由于直线的斜率为，故边上的高所在直线的斜率为， 故边上的高所在直线的方程为，即． 16．（25-26高二上·北京顺义·期中）已知直线l过定点． (1)当直线l的倾斜角是直线的倾斜角的二倍时，求直线l方程． (2)当直线l与x轴正半轴交于A点、y轴正半轴交于B点，且的面积为12时，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知直线斜率可求得其倾斜角，由此可得所求直线的倾斜角和斜率，利用点斜式即可整理得到直线方程； （2）设直线方程的截距式方程,由直线过点(2，3)及的面积列方程组求得两截距. 【详解】（1）直线的斜率为， 则该直线的倾斜角为， 又所求的直线倾斜角为时，它的斜率为， 所以所求直线方程为， 即：； （2）设直线方程为：，则  ①； ∴的面积为     ②， 由①②解得：； 所以所求的直线方程为即． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $2.2.2直线的两点式方程同步练（北京专用） 教材知识梳理 1.直线的两点式方程 名称 两点式方程 己知条 经过两点P,X,ybP,X,y,（其中 件 X1≠X2,y1≠y2) 示意图 方程形 式 适用条 斜率存在且不为零 件 2.直线的截距式方程 名称 截距式方程 直线1在x,y轴上的截距分别为a,b且a≠0， 已知条件 b≠0 y (0,b) 示意图 (a,0) 方程形式 适用条件 斜率存在且不为零，不过原点 同步练（最新北京同步考题） 试卷第1页，共3页 一、单选题 1.(24-25高二北京学业考试)过点A(3,0)和B(0,2)的直线的方程为() A.2x-3y-6=0 B.3x+2y-4=0 C.2x+3y-6=0 D.x+2y-4=0 2.(24-25高二上·北京丰台期中)设A,B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且 |PA=|PB引，若直线PA的方程为x-y+1=0,则直线PB的方程为() A.2x+y-7=0 B.2x-y-4=0 C.x+y-5=0 D.X+y-1=0 3.(23-24高二上北京顺义期中)过点A1,2的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则 该直线方程为() A.x-y+3=0 B.x+y-3=0 C.2x-y=0或x-y+1=0 D.2x+y=0或x+y+1=0 4.(24-25高二上·北京阶段检测)经过点M1,1且在两轴上截距相等的直线方程是 () A.x+y=2 B.x+y=1 C.x=1或y=1 D.X+y=2或x=y 5.(25-26高二上·北京顺义期中)已知直线1经过点P-2,-3,且在两坐标轴上的截距 之和为零，则直线1的方程为() A.X+y+5=0 B.x+y+5=0或3x-2y=0 C.2x+3y=0或x-y+5=0 D.3x-2y=0或x-y-1=0 6。(25:26商二上北京期中)两条直线，：音古-1和，：名1在同一直角坐标系巾 a b 的图象可以是() 试卷第2页，共3页 7.(25-26高二上·北京·阶段检测)已知直线经过点3，-2但不经过原点，且1在x轴上的 截距是在y轴上的截距的3倍，则的方程为() A.X+3y-1=0 B.x+y-1=0 C.X+3y+3=0 D.3x+y+3=0 二、填空题 8.(25-26高二上·北京朝阳·期末)直线2x+y+10=0在x轴上的截距为 9.(25-26高二上·北京·阶段检测)已知直线过点P1,2. (1)若在两坐标轴上截距相等，则的方程为 (2)设l与两坐标轴的正半轴交点分别为A,B,则△OAB(O为坐标原点)面积的最 小值为 10.(24-25高三上·北京海淀.阶段检测)已知直线X=2及x=4与函数y=10g2x图像的交 点分别为A,B,则直线AB方程为一 11.(23-24高二上·北京顺义·期中)平面直角坐标系中，已知直线过点0,4，与两坐标 轴围成的三角形的面积为4，则直线的方程为 12.(2324高=上北京阶段检测)直线子兰1与坐标轴围成的图形面积为 13.(25-26高二上·北京房山阶段检测)过点(0,5)且在x轴上截距为3的直线方程为 14.(25-26高二上·北京开学考试)设直线1的方程为a+1)x+y+1-a=0,若直线1在 两坐标轴上的截距互为相反数，则= 三、解答题 15.(25-26高二上·北京房山期末)在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点坐标分别为 A2,-2,B6,6,C0,6 (1)设线段AB的中点为M,求中线CM所在直线的方程. 试卷第3页，共3页 (2)求边AB上的高所在直线的方程. 16.(25-26高二上·北京顺义·期中)已知直线1过定点(2,3) ()当直线1的倾斜角是直线3x-只3y+3=0的倾斜角的二倍时，求直线1方程. (2)当直线1与x轴正半轴交于A点、y轴正半轴交于B点，且△AOB的面积为12时，求直 线1的方程. 试卷第4页，共3页