y = sin(ωx + φ)的图象与性质 综合训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦三角函数图象与性质，通过概念辨析、图象变换、性质应用的层级设计，系统整合周期、平移、单调性等核心知识点，培养几何直观与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|单选1-4|周期/振幅/初相识别、平移伸缩变换|从参数定义到图象变换规则，构建概念生成链| |性质应用|单选5-8、多选9/11、填空12-14|由图求解析式、奇偶性、值域、单调区间|结合图象特征推导性质，强化数形结合思维| |综合解答|解答15-19|对称性、零点、五点法作图|整合参数求解、图象变换与性质应用，形成问题解决闭环|

函数的图象与性质 专题训练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．函数的周期、振幅、初相分别是（    ） A．，2， B．，， C．，2， D．，2， 【答案】D 【分析】由函数解析式观察出振幅，初相，再由公式求出函数的周期即可. 【详解】函数， 振幅是2，初相是， 又的系数是，故函数的最小正周期是， 故选：D． 2．要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（    ） A．先向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） B．先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变） C．先向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） D．先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变） 【答案】A 【分析】利用两角和的余弦公式化简为，再由函数的图象变换规律得出结论． 【详解】， 将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度得到，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到， 故选：. 3．先将函数的图象向右平移，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】遵循三角函数图象变换的“左加右减”平移规则和横坐标伸缩变换规则得到的解析式. 【详解】将函数的图象向右平移，可得到函数 的图象， 再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变，得到函数的图象， 故. 4．将函数的图象向左平移个单位长度，所得函数图象与函数的图象重合，则实数的最小值（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用图象变换和诱导公式求出m的最小值. 【详解】，而. 函数的图象向左平移个单位长度， 可得， 因为平移后所得函数图象与函数的图象重合， 所以，，解得，， 因为，所以当时，取得最小值. 5．已知函数（，）的部分图象如图所示.将函数的图象向右平移（）个单位长度，得到函数的图象.若函数为奇函数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图象和正弦函数的性质先求出周期，再根据以及求出和，从而利用三角函数的奇偶性确定平移的最小距离. 【详解】由图可知，即 由，即，则， 又图象过点，所以，即，点在原图象的增区间上， 所以可取，，可得； 的图象向右平移（）个单位得到的图象， 可得， 又为奇函数，所以，， 即，， 又，所以. 故选：A. 6．函数在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由于由图可知：，故可得，因为最大值为2，且，故， 此时函数解析式为，因为图中最高点的坐标是， 所以，，解得，． 又因为，所以， 所以函数解析式为 7．已知函数在上的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，作出的图象，数形结合可得答案. 【详解】令，由，得：， 原题转化为在上的值域为， 作出的图象， 由，结合图象， 可得：， 解得：. 故选：C 8．已知函数是偶函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦型函数的奇偶性可得出关于的等式，结合可得出的值. 【详解】因为函数是偶函数，则， 所以，又因为，故， 故选：D. 二、多选题 9．已知函数的图象经过点，则下列说法正确的是（    ） A．若的最小正周期为，则 B．若的图象关于点中心对称，则 C．若在上单调递增，则的取值范围是 D．若方程在上恰有两个不同的实数解，则的取值范围是 【答案】ACD 【分析】将点的坐标代入解析式，求得的值，根据周期公式可判断选项A，根据已知点可求得的值，可判断B，根据的取值范围得到的取值范围，再依据单调递增区间可判断选项C，根据零点个数以及整体代入法可求得选项D. 【详解】因为函数的图象经过点， 所以，而，所以，即， 选项A，的最小正周期是，则，A正确； 选项B，的图象关于点中心对称， 则（因为），B错误； 选项C，时，， 则，解得，C正确； 选项D，时，， 方程在上恰有两个不同的实数解， 即方程在上恰有两个不同的实数解， 则，解得，D正确. 故选：ACD. 10．为了得到函数的图象，只要将函数的图象（    ） A．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度 B．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度 C．向左平移个单位长度，纵坐标不变，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 D．向左平移个单位长度，纵坐标不变，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来 【答案】AC 【分析】根据函数图象的变换法则，从两种方式：先平移后伸缩，先伸缩后平移，进行考虑，即可． 【详解】对于A和B，将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象，再将其向左平移个单位长度，得到，故A正确，B错误； 对于C和D，将函数的图象向左平移个单位长度，纵坐标不变，得到的图象，再将所有点的横坐标缩短到原来的，得到，故C正确，D错误． 故选：AC． 11．已知函数的最大值为3，且的一个零点为，则（       ） A． B． C． D．在上的值域为 【答案】ABC 【分析】根据三角函数的最值判断A；由零点计算得出判断B；应用对称性计算判断C；应用正弦函数的值域计算求解判断D. 【详解】对于A，由的最大值为3，得，则，A正确； 对于B，由的一个零点为，得，又，则，B正确； 对于C，由B知，， 直线为图象的一条对称轴，则，C正确； 对于D，当时，，当时，的值域为， 当时，则的值域为，D错误. 故选：ABC 三、填空题 12．已知对任意都有，则等于________． 【答案】 【分析】由给定等式可得图象的一条对称轴，再借助正弦型函数的性质即可得解. 【详解】因对任意都有，则直线是图象的一条对称轴， 所以. 故答案为： 13．函数，的单调递减区间是__________． 【答案】 【分析】利用诱导公式变形，根据余弦函数的性质计算可得； 【详解】解：． 由，得，． 的单调减区间为，，； 因为，所以令得函数，在上的单调递减区间是； 故答案为： 14．已知函数在上有最大值，无最小值，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】设，求出的范围，结合正弦函数的图象，依题意得到不等式组,解之即得. 【详解】因，设，当时，， 作出在上的图象如图. 要使区间上有最大值，无最小值，需使, 解得，，即的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 15．已知． (1)求函数的对称轴和对称中心； (2)当时，求函数的单调递增区间； (3)若函数在区间的值域为，求实数a的取值范围． 