2026—2027学年人教版数学九年级上册第一次月考模拟考试（10月份）

**基本信息** 本试卷以人教版九年级上册数学为核心，聚焦一元二次方程、函数图像与性质，融入重庆游客增长、航天网站浏览量、抛物线形拱桥等真实情境，通过运算推理与模型构建，考查数学思维与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元二次方程概念、抛物线平移、函数图像辨析|第4题结合国庆游客增长考查增长率模型，体现数据意识| |填空题|6/18|方程根与系数关系、抛物线对称轴、反比例函数性质|第15题以菱形面积为载体，融合几何直观与代数运算| |解答题|9/72|方程求解、函数综合应用、实际问题建模|23题机器人销售利润问题，考查二次函数最值与不等式应用，25题封闭图形整点分析，发展创新意识|

2026—2027学年人教版九年级上学期数学第一次月考模拟考试（10月份） 说明: 1. 答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好. 2. 全卷共6页，25小题考试时间120分钟，满分120分. 3.作答选择题1-10，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.作答非选择题11—25，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案(含作辅助线)写在答题卡指定区域内.写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效。 4.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，多选、错选、不选均不给分。) 1．将一元二次方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（   ） A． B．1，6 C．1， D． 2．一元二次方程配方后正确的是（　　） A． B． C． D． 3．将抛物线向上平移3个单位长度，再向左平移5个单位长度后得到新抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 4．2025年国庆节期间，重庆市游客数量再创新高，第一天游客数量为300万人，第三天游客数量为610万人．设平均增长率为x，可列方程为（    ） A． B． C． D． 5．若m、n是一元二次方程的两根，则的值是（    ） A． B． C．2 D．4 6．在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（ ） A． B． C． D． 7．我国“嫦娥一号”探月卫星成功发射后，某航天科普网站的浏览量猛增.已知某年10月份该网站的浏览量为80万人次，第四季度总浏览量为350万人次.如果浏览量平均每月增长率为，则应列方程为（   ） A． B． C． D． 8．已知点在二次函数的图象上，则、、的大小关系为（　　） A． B． C． D． 9．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数（，是常数，且）与反比例函数（是常数，且）的图象相交于，两点，则不等式的解集是（     ） A． B．或 C．或 D． 10．如图，抛物线与轴交于点，将抛物线向右依次平移两次，分别得到抛物线，与轴交于点，直线与这3条抛物线的6个交点的横坐标之和是（    ） A．18 B．20 C．36 D．24 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11．关于的一元二次方程有一个根是，则_____________． 12．抛物线的对称轴为直线____________． 13．抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（4，0）两点，则关于x的一元二次方程的解是________________． 14．反比例函数过点和，则________． 15．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点的坐标为，点在反比例函数（，）的图象上，连结、，以、为邻边构造菱形．若菱形的面积为，则的值为________． 16．对于二次函数，规定函数是它的相关函数已知点，的坐标分别为，，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则的取值范围为______． 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17．解下列一元二次方程． (1)； (2)． 18．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若方程的两个不相等实数根是，，若，求的值． 19．已知二次函数，函数值和自变量的部分对应取值如表：请观察表格，解决下列问题． … … … … (1)填空：_____，_____； (2)当时，该二次函数的最大值与最小值的差为_____． (3)不等式的解集是_____． 20．如图，这是一座抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米． (1)作图：以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴建立平面直角坐标系； (2)在（1）的条件下进行下列探究； ①求抛物线的解析式； ②当水面下降多少米时，水面宽为8米？ 21．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点． (1)求和的值； (2)是一次函数在第一象限内的图象上的点，垂直于轴，垂足为．是反比例函数的图象上的点．若点到轴的距离是点到轴的距离的倍，求面积的最大值及此时点的坐标． 22．某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）． (1)若要建的矩形养鸡场面积为，求鸡场的长和宽； (2)该扶贫单位想要建一个的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由． 23．某科技公司计划将一款新型机器人投入市场，经市场调研发现，当售价为每台万元时，月销售量为台；当售价每提高万元时，月销售量就减少台．已知这款机器人生产成本为每台万元．设机器人的售价为每台万元（为正整数）： (1)求出月销售量（台）与售价（万元）之间的函数关系式； (2)当售价为多少万元时，销售这款机器人的月利润最大？最大月利润是多少？ (3)该科技公司希望月生产成本不超过万元，月利润不低于万元，求机器人的售价（万元）的范围． 24．已知抛物线的顶点． (1)该抛物线的解析式为___________； (2)如图1，直线交x轴于A，交抛物线于B、C，轴于E，轴于F，试比较与的大小关系； (3)如图2所示，平移抛物线使其顶点在原点O处，过y轴正半轴F点的直线与抛物线相交于C、D两点（直线不平行x轴），分别过C、D向直线轴作垂线，垂足分别为M、N，连接、．记的面积为，的面积为，的面积为，若，求F点的坐标． 25．在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）与轴交于、两点，点、点均在这个抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为． (1)求此抛物线对应的函数表达式． (2)当点与点纵坐标相同时，求的值． (3)将此抛物线上、两点之间的部分（包括、两点）记为图象． ①当时，设图象最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为，直接写出与之间的函数关系式，并写出的取值范围． ②反比例函数的图象与图象围成的封闭图形内（包括边界）的横纵坐标均为整数的点的个数为，直接写出的取值范围． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D D B C D C C C 11． 12． 13． 14． 15． 16．或 17．【详解】（1）解：， ， ， ， ， 所以方程的解为，． （2）解：方程变形为， 方程中的， 方程根的判别式为，有两个不相等的实数根， 所以方程的解为， 即，． 18．【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）解：∵方程的两个不相等实数根是，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：． 19．【详解】（1）解：∵抛物线表达式为， 当时，， ∴， 当时，． ∴； 故答案为：4；． （2）解：∵二次函数表达式为， ∴当时，， ∵抛物线二次项系数为，对称轴为直线， ∴抛物线开口向下，当时，函数有最大值， ∵ ∴时，函数有最小值为， ∴该二次函数的最大值与最小值的差为， 故答案为：． （3）解：∵ ∴即 即的解集为在下方的自变量的取值范围， 当时， 解得： ∵抛物线开口向下， ∴的解集为：或 20．(1)如图，    （2）解：①设抛物线的解析式为，由题意点，在抛物线上， 则：， ， 故此抛物线的解析式为：； ②由题意，水面宽米，则， 令，则， ， 答：当水面下降米时，水面宽为8米． 21．【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：反比例函数的解析式为， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点，设， ∵是一次函数在第一象限内的图象上的点，垂直于轴， ∴，，， ∴， ∵是反比例函数的图象上的点，且点到轴的距离是点到轴的距离的倍， ∴， ∴点的横坐标为， ∴， ∵ ， 又∵，， ∴当时，取得最大值，最大值为， 此时， ∴面积的最大值为，此时点的坐标为． 22．【详解】（1）解：设， ∵铁栅栏总长为， ∴， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 答：鸡场的长和宽分别为与； (2)不能， 设，则， 由题意得：， 整理得：， ∵， ∴方程无解， 故这一想法不能实现． 23．【详解】（1）解：由题意得， 月销售量（台）与售价（万元）之间的函数关系式为； （2）设机器人的月销售利润为， 由题意得， ， 当时，有最大值为， 为正整数，当时，（万元），当时，（万元）， 当售价为万元或万元时，销售这款机器人的月利润最大，最大月利润是万元； （3）由题意可得， 解得， 为正整数， ， 答：机器人的售价（万元）的范围是． 24．【详解】（1）解：∵抛物线的顶点， ∴抛物线解析式为， 抛物线的解析式为：， 故答案为：； （2）解：设的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为， 轴，轴， 、横坐标相同且均为，横坐标相同且均为， 联立，得， ∴，， 令，解得， ∴， ∴，， ， ∵， ∴； （3）解：∵平移抛物线使其顶点在原点O处， ∴平移后解析式为， 设，，，则，，， ∴，，，，，， ∵记的面积为，的面积为，的面积为， ∴，，， ∵， ∴ 整理得， ∴， 联立，得， ，， ∴， ∴ ， 整理得， 不与轴平行， ∴ ， ． 25．【详解】（1）解法一：将、代入得， 解得， 抛物线对应的函数表达式为； 解法二：抛物线与x轴交于、两点， 该抛物线交点式为，化简得， 抛物线对应的函数表达式为； （2）解：由（1）得抛物线对称轴为， 点、点均在这个抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为，点与点纵坐标相同， 点和点关于抛物线的对称轴对称，即点和点的中点在对称轴上， ，解得； （3）解：由（1）得，，抛物线顶点坐标为， ， 令得，解得或， 当或时，，即， 当时，，即， ①当时，分情况讨论图象最高点的纵坐标与最低点的纵坐标： 情况一：当图象在对称轴左边时，，即， 图象最高点的纵坐标为，最低点的纵坐标为， 此时； 情况二：当图象包含对称轴时，，即， 图象最高点的纵坐标为顶点纵坐标， 当时，，图象最低点的纵坐标为， 此时， 当时，，图象最低点的纵坐标为， 此时； 情况三：当图象在对称轴右边时，，不符合，不讨论； 综上所述，； ②， 反比例函数在第一、三象限， 反比例函数的图象与图象围成的封闭图形如下图所示： 抛物线顶点坐标为，与x轴交于、两点， 封闭图形内点需满足，， 封闭图形内恰有个横纵坐标均为整数的点， ，一定在封闭图形内， 若在封闭图形内，则一定也在封闭图形内， 若在封闭图形内，则和一定也在封闭图形内， 若在封闭图形内，则一定也在封闭图形内， 封闭图形内的满足条件的个点只能为，，，， 考虑横坐标，和要在封闭图形内，则有，解得； 考虑纵坐标，当时，要使在封闭图形内，则有，解得； 当时，要使在封闭图形内，则有，解得； 综上所述，符合条件的的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $