15.4 等腰三角形 课件 2025-2026学年沪科版八年级数学上册

第15章 轴对称图形与等腰三角形 15.4 等腰三角形（4课时） 第三课时 等腰（边）三角形的判定 1 第三课时 等腰（边）三角形的判定 新知预习 导学 2 知识梳理 1.等腰三角形的判定： （1）定义 有两条边______的三角形是等腰三角形. （2）定理 有两个角______的三角形是等腰三角形.简称“______对等边”. 相等 相等 等角 2.等边三角形的判定： （1）三个角都______的三角形是等边三角形. （2）有一个角是____的______三角形是等边三角形. （3）三条边都______的三角形是等边三角形. 相等 等腰 相等 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 3 课前自测 1.下列条件能判断 为等腰三角形的是( ). C A. ， B. ， C. ， D. ， 2.在中，， ，则 是______三角形. 等边 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 4 3.已知：如图1，是等边三角形，，分别交， 于点 ， . 图1 求证： 是等边三角形. 证明：是等边三角形， ，， 是等边三角形. 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 5 第三课时 等腰（边）三角形的判定 重点直击 导析 6 知识点一 等腰三角形的判定 图2 例1 已知：如图2，是 的平分线.将直尺 如图2摆放，使边与边重合，顶点 落 在边上，边与交于点 . 求证： 是等腰三角形. 思路点拨 观察图形，可利用“等角对等边”的定理判定等腰三角形，因此关键是证明 .利用角平分线的定义和平行线的性质，可实现角的等量转化. 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 7 图2 证明： 平分 ， . ， . . 是等腰三角形. 方法指导 要证明一个三角形是等腰三角形，只要证明这个三角形有两条边 相等或两个角相等即可. 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 8 针对训练 1.下列三角形中，不是等腰三角形的是( ). C A. B. C. D. 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 9 2.已知：如图3，在中，，两条高和相交于点 . 图3 求证： 是等腰三角形. 证明：， ，是的高， . ，. ，即 是等腰三角形. 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 10 知识点二 等边三角形的判定 图4 例2 已知：如图4，是等边三角形中边 上 的点，， . 求证： 是等边三角形. 思路点拨 观察图形，可利用“有一个角是 的 等腰三角形是等边三角形”证得结论.证明角或线 段相等，可通过证明三角形全等来实现. 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 11 图4 证明： 是等边三角形，， . 在和 中， . ， . 是等边三角形. 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 12 方法指导 要证明一个三角形是等边三角形，可以证明这个三角形的三个内 角都等于 ，或三条边都相等，也可以先证明它是一个等腰三角 形，再证明它有一个内角等于 . 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 13 针对训练 图5 3.如图5，一艘轮船由海平面上地出发向南偏西 的方向行驶到达地，再由地向北偏西 的方向行驶到达地，则， 两地相距____ . 50 提示： . 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 14 4.已知：如图6，在等边三角形中，， 的平分线相交于 点，，的垂直平分线分别交于点， . 图6 求证： 是等边三角形. 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 15 图6 证明：是等边三角形， . 又，分别是 ，的平分线，. . ， 的垂直平分线分别交于点，， ， . ， ，，即 是等边三角形. 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 16 第三课时 等腰（边）三角形的判定 素养达标 导练 17 基础巩固 1.下列条件不能判断 为等边三角形的是( ). C A. B.， C.， D. ， 图7 2.如图7，在中， ， ， 的平分线交于点 ，则图中共有等腰三角形( ). D A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 18 图8 3.图8是某种落地灯的简易示意图，为悬杆， 为支杆. 已知悬杆的部分的长度与支杆的长度相等，点在 的延长线上，且 .若的长度为 ，则 ，两点之间的距离为____ . 30 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 19 图9 4.如图9，是的外角，， . 求证： . 证明：，，. 又 ， . 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 20 图10 5.已知：如图10，， ， ， . 求证： 是等边三角形. 证明：， ，. ，，. . 是等边三角形. 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 21 能力提升 图11 6.如图11，是等腰三角形的底边 上的高， 交于点 . （1）求证： 是等腰三角形. 证明：是等腰三角形的底边上的高， ， 是等腰三角形. 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 22 图11 （2）求证： . 证明：， ， . 又， . 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 23 图12 7.如图12，某轮船上午11时30分在 处观测海岛 在北偏东 方向，这艘轮船以 的 速度航行到处，再观测海岛在北偏东 方 向，又以同样的速度继续航行到 处，再观测海 岛在北偏西 方向.当轮船到达 处时恰好与 海岛的距离是，请你确定轮船到达处和 处的时间. 