【答案】(1)函数的对称轴为直线，对称中心为. (2) (3) 【分析】（1）先确定函数的最小正周期，求出，然后利用整体代换法可求对称轴和对称中心公式求出即可. （2）根据正弦函数的单调性求解即可. （3）根据正弦函数的值域和图象进行求解即可. 【详解】（1）令，得. 所以函数的对称轴为直线； 令，得. 所以函数的对称中心为. （2）令，解得. 又，所以函数的单调递增区间为，. （3）因为，所以， 因为函数在区间上的值域为， 所以在区间上的值域为， 在区间上的值域为， 所以结合正弦函数的图象可得，解得. 所以实数的取值范围为. 16．已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)若函数在区间上恰好有二个零点，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据图象确定及的周期，从而求得，再利用特殊点坐标代入中，进而求出，即可得出的解析式； （2）将函数在区间上恰好有二个零点，转化为与在区间上恰好有二个交点，再根据正弦型函数的性质求的单调区间及对应的值域，进而利用数形结合即可求解． 【详解】（1）由，则根据图象可得， 又，解得， 所以， 又， 则，，又，得， 故． （2）由，则， 又在上单调递增，对应的值域为； 在上单调递减，对应的值域为， 又函数在区间上恰好有二个零点， 即与在区间上恰好有二个交点，如下图： 所以，即． 故实数k的取值范围为． 17．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 5 0 （Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式； （Ⅱ）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象．若图象的一个对称中心为，求的最小值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）． 【详解】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得．数据补全如下表： 0 0 5 0 0 且函数表达式为． （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，得． 因为的对称中心为，． 令，解得，． 由于函数的图象关于点成中心对称，令， 解得，．由可知，当时，取得最小值． 考点：“五点法”画函数在某一个周期内的图象，三角函数的平移变换，三角函数的性质． 18．设函数（为常数，且，，）的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递增区间及对称中心； (3)求的解集． 【答案】(1) (2)的单调递增区间为， 的对称中心为 (3) 【详解】（1）由图知，， 由，得， 又，所以， 因为的图象过点， 所以，解得， 又，所以， 所以； （2）由， 得， 所以的单调递增区间为， 由，得， 所以的对称中心为； （3）因为，所以， 所以， 解得， 所以的解集为． 19．已知函数（，，）的部分图象如图所示． (1)求的解析式： (2)求的单调递增区间； (3)若将的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位得到的图象，当时，求的值域． 【答案】(1) (2)单调递增区间是， (3) 【分析】（1）利用函数图象列出，解得，，结合函数的周期，求解，利用函数的最大值求解，然后得到函数的解析式； （2）利用正弦函数的单调性求解函数的单调区间即可； （3）求出，通过的范围，求解相位的范围，结合正弦函数的值域求解即可． 【详解】（1）由图象可知：，解得：，， 又由于，可得：，所以， 由图象知，，又因为， 所以，．所以． （2）由，，得，． 函数的单调递增区间是，． （3）依题可得，因为， 则，所以， 即的值域为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数的图象与性质 专题训练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．函数的周期、振幅、初相分别是（    ） A．，2， B．，， C．，2， D．，2， 2．要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（    ） A．先向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） B．先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变） C．先向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） D．先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变） 3．先将函数的图象向右平移，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 4．将函数的图象向左平移个单位长度，所得函数图象与函数的图象重合，则实数的最小值（     ） A． B． C． D． 5．已知函数（，）的部分图象如图所示.将函数的图象向右平移（）个单位长度，得到函数的图象.若函数为奇函数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 6．函数在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 7．已知函数在上的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数是偶函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数的图象经过点，则下列说法正确的是（    ） A．若的最小正周期为，则 B．若的图象关于点中心对称，则 C．若在上单调递增，则的取值范围是 D．若方程在上恰有两个不同的实数解，则的取值范围是 10．为了得到函数的图象，只要将函数的图象（    ） A．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度 B．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度 C．向左平移个单位长度，纵坐标不变，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 D．向左平移个单位长度，纵坐标不变，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来 11．已知函数的最大值为3，且的一个零点为，则（       ） A． B． C． D．在上的值域为 三、填空题 12．已知对任意都有，则等于________． 13．函数，的单调递减区间是__________． 14．已知函数在上有最大值，无最小值，则的取值范围是________. 四、解答题 15．已知． (1)求函数的对称轴和对称中心； (2)当时，求函数的单调递增区间； (3)若函数在区间的值域为，求实数a的取值范围． 16．已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)若函数在区间上恰好有二个零点，求实数k的取值范围． 17．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 5 0 （Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式； （Ⅱ）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象．若图象的一个对称中心为，求的最小值． 18．设函数（为常数，且，，）的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递增区间及对称中心； (3)求的解集． 19．已知函数（，，）的部分图象如图所示． (1)求的解析式： (2)求的单调递增区间； (3)若将的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位得到的图象，当时，求的值域． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $