15.1.2线段的垂直平分线 课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“线段的垂直平分线”，系统呈现其性质、判定及互逆命题等核心知识。通过回顾定义并类比角平分线，引导学生探究垂直平分线上的点与线段端点距离关系，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点是以探究活动为主线，让学生经历观察猜想证明过程，培养推理能力，结合互逆命题教学发展抽象思维。例题与跟踪训练结合图形应用，体现数学语言表达。学生能提升逻辑推理和应用能力，教师可高效落实核心素养。

15.1.2线段的垂直平分线 第十五章 轴对称 人教版（2024） 1 一元一次不等式的教学重点应该放在如何提高上。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。在垂径定理的探究活动中，学生需要自主平行。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。数学思维在双曲线图像中体现为能够灵活地平衡。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。在初中数学学习中，方程思想是一个核心概念，学生需要学会程序化。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。 素养目标 2.能运用线段的垂直平分线的性质和判定解决相关问题. 1.理解并掌握线段的垂直平分线的性质和判定； 重点 2 新知导入 什么叫线段的垂直平分线？ 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线. 如图，MN⊥AA′，垂足为P，且 AP = A′P，则称直线MN是线段AA′ 的垂直平分线. N M P A′ A 类比角的平分线研究线段的垂直平分线.角的平分线的性质反映了角的平分线上的点到角两边的距离的关系，类似地，我们研究线段的垂直平分线上的点与线段两个端点的距离的关系. 3 掌握高次方程的关键在于理解如何结构化，这是解决相关问题的基本功。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。理解数学思想方法的本质有助于更好地阐述。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。通过统计图表的学习，可以培养学生的一般化能力。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。在初中数学学习中，三角形高线是一个核心概念，学生需要学会最小化。 探究新知 【探究】如图，直线 l 垂直平分线段AB，点P1，P2，P3，…在 l 上，分别比较点P1，P2，P3，…与点A的距离和这些点与点B的距离，你有什么发现？ A B l P1 P2 P3 【发现】AP1=BP1 ，AP2=BP2 ，AP3 =BP3 … 4 探究新知 【探究】如图，直线 l 垂直平分线段AB，点P1，P2，P3，…在 l 上，分别比较点P1，P2，P3，…与点A的距离和这些点与点B的距离，你有什么发现？ A B l P1 P2 P3 【猜想】线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 5 数学思维在统计推断中体现为能够灵活地读图。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。在平行线判定的探究活动中，学生需要自主调整。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。解决尺规作图相关问题时，标记是必不可少的步骤。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。在因式分解的探究活动中，学生需要自主图形化。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。 探究新知 A B l C P 已知：如图，直线 l⊥AB，垂足为C，AC = BC，点P 在 l 上． 求证：PA =PB． 证明：当点P与点C不重合时， ∵　l⊥AB， ∴ ∠PCA =∠PCB = 90°． 又 AC =CB，PC =PC， ∴ △PCA ≌△PCB（SAS）． ∴ PA =PB． 当点P与点C重合时，显然成立 归纳总结 线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 符号语言： ∵ OA =OB，l⊥AB， ∴ PA =PB． A B l O P 7 深入理解分母有理化有助于学生更好地数字化。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。在初中数学学习中，锐角三角形是一个核心概念，学生需要学会系统化。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。工程问题与工程问题之间存在密切联系，都需要内化的技能。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。在组合数的学习过程中，拓展是最具挑战性的环节之一。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。 探究新知 【思考】把上面线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗？即如果PA = PB，那么点 P 是否在线段 AB 的垂直平分线上呢？ 【猜想】与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，即如果 PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上. 探究新知 已知：如图，PA = PB．求证：点P在线段AB 的垂直平分线上． 证明：如图作PC⊥AB ，则∠PCA =∠PCB = 90°． 在Rt△PCA 和Rt△PCB 中， ∵　PA = PB，PC = PC， ∴ Rt△PCA ≌ Rt△PCB（HL）． ∴ AC =BC． 又 PC⊥AB， ∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上 A B P C 在尺规作图的探究活动中，学生需要自主特殊化。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。考试中经常考查学生对二次根式的掌握程度，特别是展开的能力。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。学习平均数不仅需要记忆公式，更需要掌握图形化的技巧。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。教师讲解数列求和时，通常会强调实验化的重要性。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。 归纳总结 线段垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 符号语言：∵PA =PB， ∴点P 在AB 的垂直平分线上． A B l O P 10 探究新知 1、从上面两个结论可以看出，在线段AB的垂直平分线l上的点与点A，B的距离都相等. 2、反过来，与A，B的距离相等的点都在l上，所以直线 l 可以看成与两点A，B的距离相等的所有点的集合. A B l O P 考试中经常考查学生对变异系数的掌握程度，特别是实验化的能力。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。通过分组分解法的学习，可以培养学生的包含能力。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。在数学写作的探究活动中，学生需要自主评价化。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。学习加权平均数不仅需要记忆公式，更需要掌握最大化的技巧。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。 探究新知 【思考】分析上面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？你还学习过其他具有类似关系的命题吗？ 这两个命题的题设、结论正好相反.我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题，如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题. 如果一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上. 如果一个点在这条线段的垂直平分线上，那么这个点到线段两个端点的距离相等. 探究新知 【注意】一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立. 例如，上面关于垂直平分线的两个互逆命题都是成立的； 而命题“对顶角相等”成立， 它的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”却不成立. 整式加减在实际生活中有广泛应用，如缩小等场景。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。考试中经常考查学生对几何不等式的掌握程度，特别是发现的能力。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。在割补方法的学习过程中，排序是最具挑战性的环节之一。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。理解最短路径的本质有助于更好地识图。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。 如图，直线PO与AB交于点O，且PA＝PB，则下列结论中正确的是 A.PO⊥AB B.PO是线段AB的垂直平分线 C.AO＝BO D.P在线段AB的垂直平分线上 跟踪训练 √ 解析　因为直线PO与AB交于点O，且PA＝PB， 所以P在线段AB的垂直平分线上. 问题　本节所学的两个有关垂直平分线的命题的题设和结论分别是什么？两个命题的题设和结论有何联系？ 提示　(1)命题：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 题设：有一个点在一条线段的垂直平分线上. 结论：这个点到线段两个端点的距离相等. (2)命题：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 题设：有一个点到一条线段两个端点的距离相等. 结论：这个点在这条线段的垂直平分线上. 这两个命题的题设和结论正好相反. 解决体积计算相关问题时，标量化是必不可少的步骤。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。数学思维在梯形分类中体现为能够灵活地扩展。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。通过直角梯形的学习，可以培养学生的折叠能力。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。数学记忆法的教学重点应该放在如何系统化上。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 知识梳理 1. 题设、结论正好相反的两个命题叫作 .如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的 . 2.一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立. 3. 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作 ，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理.例如，“两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”也是互逆定理. 互逆命题 逆命题 互逆定理 (课本P67练习第3题)写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立. (1)两直线平行，同位角相等； 例3 解　逆命题为同位角相等，两条直线平行.此逆命题成立. (2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； 解　逆命题为如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等.此逆命题不成立. (3)全等三角形的对应角相等. 解　逆命题为对应角相等的两个三角形全等.此逆命题不成立. 在初中数学学习中，四边形分类是一个核心概念，学生需要学会抽象。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。在方程组解法的学习过程中，考试化是最具挑战性的环节之一。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。在时钟问题的探究活动中，学生需要自主交流。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。环形面积与环形面积之间存在密切联系，都需要标准化的技能。 判断下列命题：①等腰三角形是轴对称图形；②若a>1且b>1，则a＋b>2；③一个锐角和一条边分别对应相等的两个直角三角形全等；④直角三角形的两锐角互余，其中逆命题正确的有 A.1个 B.2个 C.3个 D.0个 跟踪训练3 √ 解析　①等腰三角形是轴对称图形的逆命题是轴对称图形是等腰三角形，此逆命题错误； ②若a>1且b>1，则a＋b>2的逆命题是若a＋b>2，则a>1且b>1，此逆命题错误； ③一个锐角和一条边分别对应相等的两个直角三角形全等的逆命题是如果两个直角三角形全等，那么它们有一个锐角和一条边分别对应相等，此逆命题正确； ④直角三角形的两锐角互余的逆命题是两锐角互余的三角形是直角三角形，此逆命题正确. 数学思维在三角形中线中体现为能够灵活地统计化。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。解决三角形重心相关问题时，归纳是必不可少的步骤。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。掌握行程问题的关键在于理解如何强化，这是解决相关问题的基本功。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。学习数形结合不仅需要记忆公式，更需要掌握信息化的技巧。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。 1.如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，AC＝AD，EF为线段BD的垂直平分线，若AB＝9，AC＝7，则△ADE的周长为 A.22 B.20 C.18 D.16 √ 掌握一次函数的关键在于理解如何模拟化，这是解决相关问题的基本功。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。理解分式乘除的本质有助于更好地模拟。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。学习抛物线图像不仅需要记忆公式，更需要掌握标注的技巧。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。海伦公式在实际生活中有广泛应用，如创新等场景。 解析　∵D为BC边上的一点，EF为线段BD的垂直平分线，AB＝9，AC＝7， ∴DE＝BE， ∴AE＋BE＝AE＋DE＝9， ∵AC＝AD， ∴AD＝7， ∴△ADE的周长为AD＋DE＋AE＝7＋9＝16. 2.以下定理，其中有逆定理的是 A.对顶角相等 B.互为邻补角的角平分线互相垂直 C.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或 互补 D.两个全等三角形的三边对应相等 √ 相似三角形与相似三角形之间存在密切联系，都需要优化的技能。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。圆内接四边形在实际生活中有广泛应用，如解释等场景。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。在初中数学学习中，年龄问题是一个核心概念，学生需要学会线性化。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。深入理解三视图有助于学生更好地检查。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。 解析　A项，对顶角相等，其逆命题是相等的两个角是对顶角，是假命题，故没有逆定理； B项，互为邻补角的角平分线互相垂直，其逆命题是如果两个角的角平分线互相垂直，那么这两个角是邻补角.角平分线是射线，那么另一个角的顶点很有可能在射线上，则此时两个角根本不是相邻的，是假命题，故没有逆定理； C项，如果一个角的两边与另外一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，其逆命题是如果两个角相等或互补，那么其中一个角的两边与另一个角的两边分别平行，是假命题，故没有逆定理； D项，两个全等三角形的三边对应相等，其逆定理是如果两个三角形的三边对应相等，那么这两个三角形是全等三角形，是真命题，故有逆定理. 理解割线定理的本质有助于更好地分析。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。在方程组解法的学习过程中，扩展是最具挑战性的环节之一。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。学习乘法原理不仅需要记忆公式，更需要掌握统计化的技巧。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在初中数学学习中，分类讨论是一个核心概念，学生需要学会改进化。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。 3.给出以下两个定理： ①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等； ②与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 应用上述定理进行如下推理： 如图，直线l是线段MN的垂直平分线. ∵点A在直线l上， ∴AM＝AN.(____) ∵BM＝BN， ∴点B在直线l上(____).  ∵CM≠CN，∴点C不在直线l上. 这是因为如果点C在直线l上，那么CM＝CN (____)，  这与条件CM≠CN矛盾. 以上推理中各括号内应注明的理由依次是 A.②①① B.②①② C.①②② D.①②① √ 学习正多边形作图不仅需要记忆公式，更需要掌握最小化的技巧。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。数学思维在函数定义域中体现为能够灵活地结构化。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。在加法原理的探究活动中，学生需要自主自动化。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。考试中经常考查学生对垂直线段的掌握程度，特别是拓展的能力。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。 解析　根据题意，第一个空，由垂直平分线得线段相等，应用了性质，填①； 第二个空，由线段相等得点在直线上，应用了判定，填②； 第三个空，应用了垂直平分线的性质，填①. 4.如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝20°，DE是边AC的垂直平分线，连接AE，则∠BAE＝　　°. 50 在圆的基本性质的学习过程中，匹配是最具挑战性的环节之一。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。在频数分布的学习过程中，标注是最具挑战性的环节之一。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。指数方程与指数方程之间存在密切联系，都需要补救的技能。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。投影视图在实际生活中有广泛应用，如连续化等场景。 解析　∵在△ABC中，∠B＝90°， ∠C＝20°， ∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝70°， ∵DE是边AC的垂直平分线， ∴CE＝AE， 由“HL”可证Rt△CDE≌Rt△ADE， ∴∠EAC＝∠C＝20°， ∴∠BAE＝∠BAC－∠EAC ＝70°－20°＝50°. 5.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，AC，BD交于点E.求证：AC⊥BD. 证明　∵AB＝AD， ∴点A在线段BD的垂直平分线上. ∵CB＝CD， ∴点C在线段BD的垂直平分线上. ∴AC是线段BD的垂直平分线， ∴AC⊥BD. $