1.1.2 空间向量的数量积运算同步练习—-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量数量积运算，通过基础概念辨析、几何模型应用到综合情境探究的三层设计，实现从单一运算到空间建模的能力进阶，适配新授课知识巩固与思维发展。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|数量积定义、夹角计算|3道单选直接考查数量积公式及投影向量概念，强化运算能力| |发展层|几何模型（三棱锥、平行六面体）、命题辨析|8道题结合空间几何体，发展空间观念与推理意识| |综合层|复杂情境（圆柱、正方体、正四面体）|3道题需构建向量模型解决最值问题，体现数学建模与创新意识|

1.1.2空间向量的数量积运算 1.已知空间向量a,b,c满足a+2b+V7c=0,|aHb日c=1,则a与b的夹角为() 个 5π 2π A.6 B.6 C.3 D.3 3 OB= OC 2.三棱锥0-ABC中，OA,OB,OC两两垂直， 2 3,则OA+OB与CA的 夹角的余弦值为() 2V15 5 √5 A.15 B.5 C.6 D.2 -b 3.已知a,b是两个空间单位向量，且向量2a+b在向量b上的投影向量为3，则向量a与向 量b的夹角的余弦值为() 22 22 A.3 B.3 C3 D.3 4.如图，三棱锥O-ABC中， ∠AOB=LBOC=∠AOC=T 3,OA=2OB=2,若CB⊥OA,则 OC=() 0 A.1 B.2 c.2 D.5 5.如图，在平行六面体ABCD-ABCD中，底面是边长为1的正方形，若 ∠AAB=∠AAD=60°，且A4=3,则4C的长为() D A B B A.3 B.13 C.4 D.vi7 6.已知正四棱锥P-ABCD的所有棱长均为1，O为底面ABCD内一点，且 PO-1PA+1PB+1PC 2 ,则POPB=() 5 2 5 4 A.12 B.12 C.8 D.3 7.(多选)已知α，b为空间中的任意两个非零向量，则下列各式正确的有() a.bb A.a-ap B.a2 a C.(ab)2=a2.b2 D.(a-b)2=a2-2a-b+b2 8.(多选)以下命题为真命题的是() A.a-|bKa+b是a,b不共线的充要条件 B.(ab)c=b(ac)=(bc）a C.向量a在向量b上投影的数量为acos(a,b) D.在四面体ABCD中，AB.CD=0,AC·BD=0,则AD·BC=0 9.如图，边长为4的正方形ABCD是圆柱OO的轴截面，M为上底面圆O内一点，则MAMB 的最小值为() M、O B A.6 B.8 C.10 D.12 10.己知EF是棱长为8的正方体的一条体对角线，点M在正方体表面上运动，则ME·MF的 最小值为() A.-48 B.-32 C.-16 D.0 1已知a,6是空间两个向量，若a卡2，b外2，Q6- 2,则cos(a,b)= 12.在斜三棱柱ABC-AB,G中，底面边长和侧棱长都为2，且∠BA4=∠CA4=60°，则 AB·BC的值为 13.在三棱锥O-ABC中，OA⊥OB,OA⊥OC,∠BOC=60°，OA=OB=OC=2,若E为 OA的中点，F为BC的中点，则EF= 14.已知正四面体ABCD的棱长为2，点E为AB的中点，点F为BC的中点，求ED·AF的值。 答案以及解析 1.答案：C 解析：设a与b的夹角为8.由a+2b+V7c=0,得a+2b=-V7c,两边平方得 得cos0-I 士4：b+4c所以叶4x1 xlxcos0+4=7解得2又00，风，所以03 故选C. 2.答案：C 解析：不妨设OA=1,则OB=√2，OC=V3.因为OA,OB,OC两两垂直，所以 (04+0B).C4=(04+0B)(04-0C)=04-04.0C+0B.04-0B.OC-04P=1. OA+OB√@A+OB=VO+0B+2OA.OB=5,在Rt△A0C中，1CA (OA+OB)·CA 15 CA=VP+(W32=2,所以cos(O4+-0B,CA1OA+0BCA5x26 3.答案：D b 解析：a,b是两个单位向量，aHb=1~向量2a+b在向量上的投影向量为3， 2a+-b bb (2at00.即a+0b8a6-b得 b11b13, 1 1 2ab+1= a.b=- ab cos(a,b)=-3 .cos(a,b)= 3,即 3, 3故选D. 4.答案：A 解析：由题意可知CB=OB-OC,而CB⊥OA,故CB⊥OA,∴CB.OA=0,即 O5-0C-01=0,所以O5.0i-0C0i=0,则1×2xo号-210C1eos于0 3，解得 0C=1,即OC=1,故选A. 5.答案：D 解桥：因为4G=6+C+C=+D+4,所以C- (4B+4D+44)-AB+AD+44+24B.AD+24B.44+2AD=1+1+9+2x0+ 2xwx32xx3x”.可Ce ,故选D 6.答案：C 解析：如图所示，由正四棱锥P-ABCD的所有棱长均为1，可知 (PA PB)=(PB,PC)= 3, 且PAHPBHPC=L,所以 A-PB-PC.PB=cos=1 32,PBPB=1,所以 m丽-++m-丽+m+风历-+ 7.答案：AD 解析：由数量积的性质和运算律可知，A,D正确. a~b_a‖b|cos(a,b_b|cosa,b） 对于B,a2 |a2 |a,向量无除法运算，故B错误：对于C, (a-b2=(al-bl-cos(a,b)2=a2.b2.cos(a,b),,故C错误.故选AD. 8.答案：CD 解析：A是假命题，若=0，b≠0，显然命题不成立；B是假命题，三个运算结果均为向量， 但它们不一定相等：易知C是真命题；D是真命题， AD.BC=(AC+CD).(AC-AB)=AC'-AC.AB+CD.AC-CD.AB =AC.(AC-AB+CD)=AC·(BC+CD)=AC·BD=0.故选CD 9.答案：D 解折：方法一：M-派-(M0+0A小(Mo+08)=M0-0f=MO-2≥4-2=12 当且仅当M与O重合时，等号成立，故MA·MB的最小值为12.故选D. 方法二：~O为线段AB的中点， a-M=×[2wo列-a】 }(wo-亚)-a可-4，当点4与点0重合时， 取得最小值，此时MO=4 .(MA.MB)m=4-4=12故选D. 10.答案：B 解析：如图，EF是棱长为8的正方体的一条体对角线，其长度为V⑧+8+82=8V3设EF中 点为O,则OF=-OE,且OEHOF=4V5,则ME.MF=(M0+OE)·(MO+OF)= M0+OE)·(M0-OE)MOP-OE-MOP-(4W520MP-48.由于点M在正方体表面上 运动，故OM的最小值为0点与正方体一个面的中心连线的长，即为正方体棱长的一半， 8 =4 为2，所以ME·MF的最小值为42-48=-32.故选B. 1 11.答案：8 1 a.b= 解析：6 cos(a,b)=a.b=I 2,故 ab8,故答案为8. 12.答案：4 解析：根据题意，AB=AB+AA,BC=BA+AC+CC=-AB+AC+AA, ∠BM4=∠CA4=∠BAC=60°，则B·BC=(AB+A4)(-AB+AC+A4) =-AB+AB.AC+AC·AA+A4,=-4+2×2xc0s60°+2×2×c0s60°+4=4」 13.答案：2 解折：~F=0F-0死-O丽+000i乐-0+0c-0a 406+0C+01+20B-0c-208.01-20c-0A.又由已知每10AH0BH0c2, L0B,O4L0c0B-0C=2x2x=2F=x4+4+4+494F2, 2 4 EF=2.故答案为2. 14.答案：2 ED=AD-1AB 解析：如图，因为E为AB的中点，F为BC的中点，所以 21 F-6+a0-6+号4C B 因为正四面体ABCD的棱长为2，所以 DF-(0-}}西+号4C =)BD-}P+号D.AC-4丽4c 方2x2xoas60-x2+号2x2xa60-2x2xcs60=1-1+1-月月