15.3角的平分线（第2课时）课件 2026-2027学年沪科版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦角的平分线性质定理、逆定理及三角形内角平分线交点性质，课堂导入通过折纸、度量、尺规作图（含详细步骤）复习旧知，搭建从作图技能到性质探究的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以“猜想-证明-归纳”引导探究，培养推理意识，规范几何语言表达数学关系。通过实际问题（如学校位置确定）和三角形内角平分线交点证明，发展应用意识。结构化小结（定理、逆定理、结论）帮助学生系统掌握，教师可借助丰富例题提升教学效率。

第十五章　轴对称图形与等腰三角形 角的平分线 第2课时 沪科版八年级数学上册 1.经历探索过程，学会证明角的平分线的性质定理及其逆定理，进一步发展推理证明意识和能力． 2.能够利用角的平分线的性质定理及其逆定理证明相关结论，理解三角形三个内角的平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等． 3.能应用这两个性质解决一些简单的实际问题，增强几何空间意识. 4.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力，感悟逻辑推理在现实生活中的应用价值． 角的平分线 重点 难点 学习目标 一级标题：黑体， 思考：作角平分线的方法有哪几种？ 1.过直线上一点作已知直线的垂线就是作以已知点为顶点的平角的 . 2.过直线外一点作已知直线的垂线就是作已知直线上一条线段的 . 角平分线 垂直平分线 (1)折纸法；(2)度量法；(3)尺规作图法. 情境导入 做一做 你能利用尺规作出角平分线吗? B A O P N M 情境导入 探究 如图，OP是∠AOB的平分线，P是OP上的任一点，过点P分别作PC⊥OA，PD⊥OB，点C，D是垂足.你能猜想PC，PD长度间有什么关系吗？ B O A C D P 猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 你能用三角形全等证明PC=PD吗？ 探究新知 探究 下面我们给出上面“思考”中猜想结论的证明. 证明：∵OP平分∠AOB，(已知) ∴∠AOP=∠BOP.(角平分线定义) 又 ∵PC⊥OA，PD⊥OB，(已知) ∴∠PCO=∠PDO=90°.(垂直的定义) 在△PCO和△PDO中， ∠AOP=∠BOP，(已证) ∵ ∠PCO=∠PDO，(已证) OP=OP，(公共边) ∴△PCO≌△PDO.(AAS) ∴PC=PD. B O A C D P 探究新知 角的平分线上的点到角的两边的距离相等． B O A C D P ∵ OP平分∠AOB， PD ⊥OB ，PC ⊥OA ∴ PD=PC. 归纳 角平分线的性质定理： 推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个. 几何语言 探究新知 角的平分线上的点到角两边的距离相等． 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 思考：交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？ 这是真命题吗？ 逆命题 探究新知 证明: ∵ PD⊥OB，PC⊥OA，(已知) 　∴ ∠PDO＝∠PCO＝90°(垂直定义) 在Rt△PDO和Rt△PCO中 　 PO＝PO，(公共边) PD＝PC，(已知) ∴ Rt△PDO≌Rt△PCO. (HL) ∴ ∠ POD＝∠POC(全等三角形对应角相等) ∴点P在∠AOB的平分线上(角平分线定义) 已知：如图，PD⊥OB，PC⊥OA，点D、C为垂足，PD＝PC． 求证：点P在∠AOB的平分线上． B O A C D P 探究新知 结论：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 几何语言 ∵点P是∠AOB 内的一点，PD⊥OB于D，PC⊥OA于C，且PD=PC. ∴点P在∠AOB的平分线上， 即OP是∠AOB的平分线. (角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上) B O A C D P 探究新知 做一做　1.已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.判断下列结论是否正确： A B C D E F (1)DE=DF ( ) (2)BD=CD . ( ) (3)AD上任一点到AB，AC的距离相等 . ( ) (4)AD上任一点到B，C的距离相等 . ( ) 探究新知 做一做　2 .已知：如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交CD，CB于点E，F，FG⊥AB，垂足为点G.求证：CE=FG． 【分析】先根据角平分线的性质得出CF=FG，由HL定理得出△ACF≌△AGF，故可得出∠AFC=∠AFG，再由平行线的性质得出∠AFG=∠CEF，故可得出∠CEF=∠AFC，由此可得出结论. 探究新知 ∴∠AFG=∠CEF， ∴∠CEF=∠AFC ∴CE=CF. ∴CE=FG. 证明：∵AF是∠BAC的平分线，∠ACB=90°，FG⊥AB，∴ CF=FG. 在Rt△ACF与Rt△AGF中， ∵AF=AF. CF=FG，∴△ACF≌△AGF( HL ) ∴∠AFC=∠AFG. ∵CD⊥AB，FG⊥AB，∴CD∥FG， 做一做　2 .已知：如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交CD，CB于点E，F，FG⊥AB，垂足为点G.求证：CE=FG． 探究新知 活动1： 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？ 发现：三角形的三条角平分线相交于一点. 探究新知 活动2： 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量每组垂线段，你发现了什么？ 发现：过交点作三角形三 边的垂线段的长度相等. 你能证明这个结论吗？ 探究新知 A B C P F N Q M E 【分析】先过点P分别作PM⊥BC，PN ⊥AC，PQ⊥AB，垂足分别为点 M，N，Q.根据角平分线上的点到角两边的距离相等求得PQ =PM，PN = PM，然后再利用角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，进而求得结论． 例 已知：如图，△ABC中， ∠B的平分线BE与∠C的平分线CF相交于点P.求证：AP平分∠BAC． 应用新知 证明: 过点P分别作PM⊥BC，PN ⊥AC，PQ⊥AB，垂足分别为点 M，N，Q ∵BE是 ∠B的平分线，点P在BE上，(已知) ∴PQ =PM.(角平分线上的点到角两边的距离相等) 同理，PN = PM ∴PN = PQ.(等量代换) ∴AP 平分∠BAC(角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上) 结论：三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等. A B C P F N Q M E 例 已知：如图，△ABC中， ∠B的平分线BE与∠C的平分线CF相交于点P.求证：AP平分∠BAC． 应用新知 2.如图在四边形ABDC中，∠B=∠D =90o，∠BAC与∠ACD的平分线交于点O，且点O在线段BD上，BD=4，则点O到边AC的距离( ) A.1 B.1.5 C.2 D.3 C 1.到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形( ) A.三条中线的交点 B.三条高的交点 C.三条边的垂直平分线的交点 D.三条角平分线的交点 D 课堂练习 3.如图，∠AOB=50o，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E， 且CD=CE，则∠OCD= ． 65o 4.如图，△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC， CD＝3 cm，则点D到AB的距离为 cm． 3 第3题 第4题 课堂练习 5.如图，一所学校在公路的南侧，在河的西岸，学校到公路边与到河沿的距离相等，且与河上公路桥西首的点A 距离为 200 m.请在图上标出学校的位置，并说明理由． 河 公路 1:20 000 A 【分析】根据题意作河与公路西南边夹角的平分线即可解决问题． 课堂练习 理由:∵AC平分河与公路的夹角， ∴点B到公路与河的距离相等. l cm表示实际距离200 m. AB=1 cm， ∴点B处是学校的位置． 作河与公路西南边夹角的平分线AC，并在AC上截取AB=1 cm. 河 公路 1:20 000 A C B 5.如图，一所学校在公路的南侧，在河的西岸，学校到公路边与到河沿的距离相等，且与河上公路桥西首的点A 距离为 200 m.请在图上标出学校的位置，并说明理由． 课堂练习 6.如图，△ABC中，AD 平分∠BAC，DE ⊥AB 于点E，DF ⊥AC于点F，BD = CD.求证：∠B = ∠C． B E A D C F 【分析】由AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF ⊥AC，得出DE=DF.∠DEB=∠DFC=90o，由HL证得Rt△DEB≌Rt△DFC，得出∠B=∠C，即可得出结论． 课堂练习 B E A D C F 证明:∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF.∠DEB=∠DFC=90° 在Rt△DEB与Rt△DFC中 DE=DF，(已证) BD=CD，(已知) ∴Rt△DEB≌Rt△DFC (HL) ∴∠B=∠C 6.如图，△ABC中，AD 平分∠BAC，DE ⊥AB 于点E，DF ⊥AC于点F，BD = CD.求证：∠B = ∠C． 课堂练习 总结归纳 $