湖南省长沙市长郡中学2026-2027学年高一上学期开学综合能力检测数学试卷

2026级高一综合能力检测试卷 数学 时量：90分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个 选项中，只有一个选项是符合题目要求的.) 1.下列判断正确的是 北 A.两点之间垂线段最短 B.平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形 C.点P(1,1)关于y轴的对称点在第二象限 D.同一时刻下，两个身高相同的人在阳光下的影长相等 如 戡 2.“有志者，事竟成”出自《后汉书·耿弇传》，这句话的含义是有志向的人， 做事终究会成功.如图是正方体的某个展开图，则这个正方体与“志”字 所在面相对的面上的字为 有 志 者 事 竞 敬 成 拭 A.成 B竟 C.者 D.事 3.关于x的方程x2+3x十1=0的根的情况是 A有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 4.如图所示，将形状、大小完全相同的“·”和线段按照一定规律摆成下列 图形，第1幅图形中“·”的个数为c1,第2幅图形中“·”的个数为c2,第 3幅图形中“·”的个数为c3,…,以此类推，则c的值为 高一数学试题(N)第1页（共8页） 第1幅图 第2幅图 第3幅图 第4幅图 A.80 B.99 C.109 D.110 5.孟想和程真两同学玩扑克魔术，孟想将一副扑克牌(54张)理后让程 真从上往下取出所有第奇数张牌丢掉，然后再从剩下的牌中从上往下取 出所有第奇数张牌丢掉，依次进行，直到剩下3张牌时，孟想对程真说 “恭喜你得到一个985”，程真从上往下依次翻开果然是红桃9、红桃8、 红桃5；请问：孟想在理牌时巧妙将这3张牌从上往下依次放在第几的 位置 A.12,24,48 b.16,32,48 C.16,36,54 D.32,36,48 6.点P是抛物线y=-x2十2(a-1)x一(a2-1)的顶点，点A(一1，m), B(t,m)在抛物线上（其中t>一1）.则下列结论正确的是 A.点P在直线y=2x上 B.m+2t<1 C.当点P所在直线与线段AB没有交点时，a的取值范围是a>1 D.当点P在原点时，过点C(0,一)的直线与抛物线交于M,N两点， 则+-4 选择题答题卡 题号 1 2 3 4 5 6 答案 二、填空题（本题共6小题，每小题6分，共36分.） 7.分解因式：P2一3P一10= 8.|x一2025引+|x一2026|的最小值为 高一数学试题(N)第2页（共8页） 9.三角函数有如下的公式：m。十="利用公式可以计算一些 不是特殊角的三角函数值.根据以上阅读材料，计算：tan105°= 10.如图，点B在AC上，劣弧AC沿弦AC翻折，点B的对应点为D,连接AD 并延长交圆于另一点E,连接CD,CE.若DE=2AD=2,AE为直径，则 DC的长为 11.如图，直线y=2x十b与反比例函数y=飞在第二象限的图象交于点 A,B,与x轴交于点C.点A的横坐标为一1，且AB=2BC,则反比例函 数的解析式为 12.数学兴趣小组在研究连续正整数的和时发现结论：1十2十3十…十n= nn十1(m≥1，且n为整数).后来他们又发现一些完全平方奇数（若 一个奇数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个奇数为完全平方 奇数，如1,9,25,49，…均为完全平方奇数)可以写成几个连续正整数 的和，如：12=1,32=2+3+4,52=3+4十5十6+7,72=4+5+6+7+8 +9+10,…. (1)将112写成几个连续正整数的和：； (2)若将20312写成几个连续正整数的和，其中最大的正整数与最小的 正整数的差为 高一数学试题(N)第3页（共8页） 三、解答题（本题共5小题，13、14小题每小题9分，其余每小题12分， 共54分.) 13.(9分)为增强学生安全意识，某校开展“防溺水安全知识”主题教育活 动，并随机抽取部分学生进行防溺水知识测试（测试等级分为：优秀、良 好、合格、不合格)，根据测试结果绘制了如下尚不完整的统计图. ↑人数 80H 不合格 70 10% 优秀 20% 40 30 合格 良好 30% 0 优秀良好合格不合格等级 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次接受测试的学生共有 人，扇形统计图中“优秀”对应的圆 心角度数为 (2)补全条形统计图； (3)若该校防溺水知识测试“不合格”的学生有300人，请估计该校共有 多少名学生，并对学校防溺水安全教育工作提出一条合理化建议. 1. 高一数学试题(N)第4页（共8页） 14.(9分)淇淇在计算“2m ，▲”时，误把“÷”看成“+”，得 m2+m-2÷n2-m-6 到的计算结果为 1 22+m-2 (1)求“▲”所表示的代数式； “n于十0一三十-6”的运算结果乘一个关于m的代数式 (2)若“，n A,与m于m一2广心6”的运算结果相同，求代数式A 高一数学试题(N)第5页（共8页） 15.(12分)某花卉基地引进并种植了一种新型绿植，已知该绿植每棵的售 价为30元时，年销售量为8万棵 (1)基地营销人员经过市场调查分析发现.价格每提高2元，销售量将 相应减少0.1万棵，设每棵定价提高到元(30<1≤50)，每年的销 售总收人为y万元， ①求y关于（的函数关系式： ②要使提价后每年销售的总收人为300万元，求1的值， (2)该基地为提高年销售量，决定对绿植进行改良培育，改良前该绿植 每棵售价为30元.设改良培育后每棵的售价为x元(30<≤50)， 该基地投入(8x480）)万元作为培育费用.问该绿植的年销售量。 至少达到多少万棵，才能使年销售收人不低于改良前的年销售收人 与培育费用之和？ 高一数学试题(N)第6页（共8页） 16.(12分)菱形ABCD中，⊙O为△ABC的外接圆，AD是⊙O的切线. 0 E 图1 图2 (1)如图1，求证：△ABC为等边三角形； (2)如图2，点E为BC边的中点，点F在CE上，连接AF交DE于G, 若∠AGD=60°，DE=6,求AF的长， 高一数学试题(N)第7页（共8页） 17.(12分)如图1，已知抛物线C:y=a.x2十ba十c(a≠0)与x轴交于点 A(一3,0)和点B(1,0),与y轴交于点C(0,3).将抛物线C沿直线y= 一x向右下方平移，得到函数y的图象，则称函数y为函数y的“关联 函数” 图1 图2 备用图 (1)求抛物线C的解析式 (2)将抛物线C沿直线y=一x向右下方平移一定单位长度后，得到 “关联函数”y1的图象，其顶点恰好是点C.如图2，若点M在函数 y1的图象上，且在第二象限内，连接CM并延长，交抛物线C于点 N,分别过点M,N作x轴的垂线，垂足分别为E,F,以NF,OF为 邻边作矩形NFOH,NH与射线ME交于点G,设矩形NFOH与 矩形GEOH的面积分别为m,n求的取值范围； (3)将抛物线C沿直线y=一x向右下方平移一定单位长度后，得到 “关联函数”y2的图象.若函数y2的图象恰好经过点B,当d一1≤x ≤d时，y2的最小值为0，求d的值 高一数学试题(N)第8页（共8页）