1.3集合的基本运算 综合训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦集合基本运算，通过基础到综合的层级设计，整合交并补运算与函数定义域、不等式解集等知识，培养抽象能力与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|选择1-6、填空1-2、解答1-2|直接考查交并补运算及Venn图表示|从集合概念到运算规则的直接应用| |综合应用|选择7-8、填空3-5、解答3-5|结合函数定义域、不等式参数、容斥原理|单一运算到多知识点交叉（集合与函数、不等式）| |创新拓展|填空4|新定义运算|通过新运算符号构建集合关系，发展创新意识|

2026-2027学年人教版数学高一上学期必修一 1.3集合的基本运算综合练习题 1、 选择题 1.已知全集，集合，则（     ）。 A． B． C． D． 2.已知，，，则（     ）。 A． B． C． D． 3.已知函数的定义域为，的定义域为，则（     ）。 A． B． C． D． 4.若不等式组的解集非空，则实数a的取值范围是（     ）。 A． B． C． D． 5.设S是全集，集合M、P是它的子集，则图中阴影部分可表示为（     ）。 A． B． C． D． 6.设，M，N为U的子集，若，，，则下列结论正确的是（     ）。 A．， B．， C．， D．， 7.已知集合，对于它的任一非空子集，可以将中的每一个元素都乘以再求和，例如，则可求得和为，对的所有非空子集，这些和的总和为（     ）。 A．92 B．96 C．100 D．192 8.已知集合，，则集合中的元素个数为（    ）。 A．5 B．6 C．7 D．8 二、多选题 1.下列命题中，当U为全集时，下列说法正确的是（    ）。 A．若，则 B．若，则或 C．若，则 D．若，则 2.已知，则下面选项中不成立的是（    ）。 A． B． C． D． 3.已知集合，集合，则（    ）。 A． B． C． D． 4.图中阴影部分用集合符号可以表示为（    ）。 A． B． C． D． 三、填空题 1.若，，，则________。 2.已知集合，集合，那么集合的子集个数为 个。 3.某校有17名学生，每人至少参加全国数学､物理､化学三科竞赛中的一科，已知其中参加数学竞赛的有11人，参加物理竞赛的有7人，参加化学竞赛的有9人，同时参加数学和物理竞赛的有4人，同时参加数学和化学竞赛的有5人，同时参加物理和化学竞赛的有3人，则三科竞赛都参加的有___________人。 4.约定与是两个运算符号，其运算法则如下：对任意实数，，有，。设且，，集合，则集合____________。（用列举法表示） 5.已知集合。 （1）若，则实数a的取值范围是__________。 （2）若，则实数a的取值范围是__________。 （3）若，则实数a的取值范围是__________。 四、解答题 1.已知U={x∈R|1<x≤7}，A={x∈R|2≤x<5}，B={x∈R|3≤x≤7}。求： （1）A∪B； （2）(UA)∪(UB)。 2.集合，集合，且，求的值。 3.已知集合，（）。 （1）当时，求和； （2）是否存在实数，使得集合？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。 4.已知全集，集合，，或都是U的子集。若，问这样的实数是否存在？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由。 5.已知集合。 （1）若，求实数m的取值范围； （2）当集合A变为时，求A的非空真子集的个数； （3）若，求实数m的取值范围。 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年人教版数学高一上学期必修一 1.3集合的基本运算综合练习题 1、 选择题 1.已知全集，集合，则（     ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据补集的定义计算可得。 【详解】因为，， 所以， 故选：A。 2.已知，，，则（     ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用补集和交集的概念依次求解即得。 【详解】由，可知，， 又，故， 故选：B。 3.已知函数的定义域为，的定义域为，则（     ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式求解即可得到函数定义域，再根据集合的交集运算即可求出结果。 【详解】由题意可知，，即，所以函数的定义域为; 又，所以，所以的定义域为； 所以； 故选：D。 4.若不等式组的解集非空，则实数a的取值范围是（     ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别解出两个不等式的解，再根据集合交集的概念求解。 【详解】由题意，∴，即，解得， 故选：A。 5.设S是全集，集合M、P是它的子集，则图中阴影部分可表示为（     ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据集合的表示方法，结合韦恩图的运算，即可求解。 【详解】根据图形，可知阴影不包含，且是的子集， 根据集合的运算，可得阴影是，故选：A。 6.设，M，N为U的子集，若，，，则下列结论正确的是（     ）。 A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据题意作出图，通过图判断元素与集合的关系即可。 【详解】由题设条件可知：在中，在中不在中，不在也不在中， 画出图如图所示， 故，， 故选C。 7.已知集合，对于它的任一非空子集，可以将中的每一个元素都乘以再求和，例如，则可求得和为，对的所有非空子集，这些和的总和为（     ）。 A．92 B．96 C．100 D．192 【答案】B 【解析】确定中每个元素在其非空子集中出现的次数，然后根据这个规律求和。 【详解】的所有非空子集有个，每个元素在个集合出现， 所以所求和的总和为， 故选：B。 8.已知集合，，则集合中的元素个数为（    ）。 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】已知集合，根据，讨论得出，从而得出集合中的元素个数。 【详解】因为集合， 又因为，则： 当时，的可能取值为， 当时，， 当时，的可能取值为，，， 所以，故集合中的元素个数为7， 故选：C。 二、多选题 1.下列命题中，当U为全集时，下列说法正确的是（    ）。 A．若，则 B．若，则或 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据集合的运算法则知ACD正确，举反例得到B错误，得到答案。 【详解】若，则，A正确； 取，，满足，但且，B错误； 若，则，C正确； 若，则，D正确； 故选：ACD。 2.已知，则下面选项中不成立的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】通过取特殊集合，依次分析各选项即可。 【详解】对于A选项，由得，不妨设，则，故不满足，故A选项不成立； 对于B选项，由得，显然，满足，故B选项正确； 对于C选项，由得，由A选项知其不满足，故C选项不成立； 对于D选项，由，不妨设，显然，故不满足，故D选项不成立， 故选:ACD。 3.已知集合，集合，则（    ）。 A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据已知条件及集合的含义，求出B集合，再利用元素与集合的关系及交集与并集的定义即可求解。 【详解】由题意得，， ，选项A错误； ，选项B错误； 由集合与元素的关系得，，，选项C，D正确； 故选：CD。 4.图中阴影部分用集合符号可以表示为（    ）。 A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】在阴影部分区域内任取一个元素，分析与集合、、的关系，利用集合的运算关系，逐个分析各个选项，即可得出结论。 【详解】如图，在阴影部分区域内任取一个元素，则或，所以阴影部分所表示的集合为 ，再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为， 所以选项AD正确，选项BC不正确， 故选：AD。 三、填空题 1.若，，，则________。 【答案】 【分析】根据补集的结果，得到，求解，即可得出结果。 【详解】因为，，， 所以，解得， 故答案为：。 2.已知集合，集合，那么集合的子集个数为 个。 【答案】8 【分析】可以求出集合M，N，求得并集中元素的个数，从而得出子集个数。 【详解】∵M＝{﹣1，1}，N＝{1，2}； ∴M∪N＝{﹣1，1，2}； ∴M∪N的子集个数为23＝8个； 故答案为8。 3.某校有17名学生，每人至少参加全国数学､物理､化学三科竞赛中的一科，已知其中参加数学竞赛的有11人，参加物理竞赛的有7人，参加化学竞赛的有9人，同时参加数学和物理竞赛的有4人，同时参加数学和化学竞赛的有5人，同时参加物理和化学竞赛的有3人，则三科竞赛都参加的有___________人。 【答案】 【分析】设参加数学、物理、化学竞赛的学生组成集合、、，根据已知条件结合集合间的运算即可求解。 【详解】 设参加数学竞赛的学生组成集合，参加物理竞赛的学生组成集合，参加化学竞赛的学生组成集合， 根据题意可得：，，，， ，，， 因为 所以， 解得：， 所以三科竞赛都参加的有人， 故答案为：。 4.约定与是两个运算符号，其运算法则如下：对任意实数，，有，。设且，，集合，则集合____________。（用列举法表示） 【答案】/ 【分析】根据条件得到（），再由且，得到或，即可求解。 【详解】由题意得：且①， 又且，， 则当，时；； 当，时，； 所以,故答案为：。 5.已知集合。 （1）若，则实数a的取值范围是__________。 （2）若，则实数a的取值范围是__________。 （3）若，则实数a的取值范围是__________。 【答案】 【分析】利用集合间的关系，即可得出答案。 【详解】（1）若，得， 所以实数a的取值范围是； （2），即，所以， 所以实数a的取值范围是； （3）若，即，所以， 则实数a的取值范围是； 故答案为：；；。 四、解答题 1.已知U={x∈R|1<x≤7}，A={x∈R|2≤x<5}，B={x∈R|3≤x≤7}。求： （1）A∪B； （2）(UA)∪(UB)。 【答案】（1）A∪B={x|2≤x≤7} （2）(UA)∪(UB)={x|1<x<3或5≤x≤7} 【分析】（1）直接利用并集的定义求解即可； （2）先求出集合A，B的补集，再求两个集合的补集。 【详解】（1）因为A={x|2≤x<5}，B={x|3≤x≤7}， 所以A∪B={x|2≤x≤7}； （2）因为U={x|1<x≤7}，A={x∈R|2≤x<5}，B={x∈R|3≤x≤7}， 所以UA={x|1<x<2或5≤x≤7}，UB={x|1<x<3}； 所以(UA)∪(UB)={x|1<x<3或5≤x≤7}。 2.集合，集合，且，求的值。 【答案】2或3 【解析】化简集合，再根据可得，即可得答案； 【详解】，， ，， ， 当，此时，符合题意； 当，此时，， 综上所述：的值2或3。 3.已知集合，（）。 （1）当时，求和； （2）是否存在实数，使得集合？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。 【答案】（1），=或 （2）存在， 【分析】（1）代入，根据集合的运算律求解；（2）假设存在实数，使得集合，列方程求实数，由此可得结果。 【详解】（1）当时，，   ∵   ∴ ，     =或； （2）假设存在实数满足条件， ∵ ，由，有， 由，则， 解得：， 故存在，使得集合。 4.已知全集，集合，，或都是U的子集。若，问这样的实数是否存在？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由。 【答案】存在这样的实数a，且a的取值范围是。 【分析】将分为空集和非空集两种情况分类讨论，结合列不等式，解不等式求得的取值范围。 【详解】因为，所以应分两种情况: （1）若，则，因此，即； （2）若，则，即； 又，或， 所以， 又，所以或， 即或，即， 又，故此时不存在； 综上，存在这样的实数，且的取值范围是。 5.已知集合。 （1）若，求实数m的取值范围； （2）当集合A变为时，求A的非空真子集的个数； （3）若，求实数m的取值范围。 【答案】（1） （2）254 （3）或 【分析】（1）因为，所以A，分类讨论和即可得出答案； （2）当时，A中共有8个元素，即可求出A的非空真子集的个数； （3）若，分类讨论和，即可求出实数的取值范围。 【详解】（1）因为，所以， 当时，由，得，符合题意， 当时，根据题意，可得 解得2≤m≤3， 综上，实数的取值范围是； （2），共有个元素， 所以A的非空真子集的个数为； （3）当时，由（1）知， 当时， 可得或，解得； 综上，实数的取值范围是或。 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $