25.1 一元二次方程的概念 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件围绕“一元二次方程”展开，涵盖定义、一般形式及根等核心知识点。课堂导入从已学方程分类（分式方程、整式方程等）切入，通过“增加元”“增加次”引导思考，结合窗户面积、村BA比赛等生活实例列方程，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以雕像设计、梯子滑动等生活问题培养数学眼光，通过观察方程共同特点归纳定义发展推理意识，强调一般形式中a≠0的讨论及根的应用提升数学语言表达。采用问题驱动和对比小结，助力学生构建知识网络，教师可借助丰富实例和结构化练习提高教学效率。

21.1 一元二次方程 一元一次 方程 二元一次 方程 二元一次 方程组 增加“元” 增加“次” ？ 分式方程 方程 1.下列式子哪些是方程？ 2+6=8 2x+3 5x+6=22 x+3y=8 x-5＜18 没有未知数 代数式 一元一次方程 二元一次方程 不等式 分式方程 2.什么叫方程？你学过哪些方程？ 3.什么叫一元一次方程？ 1.我们的教室墙上的窗户，长比宽多半米，面积是3平米。请问，窗户的长与宽分别是多少？ 源自生活的问题 2.我旗区组织开展的村BA篮球比赛，需要每一个参赛队都和其它的参赛队进行一场比赛，总共进行了28场比赛。请问，一共有多少个队伍参加了比赛？ 根据题意，列方程 活动一 3.要设计一座高2m的人体雕像,使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部与全部的高度比,求雕像的下部应设计为高多少米? A C B 根据题意，列方程 活动一 分析： 4.有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600平方厘米,那么铁皮各角应切去多大的正方形? 3600cm2 100cm 50cm x 问题5：如图，一个长为 10 m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 m.如果梯子的顶端下滑 1 m,那么梯子的底端滑动多少米？ 滑动前梯子底端距墙　　m.如果设梯子底端滑动 x m ,那么滑动后梯子底端距墙　　 m .根据题意，可得方程： 72 + (x + 6)2 = 102. 化简，得 x2 + 12 x - 15 = 0. ③ 6 x+6 观察与思考 x2 + 12 x - 15 = 0 这些方程的共同特点是什么？ 共 同 特 点 从未知数个数的角度 从未知数次数的角度 从方程两边代数式的角度 只含有一个未知数 未知数的最高次数是2 方程两边都是整式 一元二次方程 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。 判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断. 看看，那个是关于x的 一元二次方程 ？ 选择一个你喜欢的一元二次方程，指出它的二次项、一次项、常数项以 及二次项系数、 一次项系数。 方法点拨：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值． a为何值时，下列方程为一元二次方程？ (1)ax2－x=2x2 (2) (a－1)x |a|+1 －2x－7=0. ④ ⑥ ⑦ 一般形式 二次项 ax2 + bx + c = 0 (a , b , c为常数, a≠0). 一次项 常数项 二次项系数 一次项系数 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c 可以为零吗？ 当 a = 0 时， bx＋c = 0 当 a ≠ 0 ， b = 0时 ， ax2＋c = 0 当 a ≠ 0 ， c = 0时 ， ax2＋bx = 0 当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ， ax2 = 0 总结：只要满足a ≠ 0 ， b ， c 可以为任意实数. 想一想 将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数. 系数和项均包含前面的符号. 注意 1. -2是下列哪一个方程的解（ ） A、-x=3+x B、x-5=-3 C、2-x=-2x D、x+3=7 2. 3是下列哪一个一元二次方程的解（ ） A、x2-x=5 B、x2-2x-6=0 C、2x2+x-7=0 D、x2-4x+3=0 3.若(a-1)x2+3x-5=0是关于x的一元二次方程，那么a的 取值范围是 。 C D a≠1 一元二次方程的根 活动 能使方程左右两边相等的未知数的值就叫方程的解。只含有一个未知数的方程的解也叫做根。 使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解（又叫做根）. 