1.1.2空间向量的数量积运算同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量数量积运算，通过基础巩固-综合应用-创新拓展三层设计，实现从概念理解到复杂情境建模的递进，培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|投影向量、数量积定义、简单几何体计算|单选/填空（1-8题），直接应用公式，强化概念理解| |提升层|模长与夹角综合、垂直证明、多面体向量表达|解答题（10题）、多选题（12题），结合三棱柱与平行六面体，培养逻辑推理| |拓展层|动态问题、复杂几何体建模|选填压轴（15-16题），正方体体对角线与动点问题，发展空间观念与创新意识|

2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 同步练1.1.2　空间向量的数量积运算 [分值：100分] 单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共73分 1.已知|a|=2，空间向量e为单位向量，〈a，e〉=，则空间向量a在向量e方向上的投影向量为(　　) A.e B.e C.-e D.-e 2.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，D为A1B的中点，则·等于(　　) A.-1 B.- C. D.1 3.平行六面体(底面为平行四边形的四棱柱)ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都为1，且∠A1AD=∠A1AB=60°，∠DAB=45°，则BD1等于(　　) A.-1 B.-1 C. D.- 4.(多选)如图所示，已知空间四边形每条边和对角线长都为a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是(　　) A.2· B.2· C.2· D.2· 5.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为棱CC1上任意一点，则·等于(　　) A.1 B.2 C.-1 D.-2 6.已知空间向量a，b，c满足a+b+c=0，|a|=2，|b|=3，|c|=4，则a与b的夹角为(　　) A.30° B.45° C.60° D.以上都不对 7.(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列命题是真命题的是(　　) A.(++)2=3 B.·=0 C.与的夹角为60° D.正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|·||| 8.已知向量a，b满足=1，=2，且(b-2a)⊥b，则=　　　　　　. 9.在棱长均为1的三棱柱ABC-A1B1C1中，∠A1AB=∠A1AC=，M为线段BC的中点，则线段A1M的长度为　　　　　. 10.(13分)如图，所有棱长都为2的斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠A1AB=∠A1AC=60°，G，H分别是BC，A1C1的中点. (1)求四边形BCC1B1的面积；(5分) (2)求直线A1C1与GH所成角的余弦值.(8分) 11.如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，M，N分别为BC，AD的中点，且在方向上的投影向量为μ，则μ的值为(　　) A. B. C. D. 12.(多选)如图，在四面体ABCD中，设=a，=b，=c，下列条件能证明⊥的是(　　) A.a·b=a·c B.||=||，||=||，||=|| C.||=||，||=|| D.·=0，·=0 答案　ACD 13.在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=2，OC=3，G为△ABC的重心，则·(++)=　　　　. 14.(14分)如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD且为锐角. (1)求证：CC1⊥BD；(6分) (2)当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明.(8分) 15.已知EF是棱长为6的正方体的一条体对角线，点M在正方体表面上运动，则·的最小值为(　　) A.0 B.-9 C.-18 D.-36 16.如图，在三棱锥A-BCD中，AB，AC，AD两两垂直，AB=3，E，M在棱AB上，N，F在棱AC上，P，G在棱AD上，且AE=EM=MB，AN=NF=FC，AP=PG=GD，平面EFG∩平面MNP=O1O2，点O为线段O1O2上的一个动点(不包括端点)，则·等于(　　) A.4 B.2 C.3 D.1 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 同步练1.1.2　空间向量的数量积运算参考答案 [分值：100分] 单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共73分 1.