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 24 图12 解：根据题意，得 ，. . 是等边三角形. ， . ， 是等腰三角形. . 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 25 图12 轮船从处到达 处需要，从处到达处需要 轮船上午11时30分从处出发，轮船到达处的时间为13时30分，到达 处的时间为15时30分. 答：轮船到达处的时间为13时30分，到达 处的时间为15时30分. 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 26 综合拓展 8.探究与证明 在等边三角形中，点在上，点在 的延长线上，且 . 【初步探究】 图13 （1）如图13，当为 的中点时，求证： . 证明：是等边三角形， ，. 是的中点， ，. ， 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 27 . . 图13 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 28 【拓展运用】 （2）如图14，当不是的中点时，过点作，交于点 .求 证： 是等边三角形. 图14 证明：，，. 是等边三角形. 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 29 （3）在（2）的条件下，与 还相等吗？请说明理由. 解：. 理由：，， . ，是等边三角形， ，. 又，， . 图14 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 30 $第15章 轴对称图形与等腰三角形 15.4 等腰三角形（4课时） 第一课时 等腰三角形“等边对等角”的性质及 推论 1 第一课时 等腰三角形“等边对等角”的性质及推论 新知预习 导学 2 知识梳理 1.等腰三角形的轴对称性：等腰三角形是轴对称图形，底边上的______ 所在的直线是它的对称轴. 中线 2.等腰三角形的性质定理1：等腰三角形的两底角______.简称“等边对 ______”. 推论：等边三角形三个内角______，每一个内角都等于____. 相等 等角 相等 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 3 课前自测 1.在中，， ，则 的度数是( ). C A. B. C. D. 2.已知为等边三角形，则 的补角的度数是______. 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 4 第一课时 等腰三角形“等边对等角”的性质及推论 重点直击 导析 5 知识点一 等腰三角形“等边对等角”的性质 图1 例1 （教材第146页练习第2题变式）如图1，在 中，为边上一点，且， ， 求 的度数. 思路点拨 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 6 图1 解： ， ， . 设 ， 则 . 又 ， . . . 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 7 只有在同一个三角形内才能运用定理“等边对等角”. 方法指导 利用“等边对等角”求角度，常常结合三角形内角和定理与三角形 的外角性质列方程解答. 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 8 针对训练 图2 1.（赤峰中考）如图2，，点在线段 上， .若 ，则 的度数为( ). B A. B. C. D. 2.（湖南中考）若等腰三角形的一个底角的度数为 ，则它的顶角的 度数为_____ . 100 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 9 知识点二 等边三角形的性质 例2 如图3，在等边三角形中，是的平分线，为 上一 点，以为一边且在下方作等边三角形，连接 . 图3 （1）求证： . （2）求 的度数. 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 10 思路点拨 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 11 （1）求证： . 图3 证明： 是等边三角形，， . 是等边三角形， ， . . 在和 中， . 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 12 图3 （2）求 的度数. 解： 是等边三角形，平分 ， ， . ， . . 方法指导 等边三角形是特殊的等腰三角形，除具有等腰三角形的性质外， 它的三个内角都为 ，三条边都相等，这些都可为解决问题提供条 件. 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 13 针对训练 图4 3.如图4，是等边三角形，点在边 上， ，则 的度数为( ). D A. B. C. D. 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 14 4.如图5，为等边三角形内一点，，求 的度数. 图5 解：是等边三角形， . ， . . 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 15 第一课时 等腰三角形“等边对等角”的性质及推论 素养达标 导练 16 基础巩固 图6 1.如图6，已知，截线与直线，分别交于点 ， ，以点为圆心，长为半径作弧交直线于点 ，连 接.若 ，则 的度数为( ). B A. B. C. D. 图7 2.如图7，为等边三角形，， ， 则 的度数为( ). A A. B. C. D. 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 17 图8 3.（绥化中考）如图8，， ， ，则____ . 66 图9 4.如图9，一束平行光线照射在等边三角形上，若 ，则 的度数为____. 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 18 图10 5.如图10，在中， ，点在边 上，交于点，，求 的度数. 解：， ， . 又， . 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 19 能力提升 图11 6.（泰安中考）如图11，直线，等边三角形 的两个顶点，分 别落在直线， 上，若 ，则 的度数是( ). B A. B. C. D. 提示： 是等边三角形，. ， . 又 ， . 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 20 图12 7.（温州中考）如图12，是 的角平分线， 在上取点，使 . （1）求证： . 证明：是的角平分线， ， . 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 21 （2）若 ， ，求 的度数. 解：，. 在 中，， . 是 的角平分线， . 图12 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 综合拓展 图13 8.如图13，分别以的两边， 为边向外 作等边三角形和等边三角形，和 交于点 . （1）求证： . 证明：和是等边三角形， ， ，. ，即 . 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 23 （2）求 的度数. 图13 解：是等边三角形， . ， . 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 24 （3）当的度数发生变化时， 的度数是否变化？请说明理由. 图13 解：当的度数发生变化时，的度数不变. 理由：当 的度数发生变化时，由（1）知仍成立， 由（2）知 . 目标素养 导航 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 25 $第15章 轴对称图形与等腰三角形 15.4 等腰三角形（4课时） 第四课时 含角的直角三角形的性质 1 第四课时 含角的直角三角形的性质 新知预习 导学 2 知识梳理 含 角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，那么它所对的直角边等于____________. 斜边的一半 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 3 课前自测 图1 1.如图1，在中， ， ， ，则 的长为( ). D A.1 B.2 C.3 D.4 图2 2.如图2，自动扶梯的长为 ，倾斜角为 ，则自动扶梯的垂直高度的长是___ . 9 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 4 第四课时 含 角的直角三角形的性质 重点直击 导析 5 知识点 含 角的直角三角形的性质 例 如图3， ， ，于点， ， .求 的长. 图3 思路点拨 如果能推出是含 角的直角三角形，并求出 的长， 就可以求出 的长. 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 6 图3 解： ， . 又 ， ，， . ， . 又 ， . . 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 7 “ 角所对的直角边等于斜边的一半”使用的前提是这个 三角形是直角三角形，此性质不能用在非直角三角形中. 方法指导 含 角的直角三角形的性质揭示了直角边与斜边的数量关系， 因此是求线段长、证明线段倍分关系的一个重要依据.若已知角为 ，则要想到“ 角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质.若这 个角不在直角三角形中，则可考虑作垂线构造含这个角的直角三角形. 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 8 针对训练 图4 1.如图4，在中， ， 是斜边 上的高， ，，则 的长为 ( ). D A.2 B.3 C.4 D.6 图5 2.如图5， ，，是射线 上 的一动点，则线段 长的最小值是___. 5 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 9 3.如图6，在中，， ，是 的中点.若 ，求 的长. 图6 解：，，. ，是的中点， . 又， . 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 10 第四课时 含角的直角三角形的性质 素养达标 导练 11 基础巩固 图7 1.如图7，为了方便装运货物，一辆货车使用 了三角形钢架，已知 ， ，，则 的长为 ( ). C A. B.0. C. D. 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 12 图8 2.如图8，在等边三角形中，，是 的 中点，过点作于点，则 的长是( ). D A. B. C. D.7. 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 13 图9 3.如图9， ， ，点 在 的垂直平分线上，若，则 的长 是___ . 8 图10 4.如图10，在中， ， ， 于点，且.求 的值. 解：， . 在中，，. . 在中，， . 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 14 能力提升 图11 5.如图11，在中， ，是边 上的 高，为的中点，连接并延长交于点 .若 ，,则 的长是( ). A.4 B.6 C.8 D.10 提示：在中，，是边 上的高，. 由， ，得. 又为的中点， . 由三角形内角和定理，得. . 故 D 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 15 6.如图12，在中，， ，为 的中点，于点 . 图12 （1）求 的度数. 解：，， . 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 16 （2）求证： . 图12 证明：如图69，连接 ，为的中点，， ，. ， . . 在中，， . 图69 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 17 综合拓展 图13 7.如图13，上午8时，一艘轮船从处测得灯塔 在北偏西 方向，轮船以 的速度向正北方向航行，9 时30分到达处，测得灯塔在北偏西 方向.若轮船继 续向正北方向航行，则轮船何时到达灯塔的正东方向 处？ 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 18 图13 解：根据题意，得 . ， . 由题意知，. 又 ，. ，轮船在后到达灯塔 的正东方向处. 答：轮船在10时15分到达灯塔的正东方向 处. 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 19 $第15章 轴对称图形与等腰三角形 15.4 等腰三角形（4课时） 第二课时 等腰三角形“三线合一”的性质 1 第二课时 等腰三角形“三线合一”的性质 新知预习 导学 2 知识梳理 等腰三角形的性质定理2：等腰三角形的顶角________、底边上的_____ 和底边上的____重合.简称“三线合一”. 平分线 中线 高 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 3 课前自测 1.如图1，是等腰三角形的顶角平分线，，则 等于 ( ). B 图1 A.10 B.5 C.4 D.3 2.如图1，屋顶钢架外框是等腰三角形，立柱，若 ， 则____ . 55 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 4 第二课时 等腰三角形“三线合一”的性质 重点直击 导析 5 知识点 等腰三角形“三线合一”的性质 图2 例 已知：如图2，点，在的边 上， ， . 求证： . 思路点拨 方法一：如果能证明，就可以得出 . 方法二：和 是有公共顶点且底边在一条直线上的等腰三角 形，所以作出三角形的高，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质与线 段的和差关系，即可证得 . 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 6 证明： 方法一：， ，， . ， ， . 在和 中， . 图2 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 7 方法二：如图3，作于点 . ， . 同理，得 . ，即 . 图3 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 8 方法指导 运用等腰三角形“三线合一”的性质可求角的度数、线段长度，也 可证角相等、线段相等、线段垂直.此性质有两种常见运用类型：一是 关于边长，此时一般运用等腰三角形的底边上的中线与其他两线互相 重合；二是关于角，此时一般运用等腰三角形的顶角的平分线或底边 上的高与其他两线互相重合. 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 9 针对训练 图4 1.如图4（见下页），在中，， 是 角平分线.若 ，则 的度数为( ). A A. B. C. D. 图5 2.如图5，在中，，是边 上的中线， 已知 ， ，则____ . 85 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 10 图6 3.已知：如图6，在中，，是 的中 点，是上任意一点，连接， . 求证： . 证明：，是的中点，，即 垂直平分 点在上， . 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 11 第二课时 等腰三角形“三线合一”的性质 素养达标 导练 12 基础巩固 图7 1.如图7，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操 作方法是：从电线杆上一点 往地面拉两条长度相 等的固定绳和，当固定点，到杆脚 的距离 相等，点，，在一条直线上时，电线杆 就垂 直于 ，工程人员这种操作方法的依据是( ). C A.等边对等角 B.垂线段最短 C.等腰三角形的“三线合一” D.两点确定一条直线 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 13 图8 2.如图8，在中，，是 的平分线， 则下列结论中不一定正确的是( ). C A. B. C. D. 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 14 3.如图9，在等边三角形中，，是边上的高，延长 至点，使，则 的长为___. 3 图9 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 15 图10 4.如图10，在中，，以点 为圆心，以 长为半径作弧交于点，，再分别以点和点 为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点 ，连 接交于点.已知 ，，求 的 长及 的度数. 解：，， . 由题意可知，，平分， ， ， . . 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 16 能力提升 图11 5.如图11，在中，， ，，是 的平分线，若，分别是和 上的动点，则 的最小值是____. 提示：，是的平分线， 垂直平分点到点，的距离相等. 故当点，， 在一条直线上且该直线为的垂线时， 取得最小值，即最小值为的边上的高的长设为 ， . 小锦囊 利用等腰三角形“三线合一”的性质，可得垂直平分 ，从而将的长转化为 的长. 9.6 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 17 图12 6.如图12，在四边形中，， 垂直 平分，交于点，是 的中点. （1）求证：是线段 的垂直平分线. 证明：垂直平分，. 又 ，. 又是的中点， 是线段 的垂直平分线. 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 18 （2）若 ，求 的度数. 解：，， ， ， ， . 图12 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 综合拓展 7.综合与探究 在中，，点在上，点在上，且 . 【初步探究】 （1）是 上的高. ①如图13，如果 ，那么____ . 10 图13 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 20 ②如图14，如果 ，那么____ . 25 图14 （2）通过以上两小题，你发现与 之间有什么数量关系？请 用式子表示：________________. 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 21 【拓展探究】 图15 （3）如图15，如果不是 上的高，请你判断 （2）中的结论是否仍然成立，并说明理由. 解：仍然成立. 理由：， ， ，即 新知预习 导学 重点直击 导析 素养达标 导练 22 $