练一练：下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的解? -4 ,-3 , -2 ,-1 ,0 ,1,2,3 ,4 你注意到了吗？一元二次方程可能不止一个根. 已知a是方程 x2+2x－2=0 的一个实数根, 求 2a2+4a+2018的值. 解：由题意得 方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值． 课堂小结 活动四 一元一次方程 一元二次方程 相同点 不同点 一元一次方程与一元二次方程的异同 整式方程，只含有一个未知数 未知数最高次数是1 未知数最高次数是2 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。 课堂小测 活动五 1．若关于x的方程(a－2)x2－2ax＋a＋2＝0是一元二次方程，则a(　　) A．等于2 B．等于－2 C．等于0 D．不等于2 2.若关于x的一元二次方程(a－2)x2－(a2－4)x＋8＝0不含一次项，则a＝________． D -2 3．如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为x米，则根据题意可列出方程为____________________．化为一般形式为________________。 (22－x)(17－x)＝300 x2-39x+74＝0 4．已知关于x的一元二次方程x2＋ax＋b＝0有一个非零根－b，则a－b的值为(　　) A．1 B．－1 C．0 D．－2 5．关于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋|a|－1＝0的一个根是0，则实数a的值为(　) A．－1 B．0 C．1 D．－1或1 A A 6.已知(m－3)x2＋ x＝1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是(　　) A．m≠3 B．m≥3 C．m≥－2 D．m≥－2且m≠3 D 7．已知关于x的方程(m＋1)xm2＋1＋(m－2)x－1＝0. (1) m取何值时，它是一元二次方程?并写出这个方程； (2) m取何值时，它是一元一次方程? (1) 当 时，它是一元二次方程，解得m＝1. 当m＝1时，原方程可化为2x2－x－1＝0. 解： 8．已知关于x的方程(m＋1)xm2＋1＋(m－2)x－1＝0. (1) m取何值时，它是一元二次方程?并写出这个方程； (2) m取何值时，它是一元一次方程? 解： (2) 当m－2≠0，m＋1＝0或者当m＋1＋(m－2)≠0且m2＋1＝1时，它是一元一次方程． 解得m＝－1或m＝0. 故当m＝－1或m＝0时，它是一元一次方程． 9．若关于x的一元二次方程(2a－4)x2＋(3a＋6)x＋a－8＝0没有常数项，则a的值为________． 10．已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋m2－1＝0的常数项为0，求m的值． 8 由题意，得 解得m＝－1. 解： 12．已知关于x的一元二次方程(k＋4)x2＋3x＋k2－16＝0的一个根为0，求k的值． 11．已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0的一个根是－a(a≠0)，则a－b的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 A 把x＝0代入(k＋4)x2＋3x＋k2－16＝0， 得k2－16＝0， 解得k1＝4，k2＝－4. ∵k＋4≠0，∴k≠－4， ∴k＝4. 解： 13．已知实数a是一元二次方程x2－2 018x＋1＝0的一个根， 求代数式a2－2017a－ 的值． ∵实数a是一元二次方程x2－2 018x＋1＝0的一个根， ∴a2－2 018a＋1＝0. ∴a2＋1＝2 018a，a2－2 018a＝－1. ∴a2－2 017a－ ＝a2－2 017a－ ＝a2－2 017a－a ＝a2－2 018a＝－1. 解： 14．已知m，n是方程 x2－2x－1＝0的两个根，是否存在 实数a 使(7m2－14m＋a)(3n2－6n－7)的值等于8? 若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 由题意可知m2－2m－1＝0，n2－2n－1＝0， ∴m2－2m＝1，n2－2n＝1. ∴(7m2－14m＋a)(3n2－6n－7)＝[7(m2－2m)＋a][3(n2－2n)－7] ＝(7＋a)(3－7)＝－4(a＋7)， 由－4(a＋7)＝8得a＝－9， 故存在满足要求的实数a，且a的值等于－9. 解： 课后作业 活动七 已知k是方程x2－2 017x＋1＝0的一个不为0的根，不解方程，你能求出k2－2 016k＋ 的值吗？如果能，请写出解答过程；如果不能，请说明理由． $