已知|a|=2，空间向量e为单位向量，〈a，e〉=，则空间向量a在向量e方向上的投影向量为(　　) A.e B.e C.-e D.-e 答案　C 解析　由投影向量公式得空间向量a在向量e方向上的投影向量为|a|cos〈a，e〉e=2×cose=-e. 2.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，D为A1B的中点，则·等于(　　) A.-1 B.- C. D.1 答案　D 解析　因为D为A1B的中点，故=+， 在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥AC，故·=0， 于是·=·+·=||||cos∠BAC=×2×2×=1. 3.平行六面体(底面为平行四边形的四棱柱)ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都为1，且∠A1AD=∠A1AB=60°，∠DAB=45°，则BD1等于(　　) A.-1 B.-1 C. D.- 答案　C 解析　如图，因为=-+， 所以||2=|-+|2=||2+||2+||2 -·-2·+2· =1+1+1-2×1×1×cos 45°-2×1×1×cos 60°+2×1×1×cos 60°=3-，所以||=. 4.(多选)如图所示，已知空间四边形每条边和对角线长都为a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是(　　) A.2· B.2· C.2· D.2· 答案　BC 解析　对于A，2·=2a2cos 120°=-a2，A错误； 对于B，2·=2·=2a2cos 60°=a2，B正确； 对于C，2·=·=a2，C正确； 对于D，2·=·=-·=-a2，D错误. 5.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为棱CC1上任意一点，则·等于(　　) A.1 B.2 C.-1 D.-2 答案　A 解析　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD⊥AB，AD⊥AA1，=+，又M为棱CC1上任意一点，则=λ=λ，0≤λ≤1， ∴·=(+)·=(++λ)·=0++0=1. 6.已知空间向量a，b，c满足a+b+c=0，|a|=2，|b|=3，|c|=4，则a与b的夹角为(　　) A.30° B.45° C.60° D.以上都不对 答案　D 解析　设a与b的夹角为θ， 由a+b+c=0，得a+b=-c， 两边平方，得a2+2a·b+b2=c2， 因为|a|=2，|b|=3，|c|=4， 所以4+2×2×3cos θ+9=16， 解得cos θ=， 即A，B，C选项均不满足cos θ=. 7.(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列命题是真命题的是(　　) A.(++)2=3 B.·=0 C.与的夹角为60° D.正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|·||| 答案　ABC 解析　设正方体的棱长为a， A选项，(++)2=+++2(·+·+·)=3a2=3，A选项正确； B选项，·=(-)·(+)=(+-)·(+)=(-)·(+)+·(+)=-+·+·=a2-a2=0，B选项正确； C选项，由于△AB1D1是等边三角形，所以与的夹角为60°，C选项正确； D选项，|·|||=0，所以D选项错误. 8.已知向量a，b满足=1，=2，且(b-2a)⊥b，则=　　　　　　. 答案　 解析　因为(b-2a)⊥b， 所以(b-2a)·b=0，即b2=2a·b， 又因为=1，=2， 所以1+4a·b+4b2=1+6b2=4， 从而=. 9.在棱长均为1的三棱柱ABC-A1B1C1中，∠A1AB=∠A1AC=，M为线段BC的中点，则线段A1M的长度为　　　　　. 答案　 解析　连接AM，因为=-=+-， 所以=+++·-·-·， 又三棱柱ABC-A1B1C1的棱长均为1，∠A1AB=∠A1AC=∠CAB=， 所以=++1+cos-cos-cos=，则=. 10.(13分)如图，所有棱长都为2的斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠A1AB=∠A1AC=60°，G，H分别是BC，A1C1的中点. (1)求四边形BCC1B1的面积；(5分) (2)求直线A1C1与GH所成角的余弦值.(8分) 解　(1)令=a，=b，=c，则|a|=|b|=|c|=2，a·b=a·c=c·b=2， =b-a，=c， ·=(b-a)·c=b·c-a·c=0， ∴⊥，∴四边形BCC1B1是边长为2的正方形， ∴四边形BCC1B1的面积为4. (2)如图，连接AG，AH，由(1)得=b， =-=(+)-+)=-(b+a)=c-a， ∴||===， ||=2， ∴·=b·=b·c-b·a=1， 设直线A1C1与GH所成的角为θ， 则cos θ=|cos〈，〉|===， ∴直线A1C1与GH所成角的余弦值为. 11.如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，M，N分别为BC，AD的中点，且在方向上的投影向量为μ，则μ的值为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由题知，在方向上的投影向量为··， 又·=-+)·+) =-+)·(-+-) =-+)·(-2+) =-(-2·+·-2+·)=-×(-2×1×1×cos 60°+1×1×cos 60°-2×1+1×1×cos 60°)=， 且= ==， 所以··=·=，所以μ=. 12.(多选)如图，在四面体ABCD中，设=a，=b，=c，下列条件能证明⊥的是(　　) A.a·b=a·c B.||=||，||=||，||=|| C.||=||，||=|| D.·=0，·=0 答案　ACD 解析　因为=-=c-b， 要证⊥，即证·=a·(c-b)=a·c-a·b=0. 对于A选项，由a·b=a·c，则a·c-a·b=0，所以⊥成立，故A正确； 对于B选项，将四面体ABCD放入长方体中，使||与||，||与||，||与||分别为相对面的对角线长， 显然AB与CD不一定垂直，如图，当长方体的底面不为正方形时，AB与CD不垂直，故B错误； 对于C选项，因为||=||，||=||， 即|b|=|b-a|和|c|=|c-a|，平方得b2=a2-2a·b+b2，c2=a2-2a·c+c2， 即|a|2=2a·b和|a|2=2a·c， 所以a·b=a·c，结合A选项分析，故C正确； 对于D选项，由·=0得·-·=0，即b·c=a·b， ① 由·=0得·-·=0，即b·c=a·c， ② 由①②得a·b=a·c，所以结合A选项分析，故D正确. 13.在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=2，OC=3，G为△ABC的重心，则·(++)=　　　　. 答案　 解析　∵OA，OB，OC两两垂直， ∴·=·=·=0， 且=， 故·(++)=++)2 =(||2+||2+||2) =×(1+4+9)=. 14.(14分)如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD且为锐角. (1)求证：CC1⊥BD；(6分) (2)当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明.(8分) (1)证明　设=a，=b，=c.依题意有|a|=|b|， =-=a-b. 设，，两两夹角均为θ， 于是·=c·(a-b)=c·a-c·b=|c||a|cos θ-|c||b|cos θ=0， ∴CC1⊥BD. (2)解　若A1C⊥平面C1BD， 则A1C⊥DC1，A1C⊥BD. 由·=(+)·(-) =(a+b+c)·(a-c) =|a|2-a·c+a·b-b·c+c·a-|c|2 =|a|2-|c|2+|b||a|cos θ-|b||c|cos θ =(|a|-|c|)(|a|+|c|+|b|cos θ)=0， 得当|c|=|a|时，A1C⊥DC1. 同理可证，当|a|=|b|时，A1C⊥BD. ∴当=1时，A1C⊥平面C1BD. 15.已知EF是棱长为6的正方体的一条体对角线，点M在正方体表面上运动，则·的最小值为(　　) A.0 B.-9 C.-18 D.-36 答案　C 解析　如图，EF是棱长为6的正方体的一条体对角线，也是正方体外接球的一条直径，由正方体的特征可得其外接球的半径为=3，设外接球球心为O，则=-， 则·=(+)·(+)=(+)·(-) =||2-||2=||2-=||2-27， 由于点M在正方体表面上运动，故||的最小值为球心O与正方体表面的中心连线的长， 即为正方体棱长的一半，为=3，所以·的最小值为32-27=-18. 16.如图，在三棱锥A-BCD中，AB，AC，AD两两垂直，AB=3，E，M在棱AB上，N，F在棱AC上，P，G在棱AD上，且AE=EM=MB，AN=NF=FC，AP=PG=GD，平面EFG∩平面MNP=O1O2，点O为线段O1O2上的一个动点(不包括端点)，则·等于(　　) A.4 B.2 C.3 D.1 答案　B 解析　连接EN，MF(图略)， ∵AE=EM，AN=NF， ∴EN∥MF且EN=MF， ∴=， ∴=+=+=+-)=+， 同理可得=+. 由点O为线段O1O2上的一个动点(不包括端点)，可设=x+(1-x) =x+(1-x) =++(0<x<1)， 又||=1，⊥，⊥， ∴·=·+·+·=×1×3=2. . 学科网（北京）股份有限公